pdf, 2.3 M - Walther Meißner Institut

Herstellung
g und Charakterisierung
ng von
Flussquan
ntenbits mit vier Joseph
hson-
Kontakten
Diplomarbeit von
Felix Bilger
Themeensteller: Prof. Dr. Rudolf Gross
G
Garching
im Oktober 2011
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
3
2. Theoretische Grundlagen
7
2.1. Quantisierung des magnetischen Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2. Josephson-Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3. Das RCSJ-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. dc-SQUIDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5. Supraleitende Quantenbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Das Flussquantenbit mit vier Josephson-Kontakten
23
3.1. Herleitung des Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Herleitung der Hamilton-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. Quantenmechanische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4. Detektion des Quantenbitzustands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. Experimentelle Techniken
4.1. Herstellung der Zuleitungsstrukturen
35
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2. Herstellung der Josephson-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3. Charakterisierung der Josephson-Bauelemente und Tieftemperaturaufbauten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.1. Der 3 He-Kryostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.2. Der 3 He-4 He-Mischkryostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.3. Elektronische Messaufbauten zur Charakterisierung der JosephsonBauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5. Experimentelle Ergebnisse
53
5.1. Optimierung des Herstellungsprozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2. Messungen bei 500 mK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.1. Aufnahme von Strom-Spannungs-Kennlinien . . . . . . . . . . . . . 59
5.2.2. Aufnahme der Magnetfeldabhängigkeit des maximalen Suprastroms 62
1
Inhaltsverzeichnis
5.3. Messungen bei 50 mK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.1. Aufnahme von Strom-Spannungs-Kennlinien . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.2. Aufnahme von magnetfeldabhängigen Modulationen des maximalen Suprastroms
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.3. Mikrowellenspektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3.4. Analyse der Mikrowellenresonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6. Zusammenfassung und Ausblick
79
A. Fabrikationsparameter
83
B. Simulation der Potentiallandschaft in Wolfram Mathematica
87
C. Danksagung
89
2
1. Einleitung
Im Jahr 1981 kam Richard Feynman zu der Erkenntnis, dass sich quantenmechanische
Systeme am besten mit Hilfe eines Quantencomputers simulieren lassen [1]. Er öffnete
damit ein bis heute sehr aktives Forschungsfeld, das durch eine Veröffentlichung von David Deutsch [2] im Jahre 1985 weiter an Interesse gewann. Darin konnte Deutsch zum
ersten Mal zeigen, dass ein zusammen mit Richard Josza entwickelter Algorithmus, der
auf quantenmechanischen Methoden zur Informationsverarbeitung beruht, ein mathematisches Problem nachweisbar schneller lösen konnte als ein klassischer Computer.
Große Aufmerksamkeit fand 1997 der Shor-Algorithmus [3], mit dessen Hilfe man zum
ersten Mal theoretisch eine Zahl in kürzerer Zeit als mit „klassischen” Computern in ihre
Primfaktoren zerlegen konnte. Damit degradierte dieser Algorithmus ein bis zu diesem
Zeitpunkt als unüberwindbar und somit als absolut sicher geltendes Verschlüsselungsprinzip, das mit dem Verfahren der Primfaktorzerlegung arbeitet, als zumindest theoretisch
bezwingbar.
Von gänzlich anderer Natur zeigte sich der 1996 vorgeschlagene Grover-Algorithmus [4],
der eine Methode zur effizienten Datenbanksuche präsentiert, mit welcher es möglich ist,
aus einer Datenbank mit N Einträgen, die bei einem klassischen Computer zur Auslese
√
N Rechenschritte benötig, in einer um den Faktor N reduzierten Zeit auszulesen.
Die Quanteninformationsverarbeitung unterscheidet sich wesentlich vom bisher bekannten „klassischen” Umgang mit Information. In klassischen Systemen ist es üblich,
Information in Bits zu speichern, die entweder den Zustand „0” oder „1” annehmen können. Im Gegensatz dazu wird Quanteninformation in Quantenzuständen eines geeigneten physikalischen Systems gespeichert, welches neben den Zuständen „0” und „1” auch
in Überlagerungen dieser beiden Basiszustände dargestellt werden kann, ferner sind sogar Verschränkungen mehrerer Quantenbits möglich. Aus dieser Tatsache heraus ergibt
sich der entscheidende Vorteil, dass verschiedene Registerzustände quasi gleichzeitig bearbeitet werden können, was einem signifikanten Leistungszuwachs in der Rechenleistung
gleichbedeutend ist. Mit N Bits im klassischen Sinne lassen sich durch beliebige Kombinationen 2N unterschiedliche Werte darstellen. Mit Hilfe von quantemechanischer Verschränkung ist es jedoch theoretisch möglich, sämtliche 2N Zustände gleichzeitig darzu-
3
1. Einleitung
stellen und somit auch alle anfallenden Rechenoperationen simultan auszuführen. Dieser
Quantenparallelismus wird nun von jedem System genutzt, das eine kontrollierte Verarbeitung dieser Quantenzustände ermöglicht und somit gemeinhin als Quantencomputer
bezeichnet wird.
Die physikalische Implementierung eines solchen Systems ist an einige Voraussetzungen
gebunden. Diese hat David DiVincenzo [5] im Jahr 2000 anhand von fünf Bedingungen
beschrieben. Damit hatte er einen Rahmen geschaffen, mit dessen Hilfe physikalische Systeme auf ihre Eignung zur Quanteninformationsverarbeitung überprüft werden können.
Generell lassen sich heute physikalische Implementierungen zur Quanteninformationsverarbeitung in zwei Hauptgruppen einteilen. Die erste Gruppe bilden Systeme aus der
Quantenoptik, bei denen einzelne Ionen in dafür geeigneten Fallen festgehalten und mit
Hilfe von kurzen gezielten Laserpulsen manipuliert werden [6]. Die Quantenbits selbst
werden bei diesem Verfahren durch die Zustände der jeweiligen Ionen dargestellt, welche
sich über ihre Kopplung an die Lichtfelder der Laserpulse auslesen lassen. Zudem ist
es möglich, Quanteninformation in Rydberg-Atomen zu speichern [7]. Alternativ können
Systeme aus Atomen und Resonatoren verwendet werden, wie sie beispielsweise in [8] diskutiert werden. Die zweite Gruppe bilden festkörperbasierte Systeme, von denen wiederum Spin-Systeme in Quantenpunkten [9] oder supraleitende Quantenbits mit JosephsonKontakten [10] prominente Vertreter sind. Letztgenannte Systeme können Quanteninformation entweder über die Anzahl der supraleitenden Ladungsträger, die Cooper-Paare,
oder durch den Umlaufsinn eines supraleitenden Ringstroms darstellen. Dient die Anzahl
der Cooper-Paare als Kontrollparameter des Systems, so spricht man von Ladungsquantenbits [11], trägt hingegen ein supraleitender Ringstrom die Quanteninformation, so wird
das System als Flussquantenbit [10] bezeichnet. Darüber hinaus kann Quanteninformation auch in der Phasendifferenz der jeweiligen makroskopischen Wellenfunktion, die das
supraleitende Kondensat beschreiben, gespeichert sein. Solch ein System wird deshalb
auch Phasenquantenbit [12] genannt.
Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Herstellung und Charakterisierung von supraleitenden Flussquantenbits bestehend aus einem supraleitenden Ring, der
durch vier Josephson-Kontakte unterbrochen ist. Bisher sind Flussquantenbits überwiegend mit drei Josephson-Kontakten realisiert, erfolgreich theoretisch beschrieben [13] und
experimentell untersucht [14, 15] worden. Allerdings deuten erste Kohärenzzeitmessungen von Flussquantenbits mit vier Josephson-Kontakten verschiedener Arbeitsgruppen
darauf hin, dass sich durch einen vierten Josephson-Kontakt höhere Kohärenzzeiten erreichen lassen [16, 17, 18]. Bedingt durch den speziellen Herstellungsprozess führt ein
4
vierter Josephson-Kontakt ferner zu einer erhöhten Symmetrie in der Quantenbitstruktur. Dies diente als Motivation, einen bereits etablierten Herstellungsprozess für Flussquantenbits mit drei Josephson-Kontakten auf einen vierten Kontakt zu erweitern und
die hergestellten Systeme zu charakterisieren. Als Kontrollparameter der hergestellten
Flussquantenbits wird der magnetische Fluss Φ verwendet, der es gestattet, das System
gezielt von außen zu manipulieren.
Die vorliegende Arbeit beinhaltet sechs Kapitel. Nach dieser Einleitung wird im zweiten Kapitel der theoretische Hintergrund von Josephson-Kontakten und Quantenbits
behandelt, an das sich im dritten Kapitel ein spezieller Abschnitt zur theoretischen Beschreibung der hergestellten Flussquantenbits mit vier Josephson-Kontakten anschließt.
Im vierten Kapitel wird der verwendete Herstellungsprozess der Flussquantenbits detailliert erläutert, bevor im anschließenden fünften Kapitel die gewonnenen Ergebnisse
vorgestellt werden. Im sechsten Kapitel schließlich werden die erhaltenen Resultate zusammengefasst und in einen größeren Zusammenhang eingeordnet.
5
2. Theoretische Grundlagen
Dieses Kapitel behandelt die theoretischen Grundlagen, welche zunächst die Dynamik
von Josephson-Kontakten als grundlegende Bauelemente von Flussquantenbits beschreiben. Anschließend werden kurz wichtige Eigenschaften von supraleitenden Quantenbits
diskutiert, um danach auf dieser Basis im darauffolgenden Kapitel eine theoretische Beschreibung von Flussquantenbits mit vier Josephson-Kontakten vorstellen zu können.
2.1. Quantisierung des magnetischen Flusses
In Analogie zum Modell der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung, die für den Bahndrehimpuls L eines Teilchens nur bestimmte diskrete Werte gestattet, schlugen die Brüder Fritz
und Heinz London im Jahre 1950 für eine zylindrische Geometrie eines Supraleiters auch
eine Quantisierungsbedingung des magnetischen Flusses vor [19]. Als Quantum brachten
sie dabei in einer Fußnote den Wert ΦLondon
=
0
h
e
= 4 · 10−15 Vs ins Gespräch.
1961 untersuchten sowohl Robert Doll und Martin Näbauer [20] als auch Bascom Deaver und William Fairbank diese theoretische Vorhersage. Beide Gruppen kamen unabhängig voneinander zu dem Ergebnis, dass der magnetische Fluss in einem supraleitenden Ring tatsächlich quantisiert ist, allerdings mit einem Flussquantum von Φ0 =
2, 067 · 10−15 Vs. Damit bestätigten sie direkt die 1957 veröffentlichte BCS-Theorie [21],
die das Phänomen der Supraleitung mit der Existenz von Cooper-Paaren als Ladungsträger der supraleitenden Phase begründete.
2.2. Josephson-Kontakte
Josephson-Kontakte stellen schwach gekoppelte Systeme dar, bei denen zwei Supraleiter über eine dünne, meist isolierende Schicht räumlich voneinander getrennt sind, was
in Abbildung 2.1 schematisch gezeigt ist. Die Kopplung selbst kann durch quantenmechanisches Tunneln beschrieben werden, woraus sich unmittelbar die Quantennatur des
Phänomens erkennen lässt.
7
2. Theoretische Grundlagen
Josephson-Kontakte zeigen charakteristische Josephson-Effekte, die Brian David Josephson 1962 für den Fall eines Supraleiter-Isolator-Supraleiter-Kontakts (SIS-Kontakt)
theoretisch vorhergesagt hatte [22]. Im Jahr 1973 erhielt er dafür zusammen mit Leo
Esaki und Ivar Giaever den Nobelpreis für Physik.
Abbildung 2.1.: Schematische Darstellung eines SIS-Josephson-Kontakts. Die Wellenfunktionen der supraleitenden Kondensate sind gegeben durch ψ1,2 =
A1,2 · eiθ1,2 (r,t) . A1,2 beschreibt eine Amplitude, während θ1,2 die Phase
der makroskopischen Wellenfunktion angibt, die das supraleitende Kondensat in den beiden Supraleitern S 1 und S 2 beschreibt.
Beschreibung im makroskopischen Quantenmodell
Die BCS-Theorie beschreibt die supraleitenden Ladungsträger als ein Kondensat von
Elektronenpaaren, die als sogenannte Cooper-Paare bosonischen Charakter haben und
daher der Bose-Einstein-Statistik gehorchen. Im kondensierten Grundzustand haben alle
Cooper-Paare dieselbe identische Grundzustandsenergie, was dazu führt, dass auch die
zeitliche Entwicklung der Phasen, wie sie durch die Schrödingergleichung
Hψ = i~
∂
ψ,
∂t
(2.1)
beschrieben wird, für alle Cooper-Paare identisch ist. H beschreibt in (2.1) den Hamilton-
Operator und ψ ≡ ψ (r, t) = ψ0 · eiθ(r,t) die Wellenfunktion des Ensembles von Cooper-
Paaren. Es ist daher zweckmäßig, das supraleitende Kondensat als einen kohärenten
Zustand mit fester Phase anzusehen und diese Phase als charakteristischen makroskopischen Ordungsparameter des Systems zu verwenden. Dem supraleitenden System wird
folgende makroskopische Wellenfunktion zugeordnet:
ψ (r, t) =
p
ns (r, t)eiθ(r,t) .
