Katholieke Hogeschool Limburg - Quantum Spin-off

Inhaltsverzeichnis
LERNSTATION V: VORAUSSAGE DER WASSERSTOFFEMISSIONSLINIEN
MITTELS EINES QUANTENMODELLS
3
1
Voraussage von Emissionsspektren von Elementen?
1.a
Emissionslinien von Elementen: von den klassischen Modellen nicht verstanden
1.b
Quantenfelder aus Materie und Licht
3
3
3
2
Die rätselhafte Balmer-Formel
2.a
Erneut die ganzen Zahlen von Pythagoras in der Natur
2.b
Die Balmer-Formel und das Wasserstoffspektrum
4
4
5
3
Wellen und ganze Zahlen: stehende Wellen
3.a
Ganze Zahlen und Eigenfrequenzen
3.b
Ganze Zahlen in den Wellenlängen stehender Wellen
3.c
Ganzzahlige Vielfache in den Frequenzen natürlicher Töne (Eigenfrequenzen)
6
6
7
10
4
Stehende Elektronenwellen im Wasserstoffatom
4.a
Verlaufsform der Wellen
4.b
Welle-Teilchen-Dualismus
10
10
13
5
Berechnungen mit dem Quanten-Atommodell
5.a
Voraussage der Größe des Wasserstoffatoms
5.b
Voraussage der Wasserstoffemissionslinien
13
13
15
6
Interpretation der Balmer-Formel
17
7
Dreidimensionale Verallgemeinerung: Orbitale
20
8
Konzepte der Lernstation V
21
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Auf das Werk ist wie folgt zu verweisen:
Frans R., Tamassia L. Andreotti E. (2015) Quantum SpinOff Learning Stations. Art of Teaching, UCLL,
Diepenbeek, Belgien
Quantum Spin Off
Lernstation V
2
Quantum Spin-Off wird von der Europäischen Union im Rahmen des LLP Comenius-Programms finanziert
(540059-LLP-1-2013-1-BE-COMENIUS-CMP).
Dieses Material gibt nur die Meinung der Autoren wieder. Die
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Quantenphysik: Die Physik des ganz Kleinen mit großen Anwendungsmöglichkeiten
Quantum Spin Off
Lernstation V
3
Lernstation V:
Voraussage der Wasserstoffemissionslinien mittels eines Quantenmodells
1
Voraussage von Emissionsspektren von Elementen?
1.a
Emissionslinien von Elementen: von den klassischen
Modellen nicht verstanden
Dass Atome Licht ausstrahlen und wir beobachten können, dass das Spektrum
eines Elements sich aus diskreten, sehr präzisen Emissionslinien
zusammensetzt, ist bekannt. Allerdings lässt sich dieses Phänomen nicht
durch ein klassisches Atommodell wie beispielswese das rutherfordsche
Atommodell erklären. Die klassische Physik hat keine Erklärung dafür,
wie Atome diskrete Farblinien ausstrahlen können. Dieses Problem
wurde bereits in der ersten Lernstation thematisiert.
Da wir nun die Quanteneigenschaften von Licht kennen und wissen, dass es
entweder seine Wellen- oder seine Teilcheneigenschaft in Erscheinung treten
lässt, können wir einen Schritt weiter gehen und das Phänomen der diskreten
Emissionslinien chemischer Elemente erklären.
Niels Bohr und Louis De Broglie waren die ersten, die das rutherfordsche
Atommodell zur Diskussion brachten, und sie entwickelten ein QuantenAtommodell, das die Quanteneigenschaften von Materie und Licht berücksichtig te. Dank
ihrer neuen Sicht der atomaren Struktur wurde nicht nur die Erklärung der Emissionslinien,
sondern auch anderer wichtiger physikalischer und chemischer Eigenschaften von Materie
und Licht ermöglicht.
So liefern uns die feinen Emissionslinien von Wasserstoff oder Helium beispielsweise einen
Eindruck des grundlegenden Quantenaustauschs zwischen Materie und Licht in Atomen.
Das von Atomen ausgestrahlte Licht besteht aus klaren Linien. In Lernstation I haben wir
die schönen Emissionslinien einiger Elemente gesehen und ihre genaue Wellenlänge
ausgemessen.
1.b
Quantenfelder aus Materie und Licht
Das Doppelspaltexperiment zeigt, dass Materieteilchen nicht „nur“ Teilchen sein können.
Wie könnte ein Teilchen gleichzeitig durch zwei unterschiedliche Spalte passen? Auch
Lichtwellen können nicht „nur“ Wellen sein. Sie werden auf dem Bildschirm Photon für
Photon erfasst. Dieser Welle-Teilchen-Dualismus von Materie und Licht ist eine
entscheidende Eigenschaft der Quantentheorie.
Aber wie kann man sich diesen Welle-Teilchen-Dualismus vorstellen? In der
Quantenfeldtheorie werden Elementarteilchen wie Elektronen als Quanten eines Felds,
eines Materiefelds angesehen. De Broglies Hypothese, die in der Quantenfeldtheorie
fortbesteht, besagt, dass eine Art Quantenmaterie feld mit einem Mater ieteilchen
Quantenphysik: Die Physik des ganz Kleinen mit großen Anwendungsmöglichkeiten
Lernstation V
Quantum Spin Off
4
verbunden sein muss. Materieteilchen entstehen aus diesem Materief eld. Lichtteilchen –
Photonen – werden ihrerseits als Quanten elektromagnetischer Felder angesehen und
entstehen somit aus diesem elektromagnetischen Feld.
Dieser Welle-Teilchen-Dualismus setzt voraus, dass wir einem Elektron wirklich eine
Wellenlänge zuordnen können. Die De-Broglie-Beziehung quantifiziert diesen
Zusammenhang. Notiere noch einmal die Hypothese von De Broglie:
 ………
Wie du sehen kannst, musst du für die Berechnung seiner Wellenlänge (eine Eigenschaft
von Wellen) den Impuls des Elektrons (eine Eigenschaft von Teilchen) kennen. Wir wissen,
dass der Impuls p des klassischen Teilchens der Masse m mit der Geschwindigkeit v so
ausgedrückt wird: ………….
