Lösung VIII

Physik I für Chemiker,
WS 2015/16
Lösung VIII
Veröffentlicht: 16.12.15
1 Impulse and Momentum
Bei einem Crash-Test kollidiert ein Auto der Masse 1000kg mit einer Wand. Die Anfangs- und
Endgeschwindigkeit des Autos sind jeweils ~v0 = (- 10 m/ s) ~ex und ~vf = (3 m/ s) ~ex . Die Kollision
dauert 0.2 s.
(a) Der Anfangs- und Endimpuls des Autos sind gegeben durch
P~0 = m~v0 = (−104 Kg · m/s)~ex
und
P~f = m~vf = (0.3 × 104 Kg · m/s)~ex .
Die Veränderung des Impulses des Autos ist gleich dem Impuls der netto Kraft, die auf
das Auto wirkt. Die Veränderung ist
I~ = ∆P~ = P~f − P~0 ,
Also I~ = (1.3 × 104 kg· m/ s)~ex .
Die durchschnittliche Kraft, die die Wand auf das Auto ausübt ist
∆P~
F~av =
= (6.5 × 104 N)~ex .
∆t
(b) In der oberen Betrachtung federt das Auto zurück. Die Kraft tut in dem Zeitintervall also
zwei Dinge. Erst stoppt sie das Auto und dann beschleunigt sie das Auto in die andere
Richtung, so dass es sich mit 3 m/ s bewegt. Wenn das Auto nicht zurück federt, stoppt
die Kraft nur das Auto. Wir erwarten also eine kleinere Kraft. Mathematisch beschrieben
erhalten wir
I~ = ∆P~ = P~f − P~0 = 0 − P~0 ,
Also I~ = (104 kg· m/ s)~ex . Die durchschnittliche Kraft durch die Wand auf das Auto ist
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∆P~
F~av =
= (5 × 104 N)~ex .
∆t
Wie erwartet ist die Kraft kleiner als im ersten Fall.
2 Zwei Körper Stoß mit Feder
Ein Block der Masse m1 = 2kg bewegt sich anfänglich mit einer Geschwindigkeit von 4 m/ s
auf einer Reibungsfreien Fläche nach rechts. Er kollidiert dann mit einer Feder, die an einem
zweiten Block der Masse m2 = 3kg befestigt ist, welcher sich zunächst mir einer Geschwindigkeit
von 2 m/ s nach links bewegt (vgl. Abb. 1 (a) oben). Die Federkonstante ist 600 N/ m.
(a) Da die Federkraft eine konservative Kraft ist, wird während der Kompression keine kinetische Energie in innere Energie umgewandelt. Somit ist der Stoß elastisch. Aufgrund der
Impulserhaltung gilt
m1 v10 + m2 v20 = m1 v1f + m2 v2f ,
einsetzen der Werte ergibt
2v1f + 3v2f = 2.
für den elastischen Stoß ist bekannt, dass
v10 − v20 = −(v1f − v2f ),
und somit
v2f − v1f = 6,
Löst man oberes Gleichungssystem erhält man v1f = -3.2 m/ s und v2f = 2.8 m/ s.
(b) Da während der ganzen Kollision die mechanische Energie und der Impuls der beiden Blöcke erhalten bleibt, kann man den Stoß zu jedem Zeitpunkt als elastischen Stoß behandeln.
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Wir wählen den Zeitpunkt, andem sich der Block m1 sich mit einer Geschwindigkeit von
3 m/ s bewegt, wie in Abbildung 1 (a) unten gezeigt ist, also
m1 v10 + m2 v20 = m1 v1f + m2 v2f ,
Durch Auflösen nach v2f und einsetzen der Werte erhält man v2f ' -1.33 m/ s. Der negative
Wert von v2f zeigt, dass der Block zu diesem Zeitpunkt immer noch nach links rutscht.
In dem System aus den zwei Blöcken und der Feder wirkt keine Reibung oder andere nichtkonservative Kraft, somit ist die mechanische Energie erhalten.
K0 + U0 = Kf + Uf
oder
1
1
1
1
1
2
2
2
2
+ m2 v2f
+ κx2 ,
m1 v10
+ m2 v20
+ 0 = m1 v1f
2
2
2
2
2
Auflösen nach x und einsetzen der Werte ergibt, dass sich die Feder um x ' 0.186 m zusammendrückt.