(2.2)
Hier ist ns die Teilchendichte der Cooper-Paare, die durch das Betragsquadrat der
makroskopischen Wellenfunktion ψ ausgedrückt werden kann zu
ns (r, t) = |ψ (r, t)|2 = ψ ∗ (r, t) ψ (r, t) .
8
(2.3)
2.2. Josephson-Kontakte
Es ist hierbei darauf zu achten, dass die Gesamtzahl Ns aller Cooper-Paare gemäß
Ns =
ˆ
ψ ∗ (r, t) ψ (r, t) dV
(2.4)
V
normiert sein muss.
Eigenschaften eines Josephson-Kontakts: Josephson-Gleichungen und
charakteristische Energien
Bis 1962 ging man davon aus, dass lediglich einzelne Elektronen als Ladungsträger Tunnelverhalten zeigen könnten. Für Paare von Ladungsträgern war die vorherrschende Meinung, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Tunnelprozess durch die Oxidbarriere praktisch vernachlässigbar sei. Brian David Josephson jedoch zeigte in diesem Jahr theoretisch, dass sehr wohl eine endliche Wahrscheinlichkeit für das Tunneln von Cooper-Paaren
existiert, wenn man in Betracht zieht, dass jenes Tunneln einen kohärenten Prozess darstellt [22]. Somit tunnelt nur ein Kondensat supraleitender Ladungsträger aus einem
Supraleiter durch die Isolationsbarriere in den Bereich des anderen Supraleiters hinein
und nicht ein Ensemble unterschiedlicher Wellenfunktionen. Josephson konnte damit unter Zuhilfenahme eines Modells, das in Abbildung 2.2 gezeigt ist, das bei SIS-Kontakten
beobachtete Verhalten erklären und formulierte dazu zwei nach ihm benannte Gleichungen.
Abbildung 2.2.: Prinzipskizze zur Detektion des Josephson-Verhaltens. Der JosephsonKontakt wird hier durch ein Kreuz symbolisch dargestellt.
Die erste Josephson-Gleichung beschreibt die Eigenschaft, dass auch ohne Spannungsabfall ein von außen aufgeprägter Strom als Suprastrom durch die Barriere tunneln kann.
Dieser Suprastrom hängt gemäß
9
2. Theoretische Grundlagen
(2.5)
js = jc sin ϕ
von der Phasendifferenz ϕ ≡ ϕ (r, t) = θ2 − θ1 − Φ20
´2
1
A · dl [23] zwischen zwei Supra-
leitern 1 und 2 ab, während jc die kritische Stromdichte des Kontakts kennzeichnet. In
integraler Form lautet diese erste Josephson-Gleichung
(2.6)
Is = Ic sin ϕ
und ist auch unter dem Namen Strom-Phasen-Beziehung bekannt. Überschreitet der
von außen aufgeprägte Strom einen kritischen Wert Ic , so kann der Strom nicht mehr
ohne Dissipation über den Kontakt getragen werden. Es tritt eine zeitliche Änderung der
eichinvarianten Phasendifferenz ϕ ein, die mit einem Spannungsabfall gemäß
∂
2π
ϕ=
V
∂t
Φ0
(2.7)
einhergeht. Diese zweite Josephson-Gleichung beschreibt als Spannungs-Phasen-Beziehung
den Einfluss einer zeitlichen Änderung der eichinvarianten Phasendifferenz. Bei konstanter Spannung V liefert eine einfache Integration dieser Gleichung in (2.6) eingesetzt eine
weitere typische Eigenschaft eines Josephon-Kontakts. In
2π
2π
V t ⇒ Is = Ic sin ϕ0 +
Vt
ϕ (t) = ϕ0 +
Φ0
Φ0
(2.8)
erkennt man, dass der Suprastrom sinusförmig mit einer charakteristischen JosephsonFrequenz von νJ =
V
Φ
= 483,6 MHz
µV oszilliert. Diese Eigenschaft macht man sich heute
unter anderem zur Definition eines Spannungsnormals zunutze [23].
Das Josephson-Verhalten kann auch zur BCS-Theorie [21] in Beziehung gesetzt werden. In einer mikroskopischen Betrachtung leiteten Amrapali Ambegaokar und Alexis
Baratoff [24] 1963 dazu eine nach ihnen benannte Beziehung zwischen dem maximalen Suprastrom Ic , dem normalleitenden Widerstand Rn und der temperaturabhängigen
BCS-Energielücke ∆ (T ) her, die mit
π
Ic Rn = ∆ (T ) tanh
2e
∆ (T )
2kB T
=:
π
Vg ,
4
(2.9)
als Ambegaokar-Baratoff-Relation bekannt ist. In (2.9) ist kB die Boltzmann-Konstante
und Vg beschreibt die „Gap-Spannung” des Josephson-Kontakts. Diese Beziehung stellt
eine weitere Möglichkeit dar, einen Josephson-Kontakt zu charakterisieren, da es mit ihr
möglich ist, experimentell bestimmbare Größen wie Ic oder Rn mit den theoretisch zu
10
2.2. Josephson-Kontakte
erwartenden Werten zu vergleichen.
Zur weiteren Beschreibung der Dynamik eines Josephson-Kontaktes müssen zusätzliche
Größen eingeführt werden. Dies ist zunächst die Josephson-Kopplungsenergie EJ , die sich
aus der Definition
EJ =
ˆ
t0
Is V dt
(2.10)
0
ergibt, in der bis zu einem Zeitpunkt t0 über das Produkt aus Suprastrom Is und Spannung V integriert wird. Unter Zuhilfenahme der Strom-Phasen- (2.6) und der SpannungsPhasen-Beziehung (2.7) ergibt sie sich [23] zu
EJ =
I c Φ0
(1 − cos ϕ) ≡ EJ0 (1 − cos ϕ) .
2π
(2.11)
Hier ist EJ0 die charakteristische Josephson-Energie des Kontakts.
Josephson-Kontakte weisen auf Grund der periodischen Modulation der JosephsonEnergie nichtlineare Effekte auf. Dieses Verhalten wird deutlich, wenn man die StromPhasen-Beziehung (2.6) nach der Zeit ableitet und unter Verwendung der SpannungsPhasen-Beziehung (2.7) einen Ausdruck für die zeitliche Änderung des Suprastroms Is
erhält:
d
d
2π
Is = Ic cos ϕ · ϕ = Ic cos ϕ ·
V.
dt
dt
Φ0
(2.12)
Man kann hieran erkennen, dass sich ein Josephson-Kontakt wie eine nichtlineare Induktivität der Form
Ls =
1
Φ0
≡ Lc
2πIc cos ϕ
cos ϕ
(2.13)
verhält, die auch negative Werte annehmen kann.
Eine andere charakteristische Größe eines Josephson-Kontakts ist die in ihm gespeicherte elektrische Feldenergie EC . Diese hat die Form
1
Q2
(2eN )2
EC = CV 2 =
=
= 4EC0 N 2 ,
2
2C
2C
(2.14)
wobei N die Anzahl der Cooper-Paare angibt, C eine Kapazität und Q die damit
verbundene Ladungsmenge kennzeichnen.
EC0 ≡
e2
2C
(2.15)
11
2. Theoretische Grundlagen
beschreibt in (2.14) die sogenannte Ladungsenergie.
2.3. Das RCSJ-Modell
Zur theoretischen Untersuchung eines Josephson-Kontakts kann das RCSJ −M odell ver-
wendet werden, das als Abkürzung für „Resistively and Capacitively Shunted Junction”Modell steht. Dabei wird angenommen, dass die Impedanz einer äußeren Stromquelle, mit
der dem Kontakt ein Strom aufgeprägt wird, wesentlich größer ist als die Impedanz des
Kontaktes selbst. Zur Beschreibung des Kontaktes wird dieser durch ein Ersatzschaltbild
ersetzt, wie in Abbildung 2.3 gezeigt.
Abbildung 2.3.: Schematische Darstellung des Ersatzschaltbildes eines JosephsonKontakts im RCSJ-Modell. Die einzelnen Elemente der Schaltung sind
parallel angeordnet.
Eine Kapazität C ist parallel geschaltet zu einem idealen Josephson-Kontakt mit kritischem Strom Ic und einem spannungsunabhängigen parallelen Widerstand Rn . Dieser
normalleitende Widerstand Rn lässt sich über die Ohm’sche Beziehung
Rn =
V
In
(2.16)
angeben, wobei In den Strom im normalleitenden Zustand und V die dabei abfallende
Spannung beschreiben.
Die Kapazität des modellierten Kontakts erzeugt einen Verschiebungsstrom
Iv = C
d
V.
dt
(2.17)
Da im RCSJ-Modell alle Komponenten parallel geschaltet sind, teilt sich der von außen
aufgeprägte Gesamtstrom gemäß den Kirchhoff’schen Regeln in drei Teile auf:
12
2.3. Das RCSJ-Modell
(2.18)
I = Is + In + Iv .
Somit ergibt sich für den Gesamtstrom im Modellsystem mit
I = Ic sin ϕ +
d
V
+C V
Rn
dt
(2.19)
eine Bilanzgleichung.
Mit der Spannungs-Phasen-Beziehung (2.7) folgt nun
I = Ic sin ϕ +
Φ0 d
Φ0 d 2
ϕ+C
ϕ,
Rn 2π dt
2π dt2
(2.20)
was unter Verwendung der Josephson-Energie zur zeitlichen Entwicklunng der eichinvarianten Phasendifferenz ϕ und damit zu einem Ausdruck der Dynamik eines JosephsonKontakts [23] über
C
d2
dt2
ϕ+
1 d
ϕ+
Rn dt
d
dϕ
n
führt.
h
EJ0 1 − cos ϕ −
Φ0 2
2π
I
Ic ϕ
io
=0
(2.21)
Φ0 2
C
Gleichung (2.21) beschreibt die Bewegung
eines
Teilchens
der
Masse
M
=
2π
h
i
I
in einem Potential der Form U = EJ0 1 − cos ϕ − Ic ϕ entlang einer Koordinate ϕ.
2 1
0
Die Bewegung erfährt eine Dämpfung der Form η = Φ
2π
Rn . Die Kraft, die auf das
Teilchen wirkt, ergibt sich aus
∂U
∂ϕ .
Abbildung 2.4 zeigt die Form des Potentials U , das
aus dieser Ursache heraus auch den Namen eines „gekippten Waschbrettpotentials” trägt.
Man erkennt, dass die Verkippung umso stärker ausfällt, je weiter der von außen auf den
Kontakt aufgeprägte Strom I wächst.
Stewart [25] und McCumber [26] führten für dieses Modell den dimensionslosen StewartMcCumber-Parameter
βC ≡
2π
Ic Rn2 C
Φ0
(2.22)
ein, mit dem sich die Dynamik eines Josephson-Kontakts in ein unterdämpftes (βC ≫ 1)
und ein überdämpftes (βC ≪ 1) Verhalten klassifizieren lässt. Der Fall βC ≈ 1 schließlich
stellt den Fall schwacher Dämpfung dar. Das unterschiedliche Verhalten von Josephson-
Kontakten ist abhängig von ihrer Dämpfung und in ihren jeweiligen Strom-SpannungsKennlinien gut zu erkennen, was in Abbildung 2.5 für die beiden vorgestellten Dämpfungsfälle verdeutlicht wird.
13
2. Theoretische Grundlagen
Abbildung 2.4.: Schematische Darstellung der potentiellen Energie Epot ≡ U entlang
einer Koordinate ϕ für verschiedene Verhältnisse I/Ic .
Für einen unterdämpften Kontakt ist es möglich, aus der Kenntnis von kritischem
Strom Ic und Rücksprungstrom Ir den Stewart-McCumber-Parameter βC zu ermitteln
[23]:
16
βC = 2
π
Ic
Ir
2
,
(2.23)
so dass sich schließlich auch die Kapazität C des Kontaktes über (2.22) bestimmen
lässt.
ωp =
r
2πIc
Φ0 C
(2.24)
gibt als Plasmafrequenz bei einem unterdämpften Josephson-Kontakt an, mit welcher
Frequenz ein Phasenteilchen bei kleinen Schwingungsamplituden um die Nullage in einem
Potentialminimum oszilliert.
2.4. dc-SQUIDs
Nachdem das theoretische Verhalten eines Josephson-Kontaktes vorgestellt worden ist,
soll nun auf dieser Grundlage ein wichtiges Bauteil, das mit Josephson-Kontakten reali-
14
2.4. dc-SQUIDs
Abbildung 2.5.: Typische Strom-Spannungs-Charakteristiken von Josephson-Kontakten.
Kontakt (a) ist überdämpft, Kontakt (b) jedoch unterdämpft und zeigt
eine Hysterese [23].
siert wird, beschrieben werden. Zwei parallel angeordnete Josephson-Kontakte, die über
einen supraleitenden Ring miteinander verbunden sind, bilden ein dc-SQUID, siehe Abbildung 2.6. In Rahmen dieser Diplomarbeit wurden stets dc-SQUIDs zur Detektion der
Quantenbit-Zustände verwendet, siehe Kap. 3.4.
