Die Kapazität Aufladbare Systeme und Kapazität: • Für Systeme, die bei Anlegen einer Spannung U eine Ladung Q speichern können, gilt stets Q∝U ⇒ C = Kapazität = Q U C A2 s4 [C] = = = F = Farad V kg m2 (Einheit benannt nach Michael Faraday, 1791–1867). • Beispiele: Plattenkondensator: Metallkugel, Radius r: ǫ0 A d C =4πǫ0 r C= Zahlenbeispiel, Vielfache von Farad: • Kapazität eines Plattenkondensators mit d = 1 mm und A = 100 cm2 : 2 4 ǫ0 A −12 A s C= = 8.854 × 10 · 10 m d kg m3 = 8.854 × 10−11 F • Kapazitäten sind meist winzige Bruchteile von 1 F ⇒ typische Einheiten: 1 pF = 10−12 F (Pikofarad) 1 nF = 10−9 F (Nanofarad) 1 µF = 10−6 F (Mikrofarad) 5 Statische elektrische Felder 03. Juni 2009 Hintereinander- und Parallelschaltung von Kapazitäten Hintereinanderschaltung: • Maschenregel: U0 = U1 + U2 + U3 • Alle Ladungen sind gleich: C1 , U1 + U 0 - Q1 = Q2 = Q3 = Q • Gesamtkapazität (allgemeiner Fall): C2 , U2 ungeladen C3 , U3 n X 1 U0 1 = = Ctot Q C i=1 i Parallelschaltung: C1 , Q1 • Maschenregel: U0 = U1 = U2 = U3 C2 , Q2 • Gesamtladung: Qtot = Q1 + Q2 + Q3 C3 , Q3 • Gesamtkapazität (allgemeiner Fall): 5 Statische elektrische Felder + Ctot - n X Qtot = = Ci U0 i=1 U0 03. Juni 2009 Energiedichte im elektrischen Feld Elektrische Arbeit beim Aufladen eines Kondensators: • Um bei Spannung U in einem Kondensator die Ladung um ∆Q zu erhöhen, ist eine Arbeit ∆Wel = U · ∆Q = (Q/C) · ∆Q notwendig. • Integration über Gesamtladung: Wel = ZQ 0 Q2 1 Q′ dQ′ = = CU 2 . C 2C 2 • Dieses Ergebnis gilt für jedes aufladbare System! Energiedichte: • Mit C = ǫ0 A/d und U = Ed (Plattenkondensator mit Fläche A und Abstand d): ǫ0AE 2d2 1 1 2 = ǫ0 |{z} Ad E 2 . Wel = CU = 2 2d 2 =V • Energiedichte: 1 Wel = ǫ0E 2 ; [wel ] = J/m3 . V 2 • wel ist die Energie pro Volumen, die zur Erzeugung des Feldes (der felderzeugenden Ladungsverteilung) aufzubringen ist. • Das Ergebnis 1 wel = ǫ0 E 2 2 gilt unabhängig von – der Gestalt des Feldes – der Art seiner Erzeugung. wel = 5 Statische elektrische Felder 03. Juni 2009 Isolatoren im elektrischen Feld Experimentelle Beobachtung: • Bringt man bei fester Ladung Q einen Isolator in das Feld eines Plattenkondensators, so nimmt die Spannung am Kondensator ab: d d Q leer: Isolator: U=U0 E=E 0 U<U0 E<E 0 U U • Die Kapazität nimmt zu: C= Q Q > C0 = U U0 • Die Feldänderung wird durch die Dielektrizitätskonstante ǫ > 1 beschrieben: U =U0/ǫ = E0d/ǫ E =E0/ǫ A C =C0 · ǫ = ǫǫ0 d • Im Vakuum ist ǫ = 1, in Luft ǫ ≈ 1.0005 ⇒ Luft ist für elektrische Felder “fast wie Vakuum”. 5 Statische elektrische Felder 03. Juni 2009 Polarisationsladungen Induzierte Ladungsverschiebung: • Im Isolator gibt es keine freien Ladungsträger, aber in jedem Atom können die positiven und negativen Ladungen gegeneinander verschoben werden: − − − − + − − − − − − − − − d + − −− − − r− =r+ r+ −r− =d E • Durch die Kraftwirkung des elektrischen Feldes werden die Ladungsschwerpunkte P (±) Q ~ ri ~ r± = Pi i (±) i Qi um eine Strecke d~ in Feldrichtung getrennt. Polarisations-: Ladungsdichte: • Im Isolator (“Dielektrikum”) bilden sich geladene Oberflächenschichten. • Ladungsdichte: σpol = 1 N Ad QZ = N dQZ A |{z} =V N = Zahl d. Atome/Volumen QZ = Kernladung 5 Statische elektrische