Abbildung 1: (a) Ein nach rechts rutschender Block kollidiert mit einer Feder, die an einem
nach links rutschenden Block befestigt ist. (b) Eine Kugel der Masse m wird in
einen Holzblock der Masse M gefeuert, welcher mit leichtem Draht aufgehängt
ist. Nach der Kollision steckt die Kugel im Holz.
3 Das ballistische Pendel
Eine Kugel der Masse m wird in einen Holzblock der Masse M gefeuert, welcher mit leichtem
Draht aufgehängt ist. Die Kugel bleibt im Holz stecken und das ganze System schwingt bis
zu einer Maximalhöhe h, wie in Abbildung 1 (b) zu sehen ist. Schauen wir uns den Stoß in
verschiedenen Teilen an: Teil A ist vor der Kollision, B ist direkt nach der Kollision und C ist,
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wenn das System die Maximalhöhe h erreicht hat.
A−B : Hierbei handelt es sich um den idealen unelastischen Stoß und die zwei Massen bewegen
sich nach dem Stoß mit der gleichen Geschwindigkeit. Mit Impulserhaltung sieht man, dass
m~v1A + M~v2A = (m + M )~vB ,
benutzt man, dass ~v2A = 0, kann man auch schreiben
~vB =
m
~v1A .
m+M
B − C : Betrachten wir nun die neue Konfiguration B und C. Bei B trifft die Kugel das
Holz (bleibt stecken) und bewegt beide bewegen sich mit der Geschwindigkeit ~vB (Bei Punkt
B ist die Höhe h = 0). Block und Kugel schwingen dann zur Höhe h. Die kinetische Energie
im Punkt B ist
1
2
KB = (m + M )vB
,
2
diese kann man auch in Abhängigkeit von v1A schreiben:
KB =
2
m2 v1A
.
2(m + M )
Die potentielle Gravitationsenergie bei B ist 0. Also, UB = 0. Bei Punkt C hingegen ist UC
= (m + M )gh und KC = 0.
Benutzt man Energieerhaltung findet man
KB + UB = KC + UC ,
oder
2
m2 v1A
+ 0 = 0 + (m + M )gh,
2(m + M )
Umstellen nach v1A ergibt
v1A =
m+M p
2gh.
m
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4 Proton - Proton Kollision
Ein Proton kollidiert elastisch mit einem anderen ruhenden Proton. Das einlaufende Proton hat
eine Anfangsgeschwindigkeit von 4 × 105 m/ s und kollidiert (nicht frontal) mit dem ruhenden
Proton (Abbildung 2 (a)). Nach der Kollision fliegt ein Proton mit einem Winkel von θ = 30°
zur ursprünglichen Bewegungsrichtung weiter und das andere mit einem Winkel φ zur selben
Achse.
Offensichtlich ist in diesem isolierten System der Impuls des Systems erhalten. Also P~0 = P~f .
Aufgeteilt in x and y Komponenten ergibt das
m1 v10x + m2 v20x = m1 v1fx + m2 v2fx
und
m1 v10y + m2 v20y = m1 v1fy + m2 v2fy .
Da ~v20 = 0 and m1 = m2 = m sieht man schnell, dass
v1f cos 30° + v2f cos φ = 4 × 105 m/s,
und
v1f sin 30° − v2f sin φ = 0,
Durch Ausnutzung der Energieerhaltung erhält man
2
2
+ v2f
= (4 × 105 m/s)2 .
v1f
Durch Umstellen der ersten beiden Gleichungen erhält man folgender Gleichungssystem
v2f cos φ = 4 × 105 m/s − v1f cos 30°
v2f sin φ = v1f sin 30°.
Die beiden Gleichungen werden quadriert und dann addiert
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2
2
v2f
= (1.6 × 1011 m2 /s2 ) − (7 × 105 m/s)v1f + v1f
Benutzt man noch die Beziehung, die man aus der Energieerhaltung gewonnen hat, d.h.
2
2
v1f
+ v2f
= (1.6 × 1011 )m2 /s2
kann man die quadratische Gleichung lösen. Tut man dies erhält man für die Endgeschwindigkeiten der beiden Protonen v1f ' 3.5 × 105 m/ s and v2f ' 1.9 × 105 m/ s.
Man kann die zweite Gleichung (d.h. v1f sin 30° = v2f sin φ) benutzen um den Winkel φ zu
bestimmen:
−1
φ = sin
v1f sin 30°
v2f
' 67.1°.