Wie in [27] gezeigt, lässt sich der maximale Suprastrom Ismax über die Beziehung
Ismax
ausdrücken, wobei f :=
Φ
ext
= 2Ic |cos (πf )| ,
= 2Ic cos π
Φ0 Φext
Φ0
(2.25)
die Frustration beschreibt, also das Verhältnis von äu-
ßerem Fluss Φext , der den supraleitenden Ring senkrecht durchsetzt, und Flussquantum
Φ0 . Beide Josephson-Kontakte werden in diesem Modell als identisch angenommen. Es
ist allerdings zu beachten, dass Gleichung (2.25) nur dann gilt, wenn die Induktivität L
der Anordnung vernachlässigbar gering ist.
Bezieht man nun die Induktivität mit in die Betrachtung ein, so kann der Gesamtfluss
Φ im System nicht mehr allein durch den äußeren Fluss Φext dargestellt werden. Φ erhält
vielmehr einen induktiven Zusatzterm, der von einem induktiv erzeugten Ringstrom Icir
verursacht wird und die Form
Φ = Φext + ΦL = Φext + LIcir
(2.26)
15
2. Theoretische Grundlagen
Abbildung 2.6.: Schematischer Aufbau eines dc-SQUIDs nach [27]: Zwei JosephsonKontakte, modelliert durch das RCSJ-Modell, sind parallel in einem
supraleitenden Ring geschaltet. Das gesamte System wird von einem
externen Fluss Φext durchsetzt.
aufweist.
Man erkennt, dass mit zunehmender Induktivität L der externe Anteil des Fluss immer
weiter abnimmt. Es ist daher zweckmäßig, einen Abschirmparameter βL einzuführen,
welcher ein Maß für die induktive Abschirmung des dc-SQUIDs darstellt [23] und über
βL :=
2LIc
Φ0
(2.27)
definiert ist. Es lassen sich nun im Wesentlichen die Fälle schwacher (βL ≪ 1) und
starker Abschirmung (βL ≫ 1) unterscheiden.
Für βL ≪ 1 liegt eine geringe Induktivität im dc-SQUID vor, so dass der Fluss im
System maßgeblich durch den äußeren Fluss Φext bestimmt wird. In diesem Fall kann
Gleichung (2.25) angewandt werden, um die periodische Modulation des maximalen Su-
prastroms Ismax zu beschreiben. Ist die Abschirmung hingegen stark (βL ≫ 1), so erzwingt
die Flussquantisierung eine Bedingung für den Gesamtfluss im dc-SQUID, die dem Ausdruck
Φ = Φext + ΦL = Φext + LIcir ≃ nΦ0 ,
(2.28)
folgt, wobei n eine natürliche Zahl ist. Für den maximalen Suprastrom Ismax kann man
schließlich die Beziehung
16
2.5. Supraleitende Quantenbits
Ismax ≃ 2Ic −
2Φext 2Ic
Φ0 β L
(2.29)
ableiten. Hieran erkennt man, dass sich die Modulation des maximalen Suprastroms
mit zunehmender Abschirmung deutlich verringert. Abbildung 2.7 verdeutlicht die beiden
Grenzfälle.
Abbildung 2.7.: Einfluss des Abschirmparameters βL auf die Oszillationen des maximalen
Suprastroms Ismax in Abhängigkeit der Frustration f . Die rote Linie zeigt
den Fall βL ≫ 1, also mit starker induktiver Dämpfung. Man erkennt,
dass dadurch die Amplitude der Modulation von Ismax deutlich verringert
wird.
2.5. Supraleitende Quantenbits
Supraleitende Quantenbits, auch kurz Qubits genannt, stellen das quantenmechanische
Analogon zum klassischen Bit in der Informationstechnik dar. Klassische Bits zeichnen
sich dadurch aus, dass sie entweder den Zustand „0” oder den Zustand „1” repräsentieren.
Im Gegensatz dazu können durch Quantenbits auch Überlagerungen quantenmechanischer Basiszustände dargestellt werden, so dass sich ein allgemeiner Zustand |Ψ (t)i in
einem solchen Quantenbit über
17
2. Theoretische Grundlagen
|Ψ (t)i = α (t) |0i + β (t) |1i
(2.30)
darstellen lässt.α (t) und β (t) beschreiben hierbei komplexe Wahrscheinlichkeitsamplituden, die den jeweiligen Anteil eines Zustandes an der Gesamtwahrscheinlichkeit des
resultierenden Zustands beschreiben. Ferner gilt
hΨ (t) | Ψ (t)i = |α (t)|2 + |β (t)|2 = 1
(2.31)
als Normierungsbedingung.
Veranschaulichung des Qubit-Zustandes mit Hilfe der Bloch-Sphäre
Jedes quantenmechanische Zweiniveausystem kann im Bild der Bloch-Sphäre dargestellt
werden. Dazu werden zwei Bezugspunkte auf der Sphärenoberfläche ausgewählt, die im
Folgenden als Repräsentation der beiden orthogonalen Basisvektoren dienen. Jeder weitere Punkt auf der Sphärenoberfläche kann dann als Überlagerung dieser beiden Basispunkte dargestellt werden, wie in Abb. 2.8 gezeigt.
Abbildung 2.8.: Schematische Darstellung der Bloch-Sphäre. Die Zustände |0i und |1i
wurden so gewählt, dass sie mit Nord- und Südpol der Sphäre zusammenfallen. Der Vektor |ψi kennzeichnet einen allgemeinen Bloch-Vektor.
Häufig werden die Nord- und Südpole der Bloch-Sphäre als Repräsentationen der Zu-
18
2.5. Supraleitende Quantenbits
stände |0i und |1i gewählt. Damit lässt sich ein allgemeiner Blochvektor |ψi über den
Ausdruck
|ψi = cos
θ
θ
|0i + eiϕ sin |1i
2
2
(2.32)
angeben.
Eigenenergien eines quantenmechanischen Zweizustandssystems
Ein ungestörtes quantenmechanisches Zweizustandssystem weist Energieeigenwerte auf,
die sich aus der Schrödingergleichung zu
(2.33)
H |Ψ1,2 i = E1,2 |Ψ1,2 i
ergeben [28]. Dabei beschreiben H den ungestörten Hamilton-Operator des Systems,
|Ψ1,2 i die jeweiligen stationären Basiszustände und E1,2 die zu diesen Zuständen gehörenden Eigenenergien. Wird das System nun aber manipuliert, beispielsweise, indem
man eine Kopplung zwischen den Energieniveaus zulässt, so ist dies quantenmechanisch
gleichbedeutend mit einer externen Störung. Dies bewirkt gemäß [28] einen veränderten
Hamilton-Operator der Form
e=
H
E1 + W11
W12
W21
E2 + W22
!
.
(2.34)
Wij beschreiben in (2.34) die Störmatrixelemente, die sich als Beitrag zu den ungestörten Energieeigenwerten E1,2 addieren. Unter der Annahme einer nicht-diagonalen
∗ ergibt eine Diagonalisierung von (2.34) abgeänderStörmatrix mit Einträgen W12 = W21
te Energieeigenwerte der Form
E+,− =
1
1
(E1 + W11 + E2 + W2 ) ±
2
2
q
(E1 + W11 − E2 − W22 )2 + 4 |W12 |2 .
(2.35)
Dies führt in diesem Ansatz zu einem hyperbolischen Verlauf der Energieniveaus, die
an einem Entartungspunkt einen minimalen Abstand von 2 |W12 | aufweisen. Diese Energieaufspaltung ist in Abb. 3.6 gezeigt.
19
2. Theoretische Grundlagen
Quantenbits als Zweizustandssysteme
Das Verhalten eines Josephson-Kontakts kann durch die beiden Josephson-Gleichungen
sowie mit dem RCSJ-Modell in guter Näherung mit semiklassischen Formalismen beschrieben werden. Um jedoch einen tieferen Einblick in die zugrundeliegende Physik zu
erhalten, ist es zweckmäßig, eine vollständig quantisierte Beschreibung einzuführen. Dazu
ersetzt man die klassischen Variablen für die Ladung Q und den Fluss Φ durch Operatoren, Q → Q̂ und Φ → Φ̂. In [29, 30] ist gezeigt, dass Q̂ und Φ̂ konjugierte Operatoren
darstellen und deswegen der Kommutatorrelation
h
i
Q̂, Φ̂ = −i~
(2.36)
∆Q∆Φ ≥ ~.
(2.37)
∂
∂
genügen. Mit Q̂ = −i~ ∂Φ
und Φ̂ = i~ ∂Q
erhält man die Unschärferelation
Mit dieser Unschärferelation kann man supraleitende Quantenbits in zwei Gruppen
einteilen, nämlich in Ladungs- und Flussquantenbits [31]. Einen Spezialfall stellen die
sogenannten Phasenquantenbits dar. Die Zugehörigkeit zu einer dieser beiden Gruppen
wird maßgeblich über das Verhältnis
EJ0
EC0
=
I c Φ0 C
πe2
bestimmt. Je nach dem, wie dieses
Verhältnis ausfällt, ist entweder der Fluss Φ oder die Ladung Q die quantenmechanisch
stabile Observable und trägt damit auch die Quanteninformation.
•
EJ0
EC0
≪ 1: Liegt diese Situation vor, so spricht man von einem Ladungsquantenbit
[11], da die Ladung Q in diesem Fall die stabile Observable darstellt. Prominenter
Vertreter dieser Gruppe ist die Cooper-Pair-Box, die zum ersten Mal im Jahre 1987
theoretisch vorgestellt wurde [32]. Experimentell wurden solche Systeme zuerst in
[33] untersucht.
• 30 <
EJ0
EC0
< 80: Hier stellt der Fluss Φ die stabile Observable dar, weswegen sich
für diese Situation der Name Flussquantenbit [10] eingebürgert hat. Überlicherweise
werden Flussquantenbits mit drei [15, 13] oder vier Josephson-Kontakten verwendet.
Im Fall von
EJ0
EC0
≈ 500 ist die Phase die stabile Observable, daher werden solche Syste-
me auch Phasenquantenbits genannt [34]. Abb. 2.9 zeigt überblickshaft die verschienen
Quantenbittypen.
20
2.5. Supraleitende Quantenbits
Abbildung 2.9.: Überblick über die gängigen supraleitenden Quantenbittypen: (a): Ladungsquantenbit, (b): Flussquantenbit mit vier Josephson-Kontakten,
(c): Potentiallandschaft eines Phasenquantenbits. Die roten Linien kennzeichen die Energieniveaus von Grundzustand und angeregtem Zustand,
der rote Pfeil symbolisiert Quantentunneln.
Thermische Fluktuationen
Nicht zu vernachlässigen ist der Einfluss thermischer Fluktuationen. Sie spielen immer
dann eine Rolle, wenn
kB T ≥ EJ0
(2.38)
kB T ≥ EC0
(2.39)
und
gilt. EJ0 erfüllt diese Bedingung bei Flussquantenbits praktisch nie, denn bei einem
kritischen Strom im Bereich von Ic = 1 µA ergäbe sich ein Wert von EJ0 = 3 · 10−18 J,
was einer Temperatur von etwa 2300 K entspricht. EC0 jedoch kommt leicht in diesen
Bereich, da bereits eine Temperatur von 1 mK einer Kapazität von 1 fF äquivalent ist.
fF
Typischerweise haben Josephson-Kontakte eine spezifische Kapazität von c = 100 µm
2,
so dass die erforderliche Kontaktfläche im Bereich von deutlich unter 1 µm2 liegen muss.
Dies macht deutlich, dass zur kontrollierten Herstellung von Quantenbits Technologien
notwendig sind, die mit einer Auflösung von einigen Nanometer akkurat arbeiten können.
Der dazu verwendete Herstellungsprozess wird in Kap. 3.4 detailliert beschrieben.
21
3. Das Flussquantenbit mit vier
Josephson-Kontakten
Bisher sind Flussquantenbits üblicherweise mit drei Josephson-Kontakten hergestellt und
charakterisiert worden [15, 13]. Genau wie im Fall dreier Kontakte besteht ein VierKontakt-Flussquantenbit aus einer Reihenschaltung von vier Josephson-Kontakten in
einem supraleitenden Ring. Drei der vier Kontakte weisen dieselbe Kontaktfläche auf,
während die Fläche eines Kontakts um einen Faktor α reduziert ist. Dieser sogenannte „αKontakt” spielt für charakteristische Eigenschaften des Quantenbits eine zentrale Rolle.
Es besteht die begründete Hoffnung, mit Hilfe eines Flussquantenbits mit vier JosephsonKontakten höhere Kohärenzzeiten und damit stabilere Quantenzustände zu erreichen,
was erste Messungen [18, 17, 16] belegen.
3.1. Herleitung des Potentials
Die Dynamik eines Flussquantenbits mit vier Josephson Kontakten lässt sich analog zum
Fall dreier Kontakte ableiten, der in [13] ausführlich diskutiert wird. Dazu verwendet
man ein System, wie es in Abb. 3.1 gezeigt ist.
Abbildung 3.1.: Darstellung eines Flussquantenbit mit vier Josephson-Kontakten. Die
roten Pfeile kennzeichnen die Definition der eichinvarianten Phasendifferenzen ϕi .