Dieser Zusammenhang bleibt in der Quantentheorie unverändert.
Die zentrale Frage an dieser Lernstation lautet :
Können wir, wenn wir das Elektron im Wasserstoff -Atom
als Welle mit der zugeordneten De-Broglie-Wellenlänge abbilden,
die diskreten Emissionslinien von Wasserstoff voraussagen?
In dieser Lernstation werden wir das Quanten-Atommodell von De Broglie heranziehen, um
(a) die diskreten Emissionslinien der Elemente qualitativ zu erklären
(b) die diskreten Emissionslinien von Wasserstoff quantitativ vorherzusagen.
Das bedeutet, dass wir nicht nur ein Modell erstellen werden, mit dem wir darlegen
können, warum diskrete Emissionslinien entstehen, sondern dass wir mithilfe des gleichen
Modells auch in der Lage sein werden, die genauen Frequenzen der Wasserstofflinien zu
berechnen. Wir werden die quantitativen Prognosen unseres Modells mit den tatsächlich
gemessenen Werten vergleichen können!
Da wir anhand unseres Modells quantitative Vorhersagen treffen wollen, ist es sinnvoll,
sich zunächst mit den gemessenen Frequenzen des Emissionsspektrums von Wasserstoff zu
beschäftigen. Diese Frequenzen folgen einem auffallenden Muster aus ganzen Zahlen.
Diese seltsame mathematische Struktur des gemessenen Emissionsspektru ms von
Wasserstoff inspirierte Louis De Broglie dazu, sein Quanten-Atommodell zu entwickeln.
2
Die rätselhafte Balmer-Formel
2.a
Erneut die ganzen Zahlen von Pythagoras in der Natur
Der Schweizer Mathematiklehrer Johann Jakob Balmer war (wie auch schon Pythagoras
2.500 Jahre vor ihm) von ganzen Zahlen in physikalischen Phänomenen fasziniert. Er
erforschte auch die diskreten Emissionslinien von Elementen und fand 1885 heraus, dass
die Messwerte der Frequenzen alle in sehr kompakter Form durch eine mathematische
Formel wiedergegeben werden können. Diese Formel ist ein einfaches „Zusammenspiel“
ganzer Zahlen.
Die Balmer-Formel lautet:
f n2 n1  cR (
1
n1
2
Quantenphysik: Die Physik des ganz Kleinen mit großen Anwendungsmöglichkeiten

1
n2
2
)
Lernstation V
Quantum Spin Off
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wobei n 1 und n 2 zwei ganze Zahlen sind, c die Lichtgeschwindigkeit und R eine empirische
(d. h. im Rahmen eines Experiments ermittelte) Konstante: R = 1,0974 X 10 7 m -1
Setzt man ganze Zahlen ein, ergeben sich die genauen Frequenzen der
Wasserstoffemissionslinien! Ein tolles Ergebnis, aber Balmer wusste nicht, warum sich die
Emissionslinien durch diese eher geheimnisvolle Formel mit ganzen Zahlen beschreiben
ließen. Der Gedanke, dass diskrete Emissionslinien etwas mit Reihen ganzer Zahlen zu tun
haben, ging allerdings schon in die richtige Richtung. Die Quantentheorie liefert die
genaue Erklärung dafür, woher diese ganzen Zahlen kommen. Und genau wie bereits 2.500
Jahre zuvor kamen die ganzen Zahlen im Zusammenhang mit musikalischen Tönen ins
Spiel.
2.b
Die Balmer-Formel und das Wasserstoffspektrum
In der Balmer-Formel tauchen zwei natürliche Zahlen auf: n 1 und n 2 , wobei n 2 >n 1 . So kannst
du beispielsweise festlegen, dass n 1 = 2 ist und n 2 variiert: n 2 =3, 4, 5, 6… So ermittelst du
die genauen Frequenzen zu den in den Wasserstoffemissionslinien gesehenen Farben!
Überprüfen wir das!
Definiere n 1 =2 und n 2 =3: Welche Frequenz f ergibt sich? Rechne! (3 signifikante Stellen).
Rote Linie: f 3->2 = ... .....................................
Und wenn n 2 =4?
Blaugrüne (türkise) Linie: f 4- >2 = .. .....................................
Und wenn n 2 =5?
Violette Linie: f 5- >2 = . .....................................
Und wenn n 2 =6?
2. violette Linie: f 6->2 ... ..................................
Vergleiche deine Rechenergebnisse mit den nachstehend aufgeführten gemessenen
Frequenzen der vier sichtbaren Wasserstofflinien. ( Beachte, dass nachstehende Abbildung
die Wellenlängen angibt und du zunächst die entsprechenden Frequenzen bestimmen
musst. Die passende Formel findest du in der vorherigen Lernstation.)
Violett2
Violett
Blaugrün
=434 nm
f=…………
Rot
=486 nm
f=………….
=656 nm
f=………….
=410 nm
f=…………..
Liefert die Balmer-Formel eine gute Beschreibung der Wasserstoffemissionslinien?
Quantenphysik: Die Physik des ganz Kleinen mit großen Anwendungsmöglichkeiten
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Ja/Nein
Wenn du definierst, dass n 2 =7 und weiterhin n 1 =2, welche Frequenz ergibt sich?
Linie: f 7->2 ...
Woraus sich folgende Wellenlänge ergibt:
Violett 3 λ= .....
Können wir diese Emissionslinie sehen? (Tipp: Kontrolliere das Spektrum
elektromagnetischer Wellen in einer vorherigen Lernstation).
.............................................................................................
Mit dieser letzten Berechnung haben wir tatsächlich die Existenz einer fünften, für uns
nicht sichtbaren Linie vorausgesagt! Diese Linie existiert und sie kann mit einem
entsprechenden Spektrometer gemessen werden .
Wenn du für n 1 und n 2 andere Werte einsetzt, wirst du weitere existierende Linien finden,
die für uns aufgrund der beschränkten Fähigkeiten unseres Detektors oder des
menschlichen Auges nicht sichtbar sind. Wenn du beispielsweise die Linienfolge n 1 =1
berechnest, erhältst du Linien im UV-Spektrum (kürzere Wellenlängen und höhere
Frequenzen im Vergleich zu sichtbaren Linien). Auch diese existieren und können mit
einem Spektrometer gemessen werden.