Felder negative Polarisationsladungen σ pol=Q pol /A + + + + + + + + + + 1111111111111111 0000000000000000 000000000000000 111111111111111 0000000000000000− 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 − 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000− 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000− 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 − elektrisch 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 neutral − 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000− 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000− 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 − 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000− 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 d d positive Polarisationsladungen σ pol=Q pol /A 03. Juni 2009 Polarisation, Suszeptibilität und Dielektrizitätskonstante Polarisation: • Die Polarisations-Flächenladungsdichte kann als Vektor dargestellt werden: As ~ = (N QZ d) · Ê ; Polarisation = P [P ] = . m2 • Im allgemeinen ist QZ d ∝ E: Asm2 QZ d = αE ; α = Polarisierbarkeit; [α] = V Feld im Dielektrikum: • Das Vakuum-Feld wird durch die PolarisationsLadungen reduziert: P σ − σpol = EVak − EDiel = ǫ0 ǫ0 1 = EVak − N αEDiel = EVak − χEDiel ǫ0 Nα χ = el. Suszeptibilität = ; [χ] = 1 ǫ0 • Insgesamt: EDiel (1 + χ) = ǫEDiel = EVak • Das elektrische Feld im Dielektrikum ist um 1/ǫ = 1/(1 + χ) schwächer als im Vakuum. • Die Suszeptibilität ist direkt mit atomaren Eigenschaften verknüpft (materialabhängig!) Luft, Normalbedingungen Benzol Wasser Quarzglas Keramik 5 Statische elektrische Felder ǫ = 1.000576 ǫ = 2.3 ǫ = 81 ǫ = 3.75 ǫ bis ∼ 1000 03. Juni 2009 Elektrisches Feld in Dielektrika Elektrische Verschiebungsdichte: ~ r ) beschreibt Die elektrische Verschiebungsdichte D(~ das elektrische Feld, das von den äußeren Ladungen ρ(~ r ) erzeugt wird und somit “die Ladungen im Dielektrikum verschiebt”: ~ = ǫǫ0 E ~; el. Verschiebungsdichte = D [D] = As . m2 Elektrische Felder in Dielektrika: • Grundregel: ~ r ) wird wie im Vakuum aus Das elektrische Feld E(~ den freien Ladungen (d.h. ohne Berücksichtigung der Polarisationsladungen) berechnet, aber mit der Ersetzung ǫ0 → ǫǫ0 . • Beispiele: – Coulomb-Feld: ~ r) = E(~ Q 1 r · 3 ·~ 4πǫǫ0 r – 1. Maxwellsche Gleichung: ~ r) = divE(~ 1 ρ(~ r) ǫǫ0 ⇒ ~ r ) = ρ(~ divD(~ r). – Energiedichte des elektrischen Feldes: wel = 5 Statische elektrische Felder 1~ ~ 1 ǫǫ0E 2 = D ·E 2 2 03. Juni 2009 Elektrische Dipole Das elektrische Dipolmoment: −Q +Q − + d • Elektrischer Dipol = Anordnung zweier ungleichnamiger Ladungen gleichen Betrages in einem festen Abstand d • Das elektrische Dipolmoment ist definiert als p ~ = Q d~ ; [p] = Asm . Dipol im elektrischen Feld: • Kraft im homogenen Feld: +Q ~tot = F ~+ + F ~− = 0 F + • Drehmoment im hom. Feld: ~ = (~ ~+ ) + (~ ~−) M r+ × F r− × F h i ~ = Q · (~ r+ − ~ r− ) × E ~ =p ~ = Q · (d~ × E) ~×E d F+ θ E r − F− −Q r− r+ • Potentielle Energie im homogenen Feld: ~ = −pE cos θ Epot = −~ p·E ~ = E(x)x̂): • Kraft im inhomogenen Feld (für E h i ~ ~ ~tot = F ~+ + F ~− = Q · E(~ ~ r + d/2) ~ r − d/2) F − E(~ d dE(x) dE(x) = Q · 2 · cos θ = p cos θ 2 dx dx 5 Statische elektrische Felder 03. Juni 2009