23
3. Das Flussquantenbit mit vier Josephson-Kontakten
Die gesamte Josephson-Energie des betrachteten Systems mit vier Kontakten lässt
sich als Summe der einzelnen Josephson-Energien darstellen. Es ergibt sich somit der
Ausdruck
U=
4
X
i=1,i6=3
3EJ0 (1 − cos ϕi ) + αEJ0 (1 − cos ϕ3 ) .
(3.1)
Zusätzlich muss die Quantisierung des magnetischen Flusses berücksichtigt werden. Sie
lautet
ϕ1 − ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 = −2πf,
(3.2)
wobei f die Frustration beschreibt. Mit dieser Randbedingung ergibt sich für die gesamte potentielle Energie des Systems die Beziehung
U = EJ0 [3 + α − cos ϕ1 − cos ϕ2 − cos ϕ3 − α cos (2πf + ϕ1 − ϕ2 − ϕ3 )] .
(3.3)
Das Potential in (3.3) ist dreidimensional und kann deswegen nicht direkt veranschaulicht werden. Man kann allerdings für einen festen Wert von U einen dreidimensionalen
Konturplot zeichnen. Variiert man dabei den Parameter U , so kann man die Entstehung
einer Doppelmuldenpotentiallandschaft beobachten, was die Bilderserie für verschiedene
Werte von U in Abbildung 3.2 veranschaulicht. Man erkennt, wie für kleine Werte von U
zunächst zwei voneinander getrennte Minima vorliegen (Abb. 3.2.a), die mit wachsendem
U eine keulenartige Struktur ausbilden (Abb. 3.2.b). Mit weiter wachsendem U entstehen
komplexe Äquipotentialflächen, welche die zunächst vorhandene Lokalität (Abb. 3.2.c)
der beiden Minima aufheben (Abb. 3.2.d).
Das Potential (3.3) ist eine Funktion der Phasen ϕ1 , ϕ2 und ϕ3 . Betrachet man nun
eine Schnittebene durch diese Potentiallandschaft, so kann man zwei lokalisierte Minima
erkennen, welche bei einer Reduktion auf zwei Dimensionen die in Abb. 3.2 gezeigte
Entstehung eines Doppelmuldenpotentials bestätigen (Abb. 3.3.b bis Abb. 3.3.d).
Eine weitere Reduktion auf eine Dimension schließlich lässt die Doppelmuldenstruktur
direkt erkennbar werden, siehe Abb. 3.4. In dieser Doppelmuldenstruktur treten periodisch zwei Minima auf, allerdings nur dann, wenn der Parameter α einen Wert annimmt,
der größer als 0,5 ist [13]. Diese Minima repräsentieren zirkulierende Dauerströme mit
entgegengesetztem Vorzeichen, welche die beiden Zustände des Quantenbits darstellen.
Über quantenmechanisches Tunneln durch die zentrale Potentialbarriere können die bei-
24
3.1. Herleitung des Potentials
den Zustände miteinander koppeln und durch Superposition ein quantenmechanisches
Zweizustandssystem bilden.
Abbildung 3.2.: Konturplot-Dartstellung von Äquipotentialflächen eines Flussquantenbits mit vier Josephson-Kontakten. Man erkennt deutlich eine keulenartige Struktur in der Mitte des Plots, welche sich mit steigenden Werten
von U weiter ausbildet.
Das Doppelmuldenpotential ist nur im Fall von f = 0,5 symmetrisch [13]. Weicht die
Frustration von diesem Wert ab, so wird in Abhängigkeit von der Abweichrichtung eines
der beiden Minima energetisch angehoben oder abgesenkt. Gilt f < 0,5, so hebt sich das
linke Minimum energetisch an, während sich das rechte energetisch absenkt. Für f > 0,5
tritt der gegenteilige Effekt ein. Alle drei Fälle sind in Abbildung 3.5 veranschaulicht.
Ist das Doppelmuldenpotential unsymmetrisch, sind die beiden Eigenzustände des Sys-
25
3. Das Flussquantenbit mit vier Josephson-Kontakten
Abbildung 3.3.: (a) Schnitt entlang der Phasenraumdiagonale D von Punkt A nach B
in der Konturplot-Darstellung aus Abb. 3.2. In (b) - (d ) ist die Enstehung einer Doppelmuldenstruktur aus zwei lokalisierten Minima in zwei
Dimensionen analog zu Abb. 3.2 veranschaulicht.
tems in einem Minium lokalisiert. Im Fall von f = 0, 5 jedoch tritt eine Entartung der
energetischen Zustände auf, so dass diese über die Tunnelbarriere koppeln können, woraus
sich schließlich quantenmechanische Superpositionen ergeben.
3.2. Herleitung der Hamilton-Funktion
Bisher wurde ausschließlich die potentielle Energie eines Flussquantenbits mit vier Kontakten beschrieben. Um jedoch die vollständigen Hamilton-Funktion zu erhalten, ist
darüber hinaus die gesamte elektrische Energie zu berechnen. Sie ergibt sich aus den
Feldenergien der einzelnen Kontakte zu
26
3.2. Herleitung der Hamilton-Funktion
Abbildung 3.4.: Schnitt entlang der Phasenraumdiagonale D in Abb. 3.3. Man erkennt
zwei stabile periodische Minima, welche die beiden Mulden des Potentials
ausbilden.
Eel = 3EC + αEC =
4
X
i=1,i6=3
4
X
i=1,i6=3
1
3 C
2
Φ0
2π
2
1
1
3 CVi2 + α CV32 =
2
2
ϕ̇21
+
ϕ̇22
+
ϕ̇24
1
+α C
2
Φ0
2π
2
ϕ̇23
(3.4)
unter Zuhilfenahme der Strom-Spannungs-Beziehung (2.6). Natürlich gilt weiterhin die
Bedingung der Flussquantisierung (3.2), so dass sich die elektrische Feldenergie zu
1
Eel ≡ T = C
2
Φ0
2π
2 h
ϕ̇21 + ϕ̇22 + ϕ̇23 + α (ϕ̇3 − ϕ̇2 − ϕ̇1 )2
i
(3.5)
angeben lässt. Hierbei wurde die kinetische Energie T mit der elektrischen Feldenergie
Eel im Bild eines mechanischen Systems identifiziert. Die Hamilton-Funktion H ergibt
sich nun als Summe aus potentieller und kinetischer Energie zu
H = U + T = [3 + α − cos ϕ1 − cos ϕ2 − cos ϕ3 − α cos (2πf + ϕ1 − ϕ2 − ϕ3 )]
2 h
i
Φ0
1
ϕ̇21 + ϕ̇22 + ϕ̇23 + α (ϕ̇3 − ϕ̇2 − ϕ̇1 )2 .
(3.6)
+ C
2
2π
27
3. Das Flussquantenbit mit vier Josephson-Kontakten
Abbildung 3.5.: Verlauf der potentiellen Energie entlang einer Phasenkoordinate ϕ. Dargestellt sind die Fälle f < 0, 5 (blau), f = 0, 5 (grau) und f > 0, 5
(grün).
3.3. Quantenmechanische Beschreibung
Der Übergang von der zunächst rein klassischen Beschreibung in ein quantenmechanisches
Bild erfolgt, wenn man die konjugierten Variablen in der klassichen Hamilton-Funktion
durch Operatoren ersetzt. Als klassisch konjugierte Variablen bieten sich hier Nn =
Qn
2e
und ϕn an. Nn beschreibt dabei die jeweilige Abweichung der Zahl der supraleitenden
Ladungsträger an den Elektroden des jeweiligen Kontakts vom Grundzustand. Mit dieser
Ersetzung kann die Hamilton-Funktion angegeben werden zu
H = [3 + α − cos ϕ1 − cos ϕ2 − cos ϕ3 − α cos (2πf + ϕ1 − ϕ2 − ϕ3 )]
h
i
+4EC0 N12 + N22 + N32 + α (N3 − N2 − N1 )2 .
(3.7)
Hierzu wurden die zweite Josephson-Gleichung (2.7) und die Definition der Ladungsenergie verwendet. Der Übergang zur Operatorbasis erfolgt nun mit dem Übergang
Nn → i ∂ϕ∂ n , so dass sich für den Hamilton-Operator der Ausdruck
28
3.3. Quantenmechanische Beschreibung
H = [3 + α − cos ϕ1 − cos ϕ2 − cos ϕ3 − α cos (2πf + ϕ1 − ϕ2 − ϕ3 )]
"
#
∂2
∂2
∂
∂
∂ 2
∂2
−4EC0
+
+
+α
−
−
∂ϕ3 ∂ϕ2 ∂ϕ1
∂ϕ21 ∂ϕ22 ∂ϕ23
(3.8)
ableiten lässt. Damit können über die Schrödingergleichung
(3.9)
Hψn (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) = En ψn (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 )
die Eigenenergien En bestimmt werden. In [14] sind für den Fall 10 <
EJ0
EC0
< 100 die
ersten beiden Eigenenergien E0,1 angegeben zu
E0,1 = ±
s
2
T + 2Ip
1
Φext − Φ0
2
2
,
(3.10)
wobei Ip die Stärke des zirkulierenden Dauerstroms, der die beiden Zustände des Quantenbits beschreibt, und T das Tunnelmatrixelement kennzeichnen.
Hat das Tunnelmatrixelement, das die Tunnelkopplung beschreibt, den Wert Null, so
erhält man Eigenenergien klassischer Zustände, die sich entweder auf dem angeregten
Niveau oder im Grunzustandsniveau befinden. Für f < 0,5 liegt der rechtszirkulierende
Ringstrom energetisch günstiger, für f > 0,5 der linkszirkulierende. Im Entartungspunkt
f = 0,5 schließlich treffen beide Zustandsenergien aufeinander. Um den Entartungspunkt
herum jedoch kann, wenn T > 0 gilt, quantenmechanisches Tunneln stattfinden, wodurch
die Eigenenergien E0 und E1 symmetrische und antisymmetrische Überlagerungen der
klassischen Zustände darstellen. Der Abstand ∆E = E1 − E0 der beiden Energieniveaus
kann angegeben werden zu
∆E =
s
2
(2T ) + 2Ip
1
Φext − Φ0
2
2
.
(3.11)
Im Falle von f = 0,5 bezeichnet man ∆E auch als Tunnelaufspaltung ∆ und findet
∆ = E1 (f = 0, 5) − E2 (f = 0, 5) = 2T .
(3.12)
Gemäß [35] erhält man für den Erwartungswert des zirkulierenden Ringstroms Icir am
Energieniveau i
∂Ei
i
Icir
=−
,
∂Φext
(3.13)
29
3. Das Flussquantenbit mit vier Josephson-Kontakten
wobei für f = 0,5 die beiden Erwartungswerte identisch Null sind. Für den maximalen
zirkulierenden Dauerstrom nennt [14] die Beziehung
Ip ≈ 2πα
EJ0
.
Φ0
(3.14)
Abbildung 3.6 verdeutlicht das Energiespektrum eines Flussquantenbits mit vier JosephsonKontakten.
Abbildung 3.6.: (a): Verlauf der Eigenenergien im Flussquantenbit mit vier JosephsonKontakten in Abhängigkeit von der Frustration f . Am Entartungspunkt
bei f = 0,5 ist das typische quantenmechanische „anti-crossing” zu erkennen, was zu einer Energieaufspaltung ∆E führt. Der Grundzustand
ist dabei rot gezeichnet, während der erste angeregte Zustand schwarze
Farbe trägt. Zusätzlich dazu sind die in Abhängigkeit der Frustration
verkippten Doppelmuldenpotentiale eingezeichnet.
(b): Frustrationsabhängiger Verlauf der Erwartungswerte des supraleitenden Ringstroms hIcirc i, der sich aus der negativen Steigung der Energiehyperbeln ergibt. Wieder ist der Grundzustand rot eingezeichnet,
während der erste angeregte Zustand schwarze Farbe trägt.
3.4. Detektion des Quantenbitzustands
In einem Flussquantenbit werden die quantenmechanischen Zustände durch zirkulierende Dauerströme dargestellt. Diese koppeln induktiv an ein dc-SQUID, das als AusleseStruktur das Quantenbit umschließt. Im Quantenbit wird ein Fluss der Form
ΦQubit = Ip L
30
(3.15)
3.4. Detektion des Quantenbitzustands
erzeugt. Hier ist L die geometrische Induktivität der Quantenbit-Struktur und Ip der
zirkulierende Dauerstrom. Durch die induktive Kopplung von ΦQubit an das dc-SQUID
wird in diesem ebenfalls ein magnetischer Fluss ΦSQUID erzeugt, der sich gemäß
(3.16)
ΦSQUID = M Ip
darstellen lässt, wobei M eine geometrische Gegeninduktivität zwischen dc-SQUID und
Quantenbit beschreibt. Damit gilt für den gesamten Fluss, welcher das dc-SQUID durchsetzt, die Bedingung
(3.17)
Φ = Φext + ΦSQUID .
Je nach dem, welchen Umlaufsinn Ip aufweist, ändert sich auch das Vorzeichen des zusätzlichen Flussbeitrags in (3.17). Um diesen Flussbeitrag detektieren zu können, misst
man das magnetfeld- und damit flussabhängige Modulationsmuster des maximalen Suprastroms Ismax des dc-SQUIDs, das durch (2.25) gegeben ist. Ein Vorzeichenwechsel in
ΦSQUID ist als Stufe im Oszillationsgraphen erkennbar und tritt immer dann auf, wenn
A
die Bedingung n − 12 ASQUID
erfüllt ist. ASQUID und AQubit bezeichnen hier die jeweils
Qubit
vom magnetischen Fluss Φ durchsetzten Flächen, n ist eine natürliche Zahl.