3
Wellen und ganze Zahlen: stehende Wellen
3.a
Ganze Zahlen und Eigenfrequenzen
Auch wenn Johann Balmer nicht wusste, warum seine Formel funktionierte, wurde doch
deutlich, dass in einem physikalischen Modell, welches das diskrete atomare
Emissionsspektrum erklären sollte, ganze Zahlen in der einen oder anderen Form
unverzichtbar waren.
Aus De Broglies Quantentheorie wissen wir, dass das Elektron ein Quantum eines
Materiefelds ist und wir ihm eine Wellenlänge zuordnen können.
De Broglie machte Musik und war mit der Physik der Musik gut vertraut. In diesem Bereich
spielen Wellen und ganze Zahlen eine entscheidende Rolle. Vielleicht kennst du den Begriff
Harmonische (oder Obertöne) in der Musik.
Wenn man auf einem Instrument spielt, an dem man „nichts verändert“, zum
Beispiel ein Blasinstrument, an dem man keine Tonlöcher geöffnet oder geschlossen
hat oder ein Streichinstrument, an dem man weder die Spannung noch die Länge
der Saiten verändert hat, kann man damit eine präzise Tonfolge erzeugen. Man
sieht, dass man mit diesen Instrumenten einen tiefstmöglichen Ton erzeugen kann:
den Grundton. Die Frequenz des nächstmöglichen Tons ist doppelt so hoch wie die
des Grundtons. Die Frequenz des darauf folgenden Tons ist dreimal so hoch wie die
des Grundtons etc. Mit einem solchen Instrument können nur Töne erzeugt
werden, die eine diskrete Folge bilden , wobei die Frequenz jedes Tons ein
ganzzahliges Vielfaches des Grundtons ist. Andere Töne sind nicht möglich.
Quantenphysik: Die Physik des ganz Kleinen mit großen Anwendungsmöglichkeiten
Quantum Spin Off
Lernstation V
7
Die Folge natürlicher Töne eines Alpenhorns.
Die Töne, die mit diesem Instrument gespielt werden können , sind ganzzahlige Vielfache
des Grundtons.
De Broglie wusste um die Bedeutung ganzer Zahlen in der Folge stehender
Wellen auf einer Saite oder in einer Röhre und begann sich zu fragen, ob sich die
Elektronenwellen in einem Atom genauso verhalten könnten wie die Tonreihe
eines solchen Musikinstruments.
Wäre es denkbar, dass wir, ebenso wie wir von Musikinstrumenten erzeugte natürlic he
Töne hören können, auch die „Töne“ einer Elektronenwelle in Atomen in Form emittierter
Farben sehen können?
Auch wenn diese Schlussfolgerung auf den ersten Blick selt sam anmuten mag, entscheiden
wir uns, diesen Gedanken weiter zu verfolgen und zu prüfen, ob Elektronenwellen um
Atomkerne sich wie Wellen auf einer Saite verhalten können.
3.b
Ganze Zahlen in den Wellenlängen stehender Wellen
1963 beschrieb Louis de Broglie in einem Interview, wie er auf die Idee mit den
Elektronenwellen kam:
(...) Es war im Laufe des Sommers 1923 – mir kam der Gedanke, dass man diesen
Dualismus auf Materieteilchen, insbesondere auf Elektronen ausweiten müsse. (…) B ei
Quantenphänomenen erhält man Quantenzahlen, die in der Mechanik nur selten zu finden
sind, bei Wellenphänomenen und sämtlichen Problemstellungen im Zusammenhang mit
Wellenbewegungen hingegen sehr häufig auftreten. (Bron: http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Broglie.html)
Im Folgenden werden wir untersuchen, ob für Materiewellen in Verbindung mit Elektronen
in Atomen Ähnliches gilt. Aber werfen wir zunächst einen Blick auf stehende Wellen auf
einer Saite.
i)
Stehende Wellen auf einer Saite:
Betrachten wir eine sinusförmige Welle auf ihrem Weg durch ein
Seil, das an einem Ende befestigt ist. Wirf einen Blick auf die
Abbildung rechts. Was passiert, wenn der Wellenimpuls am
festen Seilende eintrifft?
.......................................................... ...........................................
Was passiert deiner Meinung nach, wenn in der Zwischenzeit ein
weiterer Wellenimpuls von der linken Seite aus ausgelöst
wurde? (Tipp: Denke an unsere Erkenntnisse in Bezug auf
Superposition und Interferenz.)
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....................................................................................................... ...................
Und was passiert, wenn wir das Experiment mit durchgehenden Sinuswellen anstelle von
Pulswellen wiederholen?
....................................................................................................... ...................
Prüfe, ob deine Gedanken hierzu mit der Theorie übereinstimmen: http://www.walterfendt.de/ph14e/stwaverefl.htm
Experiment. Führe jetzt das Experiment mithilfe eines an einem Ende befestigten
Seils selbst durch. Nimm dafür ein eher langes Seil. Bitte eine Person, das eine Ende
des Seils festzuhalten und eine weitere Person, das andere Ende des Seils auf und
ab zu bewegen, um eine möglichst regelmäßige Schwingung zu erzeugen. So
erreichst du eine gute Annäherung an eine Sinuskurve. Die Frequenz der Auf- und
Ab-Bewegung der Hand entspricht der Frequenz der mi thilfe des Seils erzeugten
Kurve. Probiere unterschiedliche Frequenzen aus. Erzeug st du immer eine stabile
Welle?
............................................................................................. ...................
Je nachdem, mit welcher Frequenz du das Seilende schwingen lässt, erzeugst Du
entweder eine chaotische Bewegung des Seils, die sehr schnell abklingt , oder eine
schöne, stabile Welle mit großer Amplitude.
Warum sind einige der erzeugten Wellen stabil und andere klingen s o schnell wieder ab?
Schwingungsbauch
Schwingungsknoten
Schwingungsbauch
Schwingungsknoten
Die „überlebenden“ Wellen nennen wir stehende
Wellen . Eigentlich handelt es sich bei Ihnen um durch
konstruktive Superposition (Zusammenfassen) von
sich im Seil vor und zurück bewegenden Wellen
generierte Wellen. Sie werden „stehende Wellen“
genannt, weil man, wenn man sie betrachtet, den Eindruck
gewinnt, dass sie sich gar nicht bewegen.