Abbildung 2: (a) Ein Proton kollidiert elastisch mit einem anderen ruhenden Proton. (b) Eine
Platte in der Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit gleichmäßiger Dicke und
konstanter Dichte.
5 Schwerpunkt
(a) Betrachte ein Stab der Masse m und Länge l (der eine konstante Masse pro Längeneinheit
hat), der entlang der x - Achse gelegt ist (vgl. Abb. 2 (b) links), also Ycm = Zcm = 0.
Die Masse pro Längeneinheit (auch Längendichte) kann man für den gleichmäßigen Stab
schreiben als λ = m/l. Wenn man den Stab in Elemente der Länge dx aufteilt, ist die
Masse jeden Elements dm = λdx. Benutzt man die Definition des Schwerpunkts
Xcm =
1
m
durch Einsetzen von dm erhält man
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Z
x dm,
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1
=
m
Xcm
Lösen des Integrals ergibt Xcm =
λl2
2m .
l
Z
xλ dx,
0
Aber da λ =
m
l
wird Xcm zu
l
Xcm = .
2
(b) Betrachte einen Stab der Länge l, dessen Längendichte λ linear mit x gemäß λ = βx
zunimmt. β ist dabei eine Konstante. Dass die Längendichte nicht konstant ist, sondern
mit x zunimmt bedeutet, dass Elemente auf der rechten Seite des Stabs massiver sind als
Elemente auf der linken Seite. Wieder wird die Definition des Schwerpunkts benutzt
Xcm
1
=
m
Z
1
x dm =
m
Z
l
xλ dx,
0
einsetzen von λ = βx und Lösen des Integrals ergibt Xcm =
Stabs ist
Z
m=
Z
dm =
l
λ dx =
0
βl3
3m .
Die Gesamtmasse des
βl2
,
2
Durch einsetzen der Masse in Obere Gleichung erhält man Xcm =
2l
3.
(c) Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck mit konstanter Dicke (t) und konstanter Dichte (ρ).
Da ρ konstant ist die die Masse pro Flächeneinheit konstant. Somit ist
dm = ρydx
beziehungsweise
dm =
m
2my
ydx =
dx,
1
ab
ab
2
Der Schwerpunkt ist Definiert durch
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Xcm
1
=
m
Z
2
x dm =
ab
Z
a
xy dx,
0
Um dieses Integral zu lösen, muss y in Abhängigkeit von x dargestellt werden. Da es sich um
ein rechtwinkliges Dreieck handelt sieht man, dass gilt
y
b
= ,
x
a
beziehungsweise y = (b/a)x. Benutzt man diese Relation kann man schreiben:
XCM =
2
a2
Z
a
x2 dx,
0
Lösen des Integrals ergibt Xcm = 23 a.
Genau die gleiche Logik wird für die y - Koordinate verwendet und man findet Ycm = 31 b. Somit
ist die Koordiante des Schwerpunkts ( 23 a, 13 b).
Genauso gut kann die Dicke der Platte (t) verwendet werden. Dann kann die Dichte über Masse
und Volumen bestimmt werden. Die Rechnung, Interpretation und Lösung bleiben die Gleichen.
6 Bewegung eines Teilchensystems
Betrachte ein Koordinatensystem, bei dem die aufwärts Bewegung in positive y Richtung und
Bewegung nach Osten in positive x Richtung zeigt. Nun wird das Projektil der Masse m gerade
nach oben geschossen. An dem Punkt wo es 1500 m erreicht und eine Geschwindigkeit von ~v0
= (400 m/ s) ~ey hat, explodiert es in drei Teile gleicher Masse (d.h. jedes Teil hat eine Masse
von m/3). Ein Teil bewegt sich nach oben mit einer Geschwindigkeit von (500 m/ s) ~ey . Das
zweite Stück hat eine Geschwindigkeit von (250 m/ s) ~ex . Vor der Explosion ist der Impuls des
Systems
P~0 = m~v0 = m(400m/s)~ey ,
und nach der Explosion wird der Impuls des Systems
m
m
m
P~f = (250m/s)~ex + (500m/s)~ey + ~vf ,
3
3
3
Da der Impuls erhalten bleibt gilt P~0 = P~f . Einsetzen:
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m(400m/s)~ey =
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m
m
m
(250m/s)~ex + (500m/s)~ey + ~vf ,
3
3
3
Mit einfacher Vektoralgebra findet man die Endgeschwindigkeit des dritten Stücks
~vf = (−250m/s)~ex + (700m/s)~ey .
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