Bei Erreichen des kritischen Stroms Ic schaltet das dc-SQUID in den Spannungszustand. Dieser Prozess geschieht durch Quantentunneln und ist daher einer statistischen
Verteilung unterworfen. Man kann nun für jeden Wert des von außen angelegten Flusses
Φext den zugehörigen kritischen Strom Ic detektieren. Macht man dies häufig hintereinander, so erhält man Histogramme. Diese enthalten eine statistische Verteilung der
jeweiligen Messwerte für Ic , die wiederum auf Grund der Wahrscheinlichkeitsnatur des
Tunnelprozesses eine Unschärfe aufweisen und somit nie identisch zueinander sind. Durch
eine Auswertung dieser Histogramme erhält man eine Aussage über ΦSQUID und damit
über den Zustand des Quantenbits.
Mikrowellenspektroskopie
Mit Hilfe von Mikrowellen kann man das Quantenbit vom Grundzustand in den angeregten Zustand überführen. Voraussetzung dafür ist, dass die Energie der eingestrahlten
Mikrollen EMW genau dem energetischen Abstand ∆E zwischen Grundzustand und angeregtem Zustand im Quantenbit entspricht, also die Bedingung
EMW = ~ωMW = ∆E =
s
2
(2T ) + Ip
1
Φext − Φ0
2
2
(3.18)
31
3. Das Flussquantenbit mit vier Josephson-Kontakten
erfüllt sein muss. Ist dies der Fall, so kann man das System resonant treiben und dabei
charakteristische Rabi-Oszillationen [36] beobachten.
Diese resonante Ankopplung führt zu Überlagerungen der Erwartungswerte der supraleitenden Dauerströme. Für f < 0,5 entsteht eine kontruktive Superposition, was durch
einen „P eak” im Anregungssprektrum von hIc i sichtbar ist. Bei f > 0,5 hingegen ist die
Überlagerung destruktiv, so dass hier ein sogenannter „Dip” auftritt. Am Entartungspunkt bei f = 0,5 schließlich überlagern sich beide Erwartungswerte gerade so, dass ihre
Superposition den Wert Null annimmt. In Abb. 3.7 ist dies schematisch gezeigt.
Abbildung 3.7.: (a): Angeregte Übergänge im Energiespektrum des Quantenbits, durch
blaue Pfeile symbolisiert. (b): Überlagerungen für verschiedene Frustrationswerte. Die rot-schwarzen Pfeilspitzen symbolisieren die resultierende
Superposition.
Die resonante Ankopplung einer Mikrowelle an das Quantenbit-System ist frequenzabhängig. Dies wird deutlich, wenn man die Auswirkungen der eingestrahlten Mikrowellen
auf die Verteilung des statistisch gemittelten kritischen Stroms hIc i betrachet. Trägt
man diesen gegen den externen Fluss Φext auf, so erkennt man symmetrisch zum Ent-
artungspunkt f = 0,5 liegende Peak- und Dip-Strukturen, welche sich mit steigender
Resonanzfrequenz ωMW immer weiter vom Symmetriezentrum entfernen, siehe Abb. 3.8.
32
3.4. Detektion des Quantenbitzustands
Abbildung 3.8.: Frustrationsabhängige Positionen der Mikrowellenankopplungen.
33
4. Experimentelle Techniken
Die Herstellung einer Probe nimmt verschiedene Arbeitsschritte in Anspruch, die in diesem Kapitel beschrieben werden sollen. Ein Ziel dieser Diplomarbeit war es, einen bereits
vorhandenen Herstellungsprozess für Flussquantenbits mit drei Josephson-Kontakten auf
vier Kontakte zu erweitern und stabile, reproduzierbare Probenergebnisse zu erhalten.
4.1. Herstellung der Zuleitungsstrukturen
Der Herstellungsprozess eines Quantenbits beginnt zunächst mit einem vorstrukturierten
1-Zoll-Wafer. Dieser besteht aus einem Silizium-Substrat, das thermisch oxidiert wurde.
Zur späteren Kontaktierung der Quantenbits müssen zunächst geeignete Goldzuleitungen und Kontaktpads hergestellt werden, welche eine elektrische Verbindung zwischen
den hergestellten Josephson-Bauelementen und der Messelektronik sicherstellen. Zu deren
Herstellung bedient man sich der optischen Lithographie. Dazu wird zunächst ein 1-ZollSilizium-Wafer mit dem im Anhang beschriebenen Verfahren gereinigt und mit Stickstoff
trockengeblasen. Anschließend wird ein Photolack der Sorte AZ-5214E der Firma MicroChemicals aufgeschleudert (Abb. 4.1.1), der mit den ebenfalls im Anhang angegebenen
Parametern gemäß [37] eine Dicke der Lackschicht von 1,4 µm ergibt. Danach wird der
Lack ausgebacken, um einen Restanteil von Lösungsmittel zu entziehen. Im Anschluss
daran wird der Wafer mit Hilfe eines Mask-Aligners von Typ MJB-3 HP/350 UHV400
der Firma Karl Süss mit einer Quecksilber-Lampe belichtet (Abb. 4.1.2). Im folgenden
Prozessschritt wird mit einer optischen Maske, die die gewünschten Muster der Goldzuleitungen und der Kontaktpads als Negativbild enthält, die Struktur auf das Lacksystem
belichtet (Abb. 4.1.3), um danach in einem AZ-Entwickler der Firma MicroChemicals
entwickelt zu werden (Abb. 4.1.4). Nun wird auf den Wafer in einem Sputterprozess
ein Goldfilm aufgewachsen (Abb. 4.1.5), bevor im letzten Arbeitsschritt die verbliebenen
Lackreste in einem warmen Acetonbad in einem „Lift-Off ”-Prozess vom Substrat entfernt
werden (Abb. 4.1.6), so dass nur die gewünschten Strukturen aus Goldzuleitungen und
Kontaktpads auf dem Wafer verbleiben.
35
4. Experimentelle Techniken
Abbildung 4.1.: Prinzipdarstellung des Herstellungsverfahrens der Goldzuleitungen und
der Kontaktpads.
Design der verwendeten optischen Masken
Zur Herstellung der Quantenbit-Strukturen wurde eine Vorlage für 1-Zoll-Wafer verwendet, auf denen jeweils 36 Chips der Abmessungen 2,1 mm x 2,3 mm Platz finden,
siehe Abb. 4.2.a. Diese Chips wiederum enthalten die in Abb. 4.2.b gezeigten Zuleitungsstrukturen und die Josephson-Bauelemente. Zur Elektronenstrahlstrukturierung sind diese Chips in Schreibfelder der Dimension 120 µm × 120 µm eingeteilt. Zusätzlich zu den
Zuleitungsstrukturen enthält das Maskendesign an drei Ecken des Wafers Justierkreuze,
die zur Koordinateneinstellung der Elektronenstrahllithographieanlage verwendet werden (Abb. 4.2.a). Um Fehler in der Kontaktierung zwischen den hergestellen JosephsonBaulementen und der Messelektronik zu vermeiden, wurde ein Zuleitungsdesign verwendet, welches mit jeweils zwei getrennte Zuleitungen für Strom und Spannung entworfen
wurde. Dieses Design ist in Abb. 4.2.b gezeigt.
36
4.2. Herstellung der Josephson-Elemente
Abbildung 4.2.: (a): Layout Zeichnung der verwendeten Wafer-Struktur. (b): LayoutZeichnung der verwendeten Zuleitungen.
Gemäß [38] weisen die verwendeten Zuleitungen einen Widerstand von etwa 20 Ω bei
Raumtemperatur auf.
4.2. Herstellung der Josephson-Elemente
Nach der Herstellung der Goldzuleitungen werden nun die Quantenbit- und dc-SQUIDStrukturen auf den Chip aufgebracht. Diese werden in Form von Supraleiter-IsolatorSupraleiter-Kontakten (SIS-Kontakte) hergestellt und unter Verwendung von Al - Alx Oy
- Al experimentell realisiert. Hauptgrund für die Verwendung von Aluminium als Elektrodenmaterial liegt in seiner einfachen thermischen Oxidierbarkeit sowie in seiner gut
kontrollierbaren Aufdampfbarkeit. Darüber hinaus kann Aluminium mit einer wohldefinierten Aufdampfrichtung mit dem Verfahren der Schattenbedampfung aufgewachsen
werden, während sich nicht benötigte Reststrukturen aus Aluminium dagegen einfach
mit einem Lift-Off-Vorgang ablösen lassen.
37
4. Experimentelle Techniken
Belackung des Wafers und Elektronenstrahllithographie
Die Josephson-Strukturen werden mit Hilfe eines Elektronenstrahllithographiesystems
in ein zweilagiges Lacksystem strukturiet. Die unterschiedliche chemische Zusammensetzung der beiden Lacke sowie die unterschiedlichen Aufschleuderdrehzahlen bewirken
signifikant unterschiedliche Dicken der einzelnen Lackschichten. Laut technischen Datenblättern12 weist die untere Lackschicht, bestehend aus PMMA/MMA 33%, eine Dicke
von ungefähr 680 nm auf, während die obere Lackschicht PMMA/950k lediglich 70 nm
dick ist. Darüber hinaus zeigt die PMMA/MMA 33%-Schicht eine deutlich höhere Elektronenempfindlichkeit, was dazu führt, dass ein Teil des auf das Lacksystem treffenden Elektronenstrahls an der Substratoberfläche zurückgestreut wird und sich somit ein
charakteristisches Streumuster in der unteren Lackschicht ausbildet. Dieses Muster löst
sich auf Grund der Selektivität des verwendeten Entwicklers vollständig ab und bewirkt
zusammen mit der Tatsache, dass nahe einer strukturierten Fläche deutliche ProximityEffekte [39] auftreten, eine typische Unterschnitt-Struktur in der unteren Lackebene, siehe
Abb. 4.5.4.
Zu Beginn des Strukturierungsprozesses wird der mit Goldzuleitungen versehene Wafer
wie im Anhang beschrieben gereinigt und mit Stickstoff getrocknet. Im Anschluss daran
wird zunächst ein PMMA/MAA 33%-Lack der Firma Allresist für 120 s bei einer Drehzahl von 2000 min−1 in einer Lackschleuder aufgeschleudert (Abb. 4.5.1), um anschließend bei einer Temperatur von 160 °C für 10 min ausgebacken zu werden. Danach wird ein
PMMA/950k-Lack wieder für 120 s, allerdings bei einer Drehzahl von 4000 min−1 , aufgeschleudert, woraus sich eine dünnere zweite Lackschicht ergibt (Abb. 4.5.2). Auch diese
Schicht wird bei 160 °C für 10 min ausgebacken. Die verwendeten Apparaturen werden
in Abbildung 4.3 gezeigt.
1
2
http://www.allresist.de/wMedia/pdf/wEnglish/produkte_ebeamresist/AR_P617.pdf
http://www.allresist.de/wMedia/pdf/wDeutsch/produkte_ebeamresist/AR_P631_679.pdf
38
4.2. Herstellung der Josephson-Elemente
Abbildung 4.3.: Apparaturen zum Belacken (Mitte) und zum Ausbacken der belackten
Wafer (links und rechts). Das gesamte System befindet sich in einem
Reinraum.
Abbildung 4.4.: (a): Gesamtansicht der Elektronenstrahllithographieanlage. (b): Für die
Elektronenstrahllithographie verwendeter Probenhalter für 1 Zoll-Wafer.
Der Wafer wird nun in einen Probenhalter eingelegt und danach in die Prozesskammer eines Elektronenstrahlmikroskops vom Typ PHILIPS XL30 SFEG eingebaut. Die-
39
4. Experimentelle Techniken
ses Elektronenstrahlmikroskop ist mit einer Lithographieerweiterung der Firma RAITH
GmbH ausgestattet, das es mit dem Softwarepaktet ELPHY Plus erlaubt, eine belackte Probe komfortabel mit Hilfe der Elektronenstrahllithographie zu strukturieren. Zusätzlich zu diesem Softwarepaket ist im Elektronenstrahlmikroskop eine Laserstage zur
Aufnahme des Probenhalters installiert, welche Translationen der Probe in x-, y- und
z-Richtung mit einer Auflösung von weniger als 50 nm interferometrisch bestimmen und
ausführen kann. Abbildung 4.4 zeigt die gesamte verwendetete Elektronenstrahllithographieanlage und den Probenhalter für den Wafer.
Die Strukturierung des aufgeschleuderten Lacksystems erfolgt mit einem fokussierten
30 kV-Elektronenstrahl, welcher in 120 µm × 120 µm großen Schreibfeldern die gewünschten Strukturen in den Lack schreibt (Abb. 4.5.3). Um den Strahl genau positionieren zu
können, wird vor dem eigentlichen Schreibprozess eine automatische Feinjustierung des
Schreibfeldes vorgenommen, indem auf der Probe angebrachte Markierungen (siehe Abb.