In dieser Abbildung siehst du die ersten drei
Wellenkonfigurationen in einem Seil.
Schwingungsbauch
Schwingungsknoten
Können wir (wenn wir weder die Länge noch die Spannung
oder den Durchmesser verändern) mit diesem Seil jede
beliebige Welle erzeugen?
.................................................................
ii)
Superposition von räumlich begrenzten Wellen: Quantisierung
Allerdings ergeben einige Frequenzen keine stabilen Wellen. Das bedeutet, dass sich die
Wellen, die sich im Seil vor und zurück bewegen , destruktiv addieren und gegenseitig
aufheben.
Im Ergebnis erhalten wir nur eine präzise Folge möglicher Wellen auf dem Seil.
Welche Wellen interferieren konstruktiv? Welche Frequenzen haben diese Wellen?
Sind das nicht die Wellen, die genau in die Seillänge „passen“? Bei konstruktiver
Interferenz sieht die Welle am selben Punkt immer genau gleich aus. So addiert sie sich
mit sich selbst und wird stärker.
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Wenn das Seil die Länge L hat, welchen Weg muss die wandernde Welle dann
zurücklegen, um wieder an ihren Ausgangspunkt zu gelangen?
............................................................................................. ...................
Welchen Mindestweg muss eine Sinuswelle mit der Wellenlänge L zurücklegen, um
am Anfangspunkt mit sich identisch zu sein?
............................................................................................. ...................
Grundton oder 1. Harmonische: f1
Ist die Welle, nachdem sie den einem ganzzahligen
Vielfachen n der Wellenlänge entsprechenden Weg
zurückgelegt hat, wieder genau so, wie sie am
Anfang war?
Ja/Nein
1.Oberton oder 2. Harmonische: f2
2. Oberton oder 3. Harmonische: f3
Welches Verhältnis besteht dann zwischen der
Wellenlänge λ und der Länge L, vorausgesetzt, die
Welle im Seil interferiert konstruktiv mit sich selbst?
..................................................................................................... ( 1)
In dieser Abbildung siehst du die ersten drei Wellenkonfigurationen einer
Gitarrensaite. Wie lang ist die Wellenlänge der ersten stehenden Welle in Bezug auf
die Länge L der Saite?
λ 1 =......................................................
Und die der zweiten?
λ 2 =......................................................
Und die der dritten?
λ 3 =......................................................
Zeichne die vierte mögliche Welle:
Wozu ist λ 4 in Bezug auf die Länge L gleich?
λ 4 =............................................................................................... ...........
Notiere jetzt die allgemeine Formel für ganze Folgen von Wellenlängen als eine
Funktion der Länge L der Saite, indem du die ganze Zahl n anwendest:
λ n = ...................................................................
Ist das Ergebnis mit deiner Antwort (1) kompatibel? Falls nicht, korrigier e deine Antwort.
Beachte, dass du die Folge „überlebender“ stehender Wellen durch die Anwendung
positiver ganzer Zahlen charakterisierst hast!
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3.c
Lernstation V
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Ganzzahlige Vielfache in den Frequenzen natürlicher Töne
(Eigenfrequenzen)
Theoretisch haben wir abgeleitet, dass stehende Wellen nur für bestimmte Frequenzen
auftreten können. Aber gilt das auch für die Praxis? Sieh dir das Video „Natürliche Töne“
an. (Du findest es in den Mediendateien zu diesen Lernstationen). Wenn du das Video
siehst, wirst du verstehen, dass du die Folgen möglicher Töne sehr gut hören kannst. Aus
diesem Grund sprechen Physiker von einer Reihe von Eigenfrequenzen, die mit einer Reihe
von Wellenlängen einhergehen. Können wir die Reihe von Wellenlängen der überlebenden
Wellen nun in eine Reihe möglicher Eigenfrequenzen übertragen?
Lass uns die Reihe von Wellenlängen in eine Reihe von Frequenzen umschreiben. Wir
nehmen an, dass die Welle sich mit der Geschwindigkeit v fortbewegt. Wie kann man dann
die Wellenlänge in Bezug auf Frequenz und Geschwindigkeit umschreiben? (Wirf bei Bedarf
einen Blick auf eine frühere Lernstation).
f n = .........................................
Diese Frequenzen sind die Harmonischen oder Eigenfrequenzen des Seils. Die
erste Frequenz nennt man Grundfrequenz oder 1. Harmonische. Die anderen
Frequenzen oder Obertöne sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz.
Beachte, dass, wenn das Seil nicht durch einen festgelegten Raum begrenzt ist, die
Wellenfrequenz kontinuierlich verändert werden kann. Ist die Welle aber räumlich
begrenzt, beispielsweise in einem Seil der Länge L, dann interferieren die Wellen in eine
Richtung mit den reflektierten Wellen, die in die entgegengesetzte Richtung wander n. So
heben sich die Wellen alle gegenseitig auf, abgesehen von einer diskreten Reihe von
Frequenzen für die die Wellen die Interferenz überleben können . Wellen mit anderen
Frequenzen verschwinden nach einer kurzen Zeit aufgrund destruktiver Interferenz.
Für begrenzte Wellen ergibt sich die klassische Quantisierung: Eine Variable (die
Wellenlänge oder die Frequenz), die normalerweise kontinuierlich variiert , kann jetzt nur
durch ganze Zahlen charakterisierte diskrete Werte annehmen.
Sieh dir dieses Video an: „NaturalTones_Constructive_DestructiveSuperpositionOnString “
(Du findest es in den Mediendateien zu diesen Lernstationen)
Versuche zu erklären, was hier passiert.
....................................................................................................... ...................
....................................................................... ............................. ...................
4
Stehende Elektronenwellen im Wasserstoffatom
4.a
Verlaufsform der Wellen
Die Experimente von Rutherford haben gezeigt, dass Materie aus Kernen mit positive r
elektrischer Ladung und Elektronen mit negativer elektrischer Ladung besteht. Die
Elektronen befinden sich in einer bestimmten Entfernung vom Kern.
Warum entfernen sich Elektronen nicht weiter vom Kern, warum bleiben sie in der Nähe
des Kerns?
Quantenphysik: Die Physik des ganz Kleinen mit großen Anwendungsmöglichkeiten
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Quantum Spin Off
11
............................................................................................................
Die Tatsache, dass das Elektron in einem Atom wie Wasserstoff in einer bestimmten
Entfernung zum Kern verbleibt, zeigt uns, dass es eine Kraft geben muss, die der Kern auf
das Elektron ausübt und die stark genug sein muss, um das Elektron bis zu einem
gewissen Grad einzuschränken. Ein elektrisches Feld des Kerns hindert das Elektron
daran, sich weiter zu entfernen. Das Elektron ist an den Kern gebund en und muss in seiner
Nähe bleiben und sich in einem begrenzten Raum bewegen.
Aber nach Aussage von De Broglie kann das Elektron selbst auch als e in (Quantum eines)
Materiefeld(s) angesehen werden. Das bedeutet, dass auch das Elektronenmateriefeld bis
zu einem bestimmten Grad begrenzt ist und auch nicht entweichen kann.
Stehende
Welle
Kern
Imaginärer Kreis
um den Kern
Aus diesem Grund ist die Welle des
Elektronenmateriefelds in einem Atom eine
„begrenzte Welle“. Die Welle dieses
Elektronenmateriefelds ist mit der Welle in einem
befestigten Seil vergleichbar!
Das Quanten-Atommodell von De Broglie: die Musik
der Atome
Wie in dem Fall der diskreten Folge stehender
Wellen auf einem Seil ging De Broglie davon aus,
dass die atomare Elektronenmateriewelle nur in
einer diskreten Folge stehender
Wellenkonfigurationen existieren kann. Die anderen
Wellenkonfigurationen würden sich, wie bei einem
Seil oder einer Saite, gegenseitig in kürzester Zeit
durch destruktive Interferenz aufheben.
Kern
Wellen an einen Kreis
anlegen
Klicke auf den Kreis und ziehe
ihn zu Recht, um den
Kreisradius zu verändern.
Oder verschiebe den grauen
Ball, um die Länge der Welle zu
verändern.
Wenn eine exakte Anzahl
Wellenlängen um den Kreis
passt, sind die Wellen grün.
Wenn nicht, sind sie rot.
Hier kann man sehen, wie die
Welle nur auf bestimmte
Bahnen passt.
Untersuche De Broglies Hypothese, wonach eine
Elektronenwelle sich in ihren Schwingungen entlang eines
Kreises „ selbst schließen “ muss. Sie muss dort weitergehen,
wo sie geendet hat. Nutze folgendes Applet, um dich darüber
zu informieren:
www.colorado.edu/physics/2000/quantumzone/debroglie.html
Dies ist das Kernstück von De Broglies Modell des
Elektrons in einem Atom. Die Elektronenwelle
muss sich entlang einer kreisförmigen Bahn
um den Kern schließen. Der Radius r des Kreises
entspricht dem durchschnittlichen Abstand zwischen
dem Elektron und dem Kern. Überprüfe diesen
Gedanken von De Broglie anhand des folgenden
Applets: fys.kuleuven.be/pradem/applets/RUG/bohr1/
(Quelle Applet: Universität Gent)
Quantenphysik: Die Physik des ganz Kleinen mit großen Anwendungsmöglichkeiten
Quantum Spin Off
Lernstation V
12
In diesen Zeichnungen siehst du die ersten fünf Konfigurationen stehender Wellen auf
einem Kreis. Wir werden jetzt eine mathematische Umschreibung ableiten, die es uns
schlussendlich ermöglichen wird, die Frequenzen (und somit die Farben der
Wasserstoffemissionslinien) vorauszusagen!
De Broglies Elektronenwelle ist also begrenzt auf eine Länge gleich des
Kreisumfangs. Wie lang ist die Länge als Funktion des Radius?
L(r) = ....................................................................................................
Um zu „überleben“, muss die Welle, wenn sie weiter wandert, wieder in sich selbst
übergehen (sonst würde sie sich aufgrund destruktiver Interferenz selbst aufheben).
Diesbezüglich besteht ein wichtiger Unterschied zwischen einer Elektronenwelle, die
um den Kern herumläuft, und einem Seil mit befestigten Enden:
Auf dem Kreis muss die Welle nach einem Weg von (wie vielen Wellenlängen?)
wieder auf sich selbst stoßen. Tipp: Wirf nochmal einen Blick auf die Zeichnungen
der Eigenwellen.
...........................................................
Aber auf dem Seil mit befestigten Enden geht die Welle bereits nach eine m Weg von
(wie vielen Wellenlängen?) wieder in sich selbst über.
.................................................... .......
Aus diesem Grund muss die folgende Bedingung erfüllt sein, damit eine Welle eine
destruktive Interferenz auf einem Seil mit befestigten Enden überlebt
(Stehende Wellen auf einem Seil mit befestigten Enden):
................................................ ...........
Damit aber eine Welle die destruktive Interferenz auf einem Kreis überlebt, muss
folgende Bedingung erfüllt sein (Stehende Welle auf einem Kreis):
....................................................................................................... ...................
Die letzte Gleichung, die du notiert hast, gibt die Quantisierungsbedingung für ein
Elektron im Wasserstoffatom an. Die Wellenlänge des Elektrons sollte ein ganzzahliges
Vielfaches der Länge L des Kreises sein. Halte diese Bedingung als Formel fest:
................................................................... ..................................
Diese beschreibt die Beziehung zwischen Wellenlänge des Elektrons um den Kern und de s
Abstands r zwischen Elektron und Kern:
..........................................................................................................
Ausgehend von dieser Quantenbedingung können wir nun die möglichen diskreten
Energieniveaus für das Elektron im Atom berechnen und somit auch die mö glichen
Energien des Emissionslichts. Außerdem lässt uns diese Quantenbedingung auch die Größe
des Wasserstoffatoms voraussagen!