4.2.b) automatisch eingelesen und ihre Positionen exakt bestimmt werden. Typischerweise wird ein Wafer, der Platz für 36 Chips bietet, mit zwei bis drei verschiedenen Designs
und zwei unterschiedlichen Belichtungsdosen geschrieben, so dass sich pro Wafer etwa
sechs verschiedenartige Chips ergeben.
Nach erfolgreicher Strukturierung des Lacksystems wird das belichtete Lacksystem entwickelt (Abb. 4.5.4). Dabei entsteht ein typischer Unterschnitt in der unteren Lackschicht,
welcher für die anschließende Schattenbedampfung wichtig ist.
Schattenbedampfung, Oxidation und Lift-Off
Im Anschluss an die Entwicklung wird der Wafer unter einem Winkel δ, vgl. Abb. 4.5.5,
mit Aluminium bedampft. Dazu wird der Wafer in einen Probenhalter eingebaut und
mit Hilfe einer Loadlock-Kammer in das Schattenbedampfungssystem eingeschleust, siehe Abb. 4.6. Diese Vorgehensweise hat den enormen Vorteil, dass in der eigentlichen
Prozesskammer stets ein Ultrahochvakuum im Bereich von 10−9 mbar aufrecht erhalten
werden kann, was für eine zuverlässige und reproduzierbare Probenbedampfung äußerst
wichtig ist.
40
4.2. Herstellung der Josephson-Elemente
Abbildung 4.5.: Schematische Darstellung des Herstellungsprozesses eines JosephsonKontakts.
41
4. Experimentelle Techniken
Abbildung 4.6.: Gesamtansicht des Elektronenstrahlverdampfers. Im linken Teil erkennt man das Rack mit den Hochspannungsgeneratoren und der
LabVIEWTM -gestützten Systemsteuerung. In der Mitte ist die Prozesskammer mit der sich rechts anschließenden Loadlock zu sehen, während
sich im rechten Teil des Bildes die manuellen Steuerungskontrollen zur
Regelung des Oxidationsvorgangs, die Drucksensoren und die Bedienelemente des Schleusensystems befinden.
Sobald der Wafer in die Prozesskammer eingeschleust ist, wird der gewünsche Winkel δ
über eine externe Steuerung vorgegeben. Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurde hierfür
stets ein Wert von 13 ° verwendet. Anschließend wird mit dem Prinzip der Elektronenstrahlverdampfung ein 40 nm dicker Aluminiumfilm auf die verkippte Probe aufgedampft
(Abb. 4.5.5). Typischerweise herrscht bei einem Aufdampfvorgang innerhalb der Prozesskammer ein Druck im Bereich von 10−7 mbar.
Im anschließenden Schritt muss die Oxidbarriere definiert werden. Dazu wird der Wafer eine zuvor festgelegte Zeit in einem Sauerstoff-Argon-Gemisch oxidiert (Abb. 4.5.6).
Die Dicke der Oxidbarriere wird hierbei mit einem sogenannten L-Produkt bestimmt.
Dieses ist definiert als Produkt aus Oxidationsdauer tox und Oxidationsdruck pox . Typische Werte belaufen sich hierbei auf tox ≈ 22 min und pox ≈ 2 · 10−4 mbar. Die Dicke
der Oxidbarriere ist ein entscheidender Prozessparameter, da sie maßgeblich den Wert
des kritischen Stroms jc bestimmt und somit das Tunnelverhalten zwischen den beiden
Josephson-Elektroden kontrolliert.
42
4.2. Herstellung der Josephson-Elemente
Nach der Oxidation wird die zweite Elektrode des Josephson-Kontakts aufgedampft
(Abb. 4.5.7). Dazu wird der Probenhalter um einen Winkel −δ verkippt und eine Aluminiumschicht von 70 nm aufgetragen.
Schließlich wird der Wafer in einem „Lift-Off”-Prozess für etwa 90 min in ein 70 °C
warmes Acetonbad gelegt und intensiv gereinigt (Abb. 4.5.8). Auf diese Weise löst sich
der nicht strukturierte und damit nicht entwickelte Lack von der Substratoberfläche
zusammen mit dem aufgedampften Aluminium ab, so dass nur die fertige JosephsonStruktur verbleibt.
Präparation der Proben
Nach der Herstellung der Josephson-Strukturen wird der Wafer in 36 Chips geteilt. Dazu
wird er mit Hilfe eines Diamantritzers, welcher einen um 90 ° drehbaren Teller aufweist,
mit Sollbruchlinien vorstrukturiert, Abb. 4.7 a, um anschließend auf einem Kantenbrett
manuell gebrochen zu werden, Abb. 4.7.b.
Abbildung 4.7.: (a): Diamantritzer zum Aufbringen von Sollbruchlinien auf den Wafer.
(b): Brechbrett zum anschließenden manuellen Brechen.
Die erste Charakterisierung der Proben erfolgt unter dem Elektronenstrahlmikroskop.
Dabei werden die verschiedenen Strukturarten vermessen, um so eine Vorauswahl für die
späteren Charakterisierungen treffen zu können. Zu beachten ist hierbei allerdings, dass
diejenigen Proben, die unter dem Elektronenstrahlmikroskop vermessen worden sind, für
spätere Charakterisierungen nicht mehr verwendet werden können, da durch die Betrachtung mit hochenergetischen Elektronen die Josephson-Kontakte unwiderbringlich zerstört
werden. Beispielhafte Ergebnisse dieser Vorcharakterisierungen finden sich in Kapitel 5.1.
43
4. Experimentelle Techniken
Abbildung 4.8.: Probenhalter mit vier fertig gebondeten Proben zur Erstcharakterisierung im 500 mK-Kryostaten.
Durch diese Vorcharakterisierung werden vielversprechende Design-Entwürfe erkannt.
Weitere Proben, die diese Eigenschaften aufweisen, werden nun zur Charakterisierung
nochmals nach der im Anhang beschriebenen Art und Weise gereinigt und im Anschluss
mit dem kältebeständigen Klebemittel GE-Varnish der Firma MicroChemicals auf einen
Probenhalter geklebt, auf dem bis zu vier Chips Platz finden. Dieser Probenhalter ist
an seinen Seiten jeweils mit Kupferpads versehen. An jeweils zwei Kupferpads sind zwei
miteinander verdrillte Kupferdrähte angelötet, so dass es auf diese Weise möglich ist,
für jede der zu vermessenden Proben Spannungs- und Stromwerte im Rahmen einer
Vierpunktmessung aufzunehmen, siehe Abb. 4.8.
Die aufgeklebten Proben werden nun unter Zuhilfenahme eines Bonders mit Aluminiumbonddrähten mit den Kupferpads kontaktiert. Zur Sicherheit werden bei diesem
Verfahren alle Kupferpads mehrfach mit den Goldpads auf den Chip gebondet, so dass
die Ausfallwahrscheinlichkeit einer Probenkontaktierung bei einer Messung deutlich reduziert werden kann. Um die Probe während des Bondvorgangs vor Kurzschlüssen und
anderen Entladungen zu schützen, sind sowohl die bondende Person als auch die Probe
selbst permanent geerdet.
4.3. Charakterisierung der Josephson-Bauelemente und
Tieftemperaturaufbauten
Um die hergestellten Josephson-Bauelemente zu charakterisieren, werden in einem ersten
Schritt Strom-Spannungs-Kennlinien und Modulationen des maximalen Suprastroms des
44
4.3. Charakterisierung der Josephson-Bauelemente und Tieftemperaturaufbauten
dc-SQUIDs in Abhängigkeit eines extern angelegten Magnetfeldes aufgezeichnet. Beide
Messkurven dienen einer Charakterisierung der Auslesestruktur, die das Quantenbit umschließt. Anhand der Modulationen lassen sich Strukturen eindeutig als dc-SQUID identifizieren, während sich aus einer Strom-Spannungs-Kennlinie wichtige Größen wie kritischer Strom Ic , Rücksprungstrom Ir , normalleitender Widerstand Rn , „Gap-Spannung”
Vg und das Dämpfungsverhalten ableiten lassen, woraus sich wiederum Rückschlüsse auf
die Kontaktgüte ergeben.
Zur Herstellung der Josephson-Kontakte wurde als Elektrodenmaterial stets Aluminium verwendet. Dieses weist nach [40] eine Sprungtemperatur von Tc = 1,19 K auf. Zur
schnellen Erstcharakterisierung der hergestellten Strukturen wird daher ein 3 He-Kryostat
verwendet, der es gestattet, innerhalb eines Tages einen kompletten Abkühlvorgang auf
500 mK, Messungen sowie das anschließende Aufwärmen durchzuführen. Genauere Messungen hingegen werden in einem 50 mK- 3 He-4 He-Mischkryostaten durchgeführt und
sind wesentlich aufwändiger. Ein kompletter Messzyklus nimmt hierbei etwa eine Woche
in Anspruch. In diesem Mischkryostaten besteht jedoch zusätzlich die Möglichkeit, Mikrowellenspektroskopie zu betreiben, um damit eine Quantenbit-Stufe nachzuweisen, wie
in Kap. 3.4 beschrieben.
4.3.1. Der 3 He-Kryostat
Hauptbestandteil des Kryostateneinsatzes, Skizze in Abb. 4.9, sind drei ineinander verschachtelte Kammern, welche sich in einem Bad aus flüssigem 4 He in einem Dewar befinden. Die äußerste Kammer reguliert das Ankoppelverhalten der beiden inneren Kammern
an die 4 He-Umgebung und wird als Isolationsvakuum bezeichnet.
Mit Hilfe von flüssigem 4 He werden das Dewar und damit der sich in ihm befindende
Probenstab auf 4 K abgekühlt. Durch Pumpen am Austauschgas, das sich im Isolationsvakuumvolumen befindet, wird der nun etwa 4 K kalte Einsatz vom 4 He-Bad entkoppelt,
so dass während der folgenden Schritte die Temperatur weiter abgesenkt werden kann.
Die mittlere Kammer ist mit dem umgebenden 4 He-Bad über eine dünne Kapillare verbunden. Dies hat zur Folge, dass flüssiges 4 He aus dem Dewar beim Austritt aus dieser
Kapillare in die mittlere Kammer hineinverdampft. Ein Abpumpen dieser Kammer führt
zu einem Druckgradienten, so dass das hineinverdampfende 4 He auf seinem Weg nach
oben diesen Druckgradienten durchläuft und dabei expandiert, wodurch der Umgebung
Energie in Form von Wärme entzogen wird. Durch dieses Prinzip der Joule-ThompsonKühlung lässt sich eine Temperatur von bis zu 1,5 K erreichen. Um die Temperatur weiter
zu erniedrigen, kondensiert man in die innere Kammer 3 He ein, indem man dieses aus
45
4. Experimentelle Techniken
Abbildung 4.9.: Prinzipdarstellung des 3 He-Kryostaten. Erläuterungen zur Funktionsweise finden sich im Text.
einem äußeren Vorratstank in die Kammer hinein expandieren lässt. Ist sämtliches 3 He
einkondensiert, so wird am Volumen der inneren Kammer mit einer weiteren Pumpe gepumpt, um so das 3 He zu verdampfen und Temperaturen von etwa 500 mK zu erreichen.
Zusätzlich zu den 16 paarweise verdrillten Messleitungen sind über weitere Leitungen
eine Spule in Probennähe sowie ein Widerstandsthermometer, ebenfalls in Probennähe,
angeschlossen. Auf diese Weise lässt sich die Probe gezielt einem externen Magnetfeld
aussetzen, welches sich in seiner Stärke über die eingebrachte Stromstärke regulieren lässt.
Die Kontaktierung der Messleitungen mit der Messelektronik erfolgt über eine Messbox,
mit deren Hilfe sich jede Probe einzeln vermessen lässt.
4.3.2. Der 3 He-4 He-Mischkryostat
Zur Kühlung des Probenstabes wird in einem 3 He-4 He-Mischkryostaten ein Gemisch der
beiden Heliumisotope 3 He und 4 He verwendet. Dieses Gemisch weist die Eigenschaft
auf, dass es unterhalb einer Temperatur von 700 mK eine spontante Phasentrennung
in eine 3 He-reiche und in eine 3 He-arme Phase erfährt. Aufgrund eines fehlenden Neu-
46
4.3. Charakterisierung der Josephson-Bauelemente und Tieftemperaturaufbauten
Abbildung 4.10.: Schematische Darstellung des 3 He-4 He-Mischkryostaten. Eine Beschreibung der Funktionsweise findet sich im Text.
trons im Kern ist die 3 He-reiche Phase deutlich leichter als die 3 He-arme Phase, da
diese hauptsächlich mit 4 He angereichert ist. Die spezifische Wärme dieser sogenannten
„Mischphase” ist deutlich größer als die der 3 He-reichen Phase. Dies hat zur Folge, dass
ein Kühleffekt dadurch erreicht werden kann, dass man 3 He aus der 3 He-reichen Phase
in die Mischphase verdampfen lässt, da es die dazu notwendige Energie der Mischphase
entzieht und somit ihre Temperatur senkt. Dieser Übergang über die Phasengrenze wird
durch die Tatsache begünstigt, dass ein 3 He-Atom wesentlich ausgeprägtere quantenmechanische Nullpunktsschwingungen als ein 4 He-Atom ausführt und daher bevorzugt mit
4 He-Atomen
3 He
van-der-Waals-Bindungen ausbilden kann. Weiterhin ist festzuhalten, dass
aufgrund seiner Kernkonfiguration fermionischen Charakter aufweist und daher ge-
mäß der Regel von Hund seine Energieniveaus sukzessive besetzen muss. Daraus resultiert
in einer Mischphase, die aus 3 He und 4 He besteht, eine im Mittel niedrigere Fermienergie.