Ersetze zunächst die Wellenlänge des Elektrons in vorstehender Formel durch die Formel
gemäß De Broglies Hypothese, um Folgendes zu erhalten:
.................................................................................................................... ( 2)
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Quantum Spin Off
4.b
13
Welle-Teilchen-Dualismus
Zentripetalkraft
Das Schöne an De Broglies Hypothese ist, dass sie es uns
ermöglicht, das Elektron gleichzeitig als Teilchen und als
Welle zu betrachten. Die Elektronenwelle muss auf eine
kreisförmige Bahn um den Kern „passen“ .
Aber wenn sich das Elektron als Teilchen auf der Kreisbahn
bewegt, muss eine Kraft auf das Elektron wirke n, die als
Zentripetalkraft wirkt.
Welche Kraft wirkt als Zentripetalkraft im Falle des Elektrons, das sich kreisförmig um
den Kern bewegt? Wodurch wird die Kraft ausgeübt?
....................................................................................................... ...................
Aus der Newtonschen Mechanik für Kreisbewegungen wissen wir,
dass die zentripetale Beschleunigung sich umgekehrt proportional
zum Abstand verhält und quadratisch mit der Geschwindigkeit
zunimmt:
zentripetal
ist die zentripetale
Beschleunigung
Coulomb hatte eine Möglichkeit entdeckt, diese elektrische Kraft
quantitativ auszudrücken. Der Betrag der Kraft ist direkt proportional zum
Produkt der beiden Ladungsmengen und umgekehrt propo rtional zum
Quadrat des Abstands zwischen Elektron und Kern
Notiere das coulombsche Gesetz (falls nötig, schlage es nach):
....................................................................................................... ...................
Die vom Kern ausgehende elektrische Kraft wirkt als Zentripetalkraft auf das Elektron. Das
bedeutet, dass die mathematische Formel für diese beiden Kräfte gleich sein muss. Notiere
hier die entsprechende Gleichung:
.............................................................................................................
( 3)
Vergiss dabei nicht, dass der absolute Wert der Ladung von Elektron und Proton für beide
gleich e ist: der Elementarladung im Universum.
5
Berechnungen mit dem Quanten-Atommodell
5.a
Voraussage der Größe des Wasserstoffatoms
Es wird Zeit, dass wir unsere ersten konkreten Ergebnisse aus dem Quanten -Atommodell
von De Broglie ableiten: Wir können jetzt mithilfe eines einfachen Modells die Größe des
Wasserstoffatoms berechnen! Um zu diesem Ergebnis zu gelangen , muss lediglich
Gleichung (3) für den Abstand r gelöst werden.
Nimm Gleichung (2) im Quadrat und isoliere mv 2 auf der linken Seite der Gleichung. Du
erhältst:
................................................................................................................ ( 4)
Quantenphysik: Die Physik des ganz Kleinen mit großen Anwendungsmöglichkeiten
Quantum Spin Off
Lernstation V
14
Nimm jetzt Gleichung (3) und isoliere ebenfalls mv 2 . Du erhältst:
........................................................................ ........................................ ( 5)
Die Werte auf der anderen Seite der beiden Gleichungen (4) und (5) müssen dann gleich
sein. Das bedeutet:
....................................................................................................... ........... (5a)
Isoliere jetzt den Abstand r auf einer Seite der Gleichung (5a). Du erhältst:
r = ................................................................... .............................. (6)
Gleiche deine Antwort mit dem nachstehend angegebenen Ergebnis ab.
r  n2
h 2 0
 m e2
Abgesehen von der ganzen Zahl n, kennen wir alle Variablen auf der rechten Seite der
Gleichung?
Ja/Nein
Wenn deine Antwort „Nein“ lautet, nimm dir nochmal einige Sekunden zum Nachdenken.
Die Masse und elektrische Ladung des Elektrons sind ebenso bekannt wie die universellen
Konstanten h und ε 0 .
Mithilfe unseres Quanten-Atommodells ist es uns gelungen,
eine quantitative Voraussage zu möglichen Abständen
zwischen Elektron und Kern zu treffen!
Diese Abstände sind quantisiert. Das bedeutet, dass es nur eine diskrete Reihe möglicher
Abstände gibt. Die ganze Zahl n kann gewählt werden. Für welchen Wert von n erhalten
wir den geringsten Abstand?
n = ............
Wenn die ganze Zahl n einen höheren Wert h at, wird der Abstand zwischen Elektron und
Kern ................................ .
Setze für n den Wert ein, der in Gleichung (4) zu m geringsten Abstand führt, zusammen
mit den Werten aller Konstanten, und bestimme d en geringstmöglichen Abstand zwischen
Elektron und Kern im Wasserstoffatom:
r 1 =..................................................................................... ............................. (7)
Dieser Abstand ist so wichtig, dass er einen Namen hat: der bohrsche Radius. Er gibt
den wahrscheinlichsten Abstand zwischen Elektron und Kern an.
Informiere dich im Internet über den bohrschen Radius. Ist das Ergebnis, das du erhalten
hast, korrekt? (Du findest sowohl einen numerischen Wert als auch die Formel für den
bohrschen Radius. Manchmal wird die Formel mit „h-bar“ anstatt h: „h-bar“ ist gleich h/2π
geschrieben).
Der bohrsche Radius gibt die Längengrößenordnung von Quantenphänomenen an.
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15
Mit unserem einfachen Quantenmodell haben wir bereits ein ziemlich beeindruckendes
Ergebnis erzielt, aber wir müssen noch einen Schritt weiter gehen, um unser
ursprüngliches Ziel zu erreichen: die Frequenzen der Wasserstoffemissionslinien
voraussagen.
5.b
Voraussage der Wasserstoffemissionslinien
i)
Quantisierte Energien
In unserem Quanten-Atommodell beschreiben wir das Elektron durch das assoziierte Feld
von De Broglie. Du hast soeben bewiesen, dass in diesem Quantenmodell nicht alle
Abstände zwischen Elektron und Kern möglich sind. Das heißt, dass die Größe des Atoms
quantisiert ist.
Nun betrachten wir die Gesamtenergie des Elektrons im elektrischen Feld des Kerns. Wir
vermuten, dass die Energie des Elektrons im Atom auch quantisiert sein könnte. Das
würde bedeuten, dass die Energie nicht alle möglichen kontinuierlichen Werte annehmen
kann, sondern nur eine diskrete Reihe an Werten. Wir werden diese Annahme jetzt
überprüfen.