Es gilt jedoch zu beachten, dass die Konzentration an 3 He in der Mischphase selbst bei
T = 0 K nie unter 6,4 % fallen kann, da sich bei diesem Wert ein dynamisches Gleichgewicht einstellt. Bemerkenswert ist, dass selbst bei tiefsten Temperaturen das Kühlprinzip
47
4. Experimentelle Techniken
einer 3 He-4 He-Mischkühlung noch effektiv bleibt, da stets 3 He aus der 3 He-reichen Phase über die Phasengrenze hinweg in die Mischphase verdampft, wenn man aus dieser
3 He
entfernt, um das Gleichgewicht aufrecht zu erhalten. Dabei bleibt die Kühlwirkung
selbstverständlich bestehen.
Das System kann vorgekühlt werden, indem das Dewar mit flüssigem 4 He gefüllt wird,
um im Anschluss über das Isolationsvakuum von der Umgebung thermisch isoliert zu
werden. Danach wird eine Mischung aus gasförmigen 3 He und 4 He durch eine Impedanz
geleitet und dadurch abgekühlt, um anschließend kondensiert und mit Hilfe einer Kapillare verflüssigt zu werden. Diese nun flüssige 3 He-4 He-Mischung wird an einer Destillationskammer, die auf einer Temperatur von 600 mK gehalten wird, vorbeigeführt. Durch
den Einsatz eines zusätzlichen Wärmetauschers nach der Destillationskammer erniedrigt
sich die Temperatur des 3 He-4 He-Gasgemisches weiter, bevor es schließlich zur Mischkammer gelangt. Hier vollzieht sich der weiter oben bereits beschriebene Zerfall in eine
3 He-reiche
Phase und in eine 3 He-arme-Mischphase. Durch einen Wärmetauscher kann
nun aus der Mischphase flüssiges Helium in die Destillationskammer gelangen. Auf dem
Weg dorthin nimmt es einen Teil der Wärme des einlaufenden Gemisches auf und wird
schließlich beim Erreichen der Destillationskammer mit Hilfe eines Heizers erwärmt. Auf
diese Weise lässt sich 3 He aus der flüssigen Mischung abdestillieren und als Gas aus der
Destillationskammer abpumpen. Da dieser Entnahmeprozess von 3 He aus der 3 He-armen
Mischphase kontinuierlich abläuft, überwinden ebenfalls kontinuierlich 3 He-Atome aus
der 3 He-reichen Phase die Phasengrenze zur 3 He-armen Mischphase und entziehen auf
diesem Wege wie oben beschrieben dem System Energie, was zu einer effektiven Temperaturabsenkung führt. Die Probenkammer schließlich wird thermisch an die Mischkammer
angekoppelt.
4.3.3. Elektronische Messaufbauten zur Charakterisierung der
Josephson-Bauelemente
Um eine Josephson-Struktur gezielt optimieren zu können, sind Kenntnisse über ihre
elektrischen Eigenschaften unerlässlich. Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurden dazu von
den hergestellten Proben sowohl Strom-Spannungs-Kennlinien als auch Oszillationen des
maximalen Suprastroms in Abhängigkeit von einem externen Magnetfeld aufgezeichnet.
Beide Messungen wurden zur Vorcharakterisierung bei 500 mK und für eine detailliertere
Untersuchung bei 30 mK durchgeführt.
48
4.3. Charakterisierung der Josephson-Bauelemente und Tieftemperaturaufbauten
Abbildung 4.11.: Prinzipaufbau der zur Aufnahme von Strom-Spannungs-Kennlinien verwendeten Schaltung. Erläuterungen zur Funktionsweise sind im Text
gegeben. Gezeigt und erklärt ist der Aufbau bei 500 mK.
Messaufbau zur Aufnahme von Strom-Spannungs-Kennlinien
Die Strom-Spannungs-Kennlinien der dc-SQUIDs werden nach der Vierpunktmessmethode aufgenommen, um den Übergangswiderstand zwischen dem zu vermessenden Bauelement und der Messelektronik möglichst gering zu halten. Zunächst wird über ein
LabVIEWTM -Messprogramm mit Hilfe eines GPIB-Buses eine Steuerspannungsquelle
Hewlett Packard HP 3245A angewiesen, eine Spannung an ihrem Ausgang bereit zu
stellen. Dieser Spannungswert wird linear zwischen zwei frei wählbaren Endwerten mit
einer ebenfalls frei wählbaren Schrittweite durchgefahren und dabei auf den Eingang einer Stromquelle gegeben, um dieser als Steuersignal zu dienen. Mit diesem Steuersignal
ermittelt die Stromquelle den Strom, den sie über ihren Ausgang auf das zu vermessende
dc-SQUID schickt. Die Spannung, die dabei über dem dc-SQUID abfällt, wird mit einem Spannungsvorverstärker des Typs Stanford Research Systems SR560 verstärkt. Am
600 Ω-Ausgang dieses Spannungsvorverstärkers ist ein Multimeter Hewlett-Packard HP
34401A angeschlossen, welches den gemessenen Spannungswert digitalisiert und ihn anschließend wieder über den GPIB-Bus an das LabVIEWTM -Messprogramm sendet. Um
49
4. Experimentelle Techniken
eine typische Josephson-Hysterese messen zu können, muss darauf geachtet werden, dass
das Steuersignal für die Stromquelle in beide Richtungen durchgefahren wird, da sonst
keine Aussage über Ir getroffen werden kann. Eine Kontaktierung der Messelektronik mit
dem Probenstab im Kryostaten erfolgt über eine speziell entworfene Messbox, welche für
jede Probe vier BNC-Verbindungen bereitstellt, die es gestatten, jede Probe entsprechend
ihres gebondeten Zustandes zu kontaktieren. Um Rauschen während der Messungen zu
vermeiden, sind sowohl Spannungsvorverstärker als auch Stromquelle batteriebetrieben
und befinden sich innerhalb einer Abschirmkammer. Über ein Widerstandsthermometer
lässt sich zudem die genaue Temperatur in Probennähe festellen.
Für genauere Messungen von Strom-Spannungs-Kennlinien wurde ein 3 He-4 He-Mischkryostat
verwendet. Dabei ist der Messaufbau prinzipiell sehr ähnlich, so dass dieser nicht gesondert beschrieben wird.
Messaufbau zur Aufnahme der Magnetfeldabhängigkeit des maximalen Suprastroms
Wie bei der Messung der Strom-Spannungs-Kennlininen wird auch bei der Messung der
dc-SQUID-Oszillationen ein LabVIEWTM -Programm verwendet, welches den Messvorgang kontrolliert. Eine Messkarte wird über den GPIB-Bus veranlasst, einen bestimmten
Spannungsbereich linear durchzufahren und damit eine batteriebetriebene Stromquelle
zu steuern. Der Ausgang der Stromquelle allerdings steuert nun die in Probennähe angebrachte Feldspule und erzeugt so ein Magnetfeld, das linear mit dem Strom wächst.
Eine weitere Stromquelle führt der zu vermessenden Struktur einen Strom zu, welcher
zwischen Null und einem zuvor definierten Maximalwert in einem Sägezahnmuster hinund hergefahren wird. Die Spannung, die dabei über dem dc-SQUID abfällt, wenn es
in den Spannungszustand schaltet, wird analog zum vorher geschilderten Fall von einem Spannungsvorverstärker des Typs Stanford Research SR560 verstärkt. Das Ausgangssignal dieses Spannungsvorverstärkers wird einem differentiellen Verstärker zugeführt und dort verstärkt. Anschließend vergleicht ein Komparator die ihm zugeführte
dc-SQUID-Spannung mit einem zuvor eingestellen Referenzwert. Auf diese Weise kann
ein Schalten in den Spannungszustand des dc-SQUIDs detektiert werden, wenn die Referenzspannung überschritten wird, siehe Abb. 4.12. Dabei wird der genaue Wert des
aufgeprägten Stroms registriert und als Spannungssignal dem Multimeter HP 34401A
zugeführt. Dieses digitalisiert diesen Wert und schickt ihn über den GPIB-Bus an das
LabVIEWTM -Messprogramm zurück. Mit dem beschriebenen Verfahren ist es möglich,
für jeden Magnetfeldwert die jeweiligen kritischen Ströme aufzuzeichnen und somit ein
typisches Ic (B)-Oszillationsmuster aufzunehmen, siehe Abb. 2.7. Wie bei den Messun-
50
4.3. Charakterisierung der Josephson-Bauelemente und Tieftemperaturaufbauten
gen der Strom-Spannungs-Kennlinie kann auch bei diesem Messverfahren die Temperatur
über ein in Probennähme angebrachtes Widerstandsthermometer abgelesen und parallel
zur Messung aufgezeichnet werden. Die einzelnen Komponenten dieses auch „sample-andhold-Schaltung” genannten Aufbaus sind in Abb. 4.13 schematisch dargestellt.
Abbildung 4.12.: Darstellung der verschiedenen Schaltsignale für eine Ic (B)-Messung.
Abbildung 4.13.: Prinzipaufbau der Messschaltung zur Detektion der Oszillationen des
maximalen Suprastroms in Abhängigkeit eines Magnetfeldes.
51
5. Experimentelle Ergebnisse
5.1. Optimierung des Herstellungsprozesses
Zu Beginn der vorliegenden Arbeit konnte auf einen Prozess zurückgegriffen werden,
der bereits für die Herstellung von Flussquantenbits mit drei Josephson-Kontakten erfolgreich etabliert worden ist [15]. Auf diesem Prozess aufbauend wurde im Rahmen
dieser Diplomarbeit ein Herstellungsverfahren für Flussquantenbits mit vier JosephsonKontakten entwickelt, welches reproduzierbare Messergebnisse liefert.
Design-Layout
Die bisher hergestellten Flussquantenbits mit drei Josephson-Kontakten, Abb. 5.1, weisen alle einen diffus ausgebildeten vierten Josephson-Kontakt auf, welcher allerdings auf
Grund des mit seiner Größe verbundenen hohen Wertes von Ic keinen Einfluss auf das
grundsätzliche Verhalten des Quantenbits hat.
Abbildung 5.1.: Design-Layout des bisher verwendeten Quantenbit-Designs mit drei
Josephson-Kontakten [41].
Durch das herstellungstechnisch bedingte Aufdampfen der einzelnen Aluminium-Lagen
übereinander sind die Ringströme im Quantenbit gezwungen, beim Durchtunneln einer
53
5. Experimentelle Ergebnisse
Isolationsbarriere in die andere Aluminium-Lage zu wechseln. Liegen nun insgesamt drei
Josephon-Kontake in einem Quantenbit vor, so befindet sich nach einem Umlauf ein
supraleitender Ringstrom nicht mehr in seiner Ausgangslage, sondern in der Aluminiumschicht darüber, siehe Abb. 5.2.a. Im Fall von drei Josephson-Kontakten muss dieser
Ringstrom, um nach einem Durchlauf wieder in der unteren Lage anzukommen, in einem
diffusen vierten Josephson-Kontakt in die untere Aluminium-Lage gelangen. Messungen
verschiedener Arbeitsgruppen deuten nun daraufhin, dass dies die Kohärenzzeiten von
Flussquantenbits erheblich stören kann [18, 16, 17]. Liegen aber vier Josephson-Kontakte
vor, so befindet sich ein supraleitender Ringstorm nach einem kompletten Umlauf wieder
in derselben Aluminium-Lage, Abb. 5.2.b, was zu einer erhöhten Symmetrie im Quantenbit führt.
Abbildung 5.2.: Gegenüberstellung von supraleitenden Ringströmen in Flusquantenbits
mit drei (a) und vier (b) Josephson-Kontakten. Im Fall (a) ist deutlich
die Asymmetrie zu erkennen. Der rote Pfeil symbolisiert einen supraleitenden Ringstrom.
In einem ersten Schritt wurde ein vierter Josephson-Kontakt eingebunden. Um den
Überlapp der verschiedenen Aluminium-Lagen zu verbesseren und damit definierte und
reproduzierbare Kontaktgrößen im Quantenbit zu erhalten, wurde ein abgerundetes Design der Kontakte eingeführt, was in Abbildung 5.3 gezeigt ist.
Abbildung 5.3.: Layout-Zeichung des abgewandelten Quantenbit-Designs.
54
5.1. Optimierung des Herstellungsprozesses
Es stellte sich jedoch heraus, dass ein solches Design nicht den gewünschten Effekt
brachte. Die kreisrunden Überlappkanten wurden eher ellipsenförmig und hatten zudem
teilweise Einbuchtungen, siehe Abbildung 5.4.
Abbildung 5.4.: Elektronenstrahlmikroskopaufnahmen von zwei nach dem Layout in
Abb. 5.3 hergestellten Quantenbit-Strukturen.
Um diese Fehler zu beseitigen, wurde das Quantenbit-Design modifiziert. Die Überlappungen wurden rechteckig, ebenso wurden jeweils zwei der vier Josephson-Kontakte
räumlich weiter voneinander getrennt. Darüber hinaus wurde die Breite des Überlapps
auf 300 nm erweitert, während die Länge der Lücke zwischen der Grundstruktur und
Resistbrücke auf 209 nm verkürzt wurde, siehe Abb. 5.5.
Abbildung 5.5.: Layout-Zeichung mit den im Text erläuterten Modifizierungen.
55
5. Experimentelle Ergebnisse
Aufnahmen mit dem Elektronenstrahlmikroskop zeigen, dass die zuvor beobachteten
Ausbuchten nicht mehr auftreten. Allerdings ist ebenso erkennbar, dass die Überlappung
der Aluminium-Lagen in den einzelnen Josephson-Kontakten nicht immer vollständig
erfolgt und daher an dieser Stelle optimiert werden muss.
Abbildung 5.6.: Elektronenstrahlmikroskopaufnahmen zweier
mit den in Abb. 5.5 erklärten Modifikationen.
Quantenbit-Strukturen
Hierfür wurde das Layout weiter abgewandelt. Zur Erhöhung der Stabilität der ResistbrückenStruktur wurden symmetrisch zur Lage der Josephson-Kontakte sogenannte „ProximityBalken” eingeführt, um ein Zusammenbrechen der Resistbrücken, die die JosephsonKontakte definieren, zu verhindern, wie es in Abb. 5.7 gezeigt ist.
Abbildung 5.7.: Elektronenstrahlmikroskopaufnahmen
Resistbrücken-Strukturen.
einiger
zusammengebrochener
Diese Proximity-Balken erlauben auf Grund des Proximity-Effektes, der in [39] behandelt wird, eine Stabilisierung der einzelnen Strukturen, da sich charakteristische Streu-
56
5.1. Optimierung des Herstellungsprozesses
muster ausbilden, wie in Abb. 4.5.3 gezeigt. Verändert wurde zudem die Lücken-Länge
in der Quantenbit-Struktur. Diese Änderungen sind in Abb. 5.8 gezeigt.
Abbildung 5.8.: Abgeänderte Layout-Zeichnung der Quantenbit-Struktur.
Unter dem Elektronenstrahlmikroskop erkennt man eine deutliche Stabilisierung der
Quantenbit-Struktur, siehe Abb. 5.9.
Abbildung 5.9.: Elektronenstrahlmikroskopaufnahmen zweier
mit den in Abb. 5.8 erklärten Veränderungen.
Quantenbit-Strukturen
In Abb. 5.9 erkennt man, dass der Überlapp in der Qubit-Struktur nicht immer gleich
große Kontaktflächen ergibt. Um dies zu ändern, wurde die Lücken-Länge auf 250 nm
erhöht.
57
5. Experimentelle Ergebnisse
Abbildung 5.10.: Abgeänderte Layout-Zeichnung im Quantenbit-Design mit vergrößerter
Lücken-Länge.
Diese Modifikation resultierte in einem stabilen Probenlayout, wie die in Abb. 5.11
gezeigten Aufnahmen mit dem Elektronenstrahlmikroskop belegen.
Abbildung 5.11.: Elektronenstrahlmikroskopaufnahmen zweier in Abb. 5.10 schematisch
gezeigten Strukturen mit vergrößertem Lücken-Abstand.
5.2. Messungen bei 500 mK
Mit Hilfe eines 3 He-Kryostaten können die hergestellten Strukturen einer ersten Charakterisierung unterzogen werden. Diese beinhaltet zunächst die Aufnahme von StromSpannungs-Kennlinien, um wichtige Eigenschaften des dc-SQUIDs und somit die elektri-
58
5.2. Messungen bei 500 mK
schen Eigenschaften der hergestellten Josephson-Kontakte zu bestimmen. Anschließend
werden Oszillationen des maximalen Suprastroms in Abhängigkeit eines externen Magnetfeldes aufgenommen, um eine mögliche Quantenbit-Stufe entdecken zu können, wie
in Kap. 3.4 beschrieben.
5.2.1. Aufnahme von Strom-Spannungs-Kennlinien
Der erste Schritt der Probencharakterisierung erfolgt über die Aufnahme einer StromSpannungs-Kennlinie des dc-SQUIDs, das die Quantenbit-Struktur umschließt. Dazu werden die Proben wie im letzten Kapitel beschrieben auf einem Probenhalter befestigt und
mit Hilfe des 3 He-Kryostaten auf 500 mK abgekühlt. Anschließend wird der Messaufbau zur Aufnahme der gewünschten Kurve vorbereitet und die automatisierte Messung
gestartet.
Abbildung 5.12.: Strom-Spannungs-Kennlinie des dc-SQUIDs, das die Struktur, hergestellt nach dem Schema Abb. 5.3, umschließt.
59
5. Experimentelle Ergebnisse
Physikalische Größe
Ic = 2,45 µA
Ir = 2,05 µA
Vg = 0,311 mV
AJJ,SQUID = 0,126 µm2
kA
jc = 0,972 cm
2
Rn = 87 Ω
Ic · Rn = 0,21 mV
Tabelle 5.1.: Zusammenstellung der wichtigsten elektrischen Eigenschaften von Probe A.
Die in Abb. 5.12 gezeigte Aufnahme einer Strom-Spannungs-Kennlinie zeigt eine nur
schwach ausgeprägte Hysterese. Um den Einfluss thermischer Fluktuationen auf die
Strom-Spannungs-Kennlinie des dc-SQUIDs zu untersuchen, vergleicht man die JosephsonEnergie EJ0 eines Kontakts im dc-SQUID mit der thermischen Energie kB T . Bei 500 mK
gilt EJ0 ≈ 0, 81 · 10−21 J und kB T ≈ 0, 69 · 10−23 J, woraus EJ0 ≫ kB T folgt. So-
mit haben thermische Fluktuationen wenig Einfluss auf das Verhalten der untersuchten
Josephson-Kontakte, so dass ein unerwünschtes vorzeitiges Schalten des Kontakts in den
Spannungszustand verhindert werden kann. Aus der sogenannten „Gap-Spannung”, die
die Spannungsdifferenz zwischen supra- und normalleitendem Bereich in einer StromSpannungs-Kennlinie angibt, kann man mit Hilfe der Beziehung
Vg =
2∆ (T )
e
(5.1)
auf die BCS-Energielücke ∆ (T ) schließen [23]. Für die in Abb. 5.12 vermessene Probe ergibt sich hier ein Wert von ∆ (T ) = 0, 155 meV. Dieser Wert lässt sich über die
Beziehung
(5.2)
2△0 = 3, 52kB Tc
mit der Energielücke △0 bei T = 0 K vergleichen [40]. Nimmt man für die Sprungtem-
peratur Tc von Aluminium den Wert Tc = 1,2 K [40] an, so erhält man △0 = 0, 182 meV
und somit eine Abweichung in △ (T = 500 mK) von 14,9 %, was auf Grund der Tempe-
raturabhängigkeit der BCS-Energielücke als pausibel erscheint.
Die Ambegaokar-Baratoff-Relation
π
Ic Rn = ∆ (T ) tanh
2e
∆ (T )
2kB T
(5.3)
stellt das Ic -Rn -Produkt in Bezug zur BCS-Energielücke [24]. Mit einem Wert von
60
5.2. Messungen bei 500 mK
∆ (T ) = 0, 155 meV ergibt sich über die Ambegaokar-Baratoff-Relation ein Wert für
Ic Rn von 0,152 mV und somit eine Abweichung von den berechneten Werten von 38,2 %.
Ursachen hierfür könnte eine durch externes Rauschen hervorgerufene Reduktion von
Ic sein, die das Tunnelverhalten des Kontakts und damit den Wert des normalleitenden
Widerstands Rn verändern. Für diese Vermutung spricht auch der verhältnismäßig kleine
Wert für Rn , der bei der Probe aus Abb. 5.12 gemessen worden ist und gut um einen
Faktor 4 von den Ergebnissen der Probe aus Abb. 5.13 abweicht.
Abbildung 5.13.: Strom-Spannungs-Kennlinie des dc-SQUIDs, das die in Abb. 5.10 gezeigte Struktur umschließt.
Physikalische Größe
Ic = 0,4 µA
Ir = 0,19 µA
Vg = 0,366 mV
AJJ,SQUID = 0,024 µm2
kA
jc = 0,833 cm
2
Rn = 372 Ω
Ic · Rn = 0,145 mV
Tabelle 5.2.: Zusammenstellung der wichtigsten elektrischen Eigenschaften von Probe B.
In Abb. 5.13 ist eine weitere Strom-Spannungs-Kennlinie eines hergestellen dc-SQUIDs
61
5. Experimentelle Ergebnisse
bei 500 mK abgebildet. Auffallend ist bei dieser Messung, dass Ic einen deutlich geringeren Wert aufweist als bei der in Abb. 5.11 vermessenen Probe. Ursache hierfür ist die
kleinere Größe der Josephson-Kontakte. Da aber gleichzeitig auch die Oxidationsdauer
tox verkürzt worden ist, müsste sich ein höherer Wert für die kritische Stromdichte jc ergeben. Dass sich dieser aber in derselben Größenordnung wie bei der zuletzt diskutierten
Probe bewegt, kann mit Randeffekten in den Josephson-Kontakten erklärt werden, welche zu einer effektiven Verkleinerung der Kontaktflächen führen. Ferner ist zu erkennen,
dass der normalleitende Widerstand Rn deutlich höher ausfällt. Dies kann mit einem veränderten Prozessdruck pox und somit mit einer abgeänderten Qualität des aufgedampften
Aluminiums erklärt werden.
5.2.2. Aufnahme der Magnetfeldabhängigkeit des maximalen Suprastroms
Anhand der Strom-Spannungs-Kennlinien konnten wichtige Eigenschaften der hergestellten Josephson-Kontakte bestimmt werden. Um nun aber Rückschlüsse auf das Quantenbit und dessen induktive Ankopplung an das dc-SQUID zu ziehen, muss das charakteristische Oszillationsmuster des maximalen Suprastroms des dc-SQUIDs, welches
frustrations- und damit magnetfeldabhängige Modulationen aufweist, aufgenommen werden. Gemäß [27] moduliert der maximale Suprastrom Ismax in einem dc-SQUID mit
Ismax
Φext = 2Ic cos π
.
Φ0 (5.4)
Zur Aufnahme dieses Oszillationsmusters wurde der Messaufbau wie im letzten Kapitel
beschrieben umgebaut. Abb. 5.14 zeigt beispielhaft einen aufgenommenen Oszillationsgraphen. Darin ist zu erkennen, dass Ic nicht vollständig auf den Wert Null abfällt,
sondern Minima bei Werten von Ic knapp unter 1 µA findet. Die relative Modulation von
Ismax , die gemäß [40] durch 1/βL gegeben ist, ist demnach erwartungsgemäß begrenzt.
62
5.2. Messungen bei 500 mK
Abbildung 5.14.: Magnetfeldabhängigket des maximalen Suprastroms von Probe C mit
einem Layout wie in Abb. 5.9. Man erkennt eine periodische Modulation
des maximalen Suprastroms. Direkter Kontrollparameter ist der Spulenstrom ISpule , der auf einen Bereich von 100 mA eingestellt ist. Mit
einer Ansteuerung von 0 bis 1 V und einem Abstand zweier Maxima
von ∆I = 14,9 mA ergibt sich so die Beziehung 1 ΦSQUID
= 14,9 mA.
0
Untersuchung einer Quantenbit-Stufe
Eine Zustandsänderung im Quantenbit bewirkt anschaulich gesprochen eine Umkehrung
des Umlaufsinns des supraleitenden Ringstroms, was sich durch eine induktiven Ankopplung an das dc-SQUID in dessen Eigenschaften bemerkbar macht. Bei f = 0,5 befindet
sich das untersuchte System an einem Entartungspunkt. Multipliziert man diesen Wert
von f mit dem Verhältnis von dc-SQUID-Fläche zu Qubit-Fläche, so erhält man eine
Angabe, an welchem Bruchteil einer Oszillation des maximalen Suprastroms Ismax eine
A
Quantenbit-Stufe zu erwarten ist. Es muss also die Bedingung n − 21 ASQUID
=: fn erQubit
füllt sein, wobei ASQUID und AQubit die gesamte vom magnetischen Fluss Φext durchsetzte
Flächen der jeweiligen Strukturen beschreiben und n eine natürliche Zahl ist.
Die in Abb. 5.14 gezeigte Kurve stammt von einer Probe, bei der für das Verhältnis
ASQUID
AQubit
= 1,56 gilt, so dass man Quantenbit-Stufen bei Frustrationswerten fn vermutet ,
63
5. Experimentelle Ergebnisse
wie sie in Tabelle 5.3 aufgelistet werden.
n
1
2
3
4
5
6
7
fn
0,78
2,34
3,9
5,46
7,02
8,58
10,14
Tabelle 5.3.: Übersicht über die zu erwartenden Positionen von Quantenbit-Stufen bei
Probe C.
Abbildung 5.15.: Detailaufnahme der Stufenstruktur von Probe C an der aufsteigenden
Flanke unmittelbar vor dem ersten Oszillationsmaximum. Zu erkennen ist der Kurvenverlauf vor und nach der Quantenbit-Stufe. Die sehr
leichte Abweichung in der