Wenn das Elektron sich mit der Geschwindigkeit v auf einer K reisbahn bewegt, wie hoch ist
seine kinetische Energie?
E k = ..............................................................................
Da E k gleich ½ mv 2 und dank Gleichung (5), die eine Formel für mv 2 liefert, notieren wir
einerseits E k als die halbe Gleichung (5)
E k = ..............................................................................
Andererseits hat das Elektron Energiepotential, weil es sich im elektrischen Feld de s Kerns
befindet. (Tipp: Achte auf das Vorzeichen!)
E p = ............................................................................
Wie hoch ist dann die Gesamtenergie des Elektrons? Setze die Gleichungen ein, die du in
der Formel für die Gesamtenergie bereits erhalten hast.
E tot =............................................................................
Setze jetzt für r die Gleichung (6) ein. So kommt die ganze Zahl n ins Spiel. Das
Endergebnis sollte folgende Formel sein:
Etot
1 me4
 E p  Ek   2
n 8 0 2 h 2
(8)
(Ist dein Ergebnis falsch, gehe zurück und finde den Fehler!)
Du hast nachgewiesen,
dass die Gesamtenergie des Elektrons
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in De Broglies Atommodell quantisiert ist.
Wird n größer, .................... die Gesamtenergie des Elektrons.
Setzt man n=∞, geht man von einem Elektron aus, das weit vom Kern entfernt ist ( siehe
Formel für r). Hierbei handelt es sich um ein freies Elektron und kein an den Kern
gebundenes Elektron. Was passiert mit dem Energiewert, wenn n=∞?
....................................................................................................... ...................
Wenn der Abstand zwischen Elektron und Kern zunimmt, nimmt die Gesamtenergie des
Elektrons ……………………
Kann die Gesamtenergie des Elektrons kontinuierlich variieren?
Ja/ Nein
Wir können uns die möglichen quantisierten Energieniveaus des Elektrons im
Wasserstoffatom als Leiter möglicher Schwingungsmodi vorstellen, mit in Abhängigkeit des
Werts der ganzen Zahl n variierenden „Energiesprossen“.
Ionisierungsenergie
ii)
Quantisierter Energieübergang
Jetzt betrachten wir die Möglichkeit, dass die Elektronenwelle von einem diskreten
Schwingungsmodus in einen anderen übergeht . Auf diese Art verliert oder gewinnt
sie ein Energiequantum. Wir vermuten, dass diese Energiequanten gleich der
Energiequanten der Photone sein könnten, die wir als Emissionslinien sehen... In
diesem Fall würde die Energie, die das Elektronenfeld verliert , durch das
elektromagnetische Feld aufgenommen. Ist das Energiequantum „groß“, sehen wir blaues
Licht, ist das Energiequantum „klein“, sehen wir rotes Licht. Führen wir diesen Ge danken
fort und berechnen, welche Frequenzwerte sich daraus ergeben und ob die Ergebnisse zu
den experimentell erhobenen Daten für die Wasserstoffemissionslinien passen.
Wenn ein Elektron des mit der ganzen Zahl n 2 assoziierten Energieniveaus in Energieniveau
Nummer n 1 übergeht, wie verändert sich die Energie dieses Elektrons? Gib hier dein
Ergebnis an.
ΔE n2->n1 = ........................................................................................................ ( 9)
Geht das Elektron von einem höheren Energieniveau
auf ein tieferes Energieniveau über, wird ein Photon abgegeben,
das in seinem Energiewert dem veränderten Energiegehalt entspricht.
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Liegt die Frequenz des Photons im sichtbaren Bereich des elektromagnetischen Spektrums,
können wir das Photon in Form von Licht in einem bestimmten Farbton sehen.
In Lernstation IV „Welle-Teilchen-Dualismus“ haben wir uns mit dem Zusammenhang
zwischen der Energie eines Photons und der Frequenz der dazugehörigen
elektromagnetischen Welle (Einstein-Planck-Formel) beschäftigt. Wenn wir annehmen, dass
das elektromagnetische Feld die vom Elektronenfeld verlorene Energie übernimmt, dann
beträgt die Energie ΔE, die das Photon in Bezug auf die Photonenfrequenz gewinnt:
ΔE= .....................................
Strahlung mit
E=hf
Jetzt kannst du die Formel für die Frequenz der infolge des Übergangs des
Wasserstoffatomelektrons von dem mit der Zahl n 2 assoziierten Energieniveau auf das mit
der Zahl n 1 assoziierten Energieniveau emittierten elektromagnetischen Welle notieren:
f n2->n1 =
........................................................................................................
Endlich!!! Dies ist die Formel, die die Frequenzen der Wasserstoffemissionslinien
voraussagt!
Vergleiche dein Ergebnis mit nachstehender Gleichung:
f n2 n1 
m.e 4  1
1 
. 2  2 
2 3 
8. 0 .h  n1
n2 
Ist dein Ergebnis richtig? Herzlichen Glückwunsch! Es ist dir gelungen, die Frequenzen der
Wasserstoffemissionslinien vorauszusagen. (Keine Panik , wenn dein Ergebnis nicht richtig
ist. Gehe zurück und versuche, den Fehler zu finden.)
6
Interpretation der Balmer-Formel
Vergleiche dein Ergebnis jetzt mit der Balmer-Formel, die du zu Beginn dieser Lernstation
kennengelernt hast.
Wie lautet die theoretische Formel für die Konstante R aus der Balmer -Formel?
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R=......................................................................
In dieser Abbildung siehst du
die ersten vier möglichen
Kreisbahnen, auf denen sich die
Elektronenwelle bewegen kann,
Lyman-Serie
(ultraviolett)
Balmer-Serie
(sichtbar)
für die ganzen Zahlen n = .......
, .......... , .......... , .............
Violett
Palmer-Serie
(infrarot)
Violett
Rot
Grünblau
Die Radien dieser möglichen Kreisbahnen werden mit folgender Formel ausgedrückt:
............................
Je weiter das Elektron vom Kern entfernt ist, desto .................. ist sein
Gesamtenergieniveau. Geht das Elektron von einem höheren Energiezustand in einen
niedrigeren Energiezustand (oder von einer Kreisbahn mit dem Radius ………… auf ei ne
Kreisbahn mit dem Radius ………) über, wird ein Photon abgegeben, dessen Energie
ΔE =......................................... ...................................
Den ganzen Zahlen n 1 und n 2 , welche einen bestimmten Übergang identifizieren , können
ganz unterschiedliche Werte zugeordnet werden . Warum sehen wir nur vier
Wasserstoffemissionslinien?
....................................................................................................... ...................
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Quantenphysikalisches Modell des Wasserstoffatoms
Angenommen, das Materiefeld des Elektrons kann nur in
diskreten Wellenfolgen existieren
Das Feld ändert seinen Wellenmodus
schrittweise.
Diskrete Energieveränderungen breiten
sich in einem elektromagnetischen Feld
aus.
Dieses elektromagnetische Feld kann Photonen diskreter Farben
abgeben, die genau mit der Energieabnahme des Materiefelds
übereinstimmen.
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Dreidimensionale Verallgemeinerung: Orbitale
Wenn ein Elektron an ein Atom gebunden ist, dann muss die dazugehörige Wellenlänge in
einen kleinen Bereich passen. Das bedeutet, dass die Welle in einem limitierten Raum
auftreten muss: reflektierende Wellen müssten konstruktiv mit den Originalen interfer ieren.
Dies führt von einer Quantifizierung der Wellen zu einer Quantifizierung von Energien der
Elektronen in Atomen.
Aber die De Broglie Wellen sind zweidimensional. In Wirklichkeit sind die Elektronen in der
elektrischen Anziehung des Kerns gefangen, was in den drei Dimensionen stattfindet. Und
so müssen die Wellen ebenfalls in drei Dimensionen auftreten. Es war der österreichischer
Physiker Erwin Schrödinger, welcher mit den De Broglie Materien-Wellen startete und nach
einer Lösung die Wellen in drei Dimensionen suchte. Das Resultat waren dreidimensionale
stehende Wellen, welche heute als Orbitale bekannt sind. In der Abbildung unten siehst du
die möglichen Elektronen-Orbitale des Wasserstoffes. Schrödinger wurde bekannt durch
seine Gleichung, die wir heute Schrödinger Wellengleichung nennen.
Das erste Quantenorbital eines Elektrons um den Kern des
Wasserstoffes.
Helle
Farben
bedeuten
eine
hohe
Wahrscheinlichkeit, dunkle eine tiefe. (Quelle: Florian
Marquardt, Cond. Matter Physics, LMU Universität München)
Die Schrödinger Wellengleichung ist
ein fantastisches Werkzeug: Man
kann für jedes chemische Element
Lösungen für Wellen berechnen.
Somit kann die Quantenphysik alle
Elektronen-Orbitale
der
Chemie
erklären! Es ist sogar möglich die Orbitale von Molekülen zu
berechnen und somit zu erklären, weshalb Moleküle existieren…
Der österreichische Physiker Erwin Schrödinger hat die De Broglie
Wellen in Form von dreidimensionalen Wellen verallgemeinerte,
welche wir heute als Orbitale kennen. Er stellte die Schrödinger Gleichung auf, deren
Lösungen genau den möglichen Wellen entsprechen.
Einstein zum Quanten-Atommodell:
(…) Die wichtigsten Gesetze der Spektrallinien und der Elektronenhüllen der Atome nebst
deren Bedeutung für die Chemie aufzufinden , empfand ich wie ein Wunder und tue es auch
heute noch. Dies ist die höchste Form der Musikalität in der Sphäre der Gedanken .
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Konzepte der Lernstation V
Klassische Konzepte:
Stehende Wellen auf einer Saite oder einem Musikinstrument.
Diskrete Folgen von Tönen, bei welchen die Frequenz jedes Tons ein ganzzahliges
Vielfaches des Grundtones ist, was sich aus dem abgegrenzten Raum für eine Welle ergibt:
Das ist ein Bespiel für die klassische Quantisierung.
Stehende Wellen auf einer Saite: Für die Wellenlänge (oder Frequenz) der vorhandenen
Wellen kann man nur diskrete Werte vermuten, welche mit der Länge der Saite
zusammenhängen, was diese Gleichung zeigt: λn= 2 L/ n.
Quanten Konzepte:
Die Welle des Elektronenmateriefeldes in einem Atom ist eine "begrenzte Welle". De
Broglie vermutete, dass die atomare Elektronenmateriewelle nur in einer diskreten Folge
stehender Wellenkonfigurationen existieren kann.
Die Quantisierungsbedingung für ein Elektron im Wasserstoffatom:
Die Wellenlänge des Elektrons sollte ein ganzzahliges Vielfaches der Länge L des eigenen
kreisförmigen Weges um den Nucleus sein.
Weil das Elektron gemäss der de Broglie Hypothese ebenfalls ein Teilchen ist und weil es
sich als Teilchen auf einer Kreisbahn bewegt, muss eine Kraft auf das Elektron wirken, die
als Zentripetalkraft wirkt. Diese Kraft ist die Colomb Kraft, welche vom Kern ausgeübt
wird.
Das Quanten-Atommodell von de Broglie erlaunbt es uns, eine quantitative Voraussage zu
möglichen Abständen zwischen Elektron und Kern zu treffen :Diese Abstände sind
quantisiert.
Der Bohrsche Radius, das heisst der kleinste mögliche Abstand zwischen Elektron und Kern
in einem Wasserstoffatom, gibt den wahrscheinlichsten Abstand zwischen Elektron und
Kern an.
Die Gesamtenergie des Elektrons in De Broglies Atommodel ist quantisiert. Je weiter das
Elektron vom Kern entfernt ist, desto grösser ist seine Gesamtenergie.
Geht das Elektron von einem höheren Energieniveau auf ein tieferes Energieniveau über,
wird ein Photon abgegeben, das in seinem Energiewert dem veränderten Energiegehalt
entspricht. Die Frequenz für das Photon kann mit der Balmer-Formel berechnet werden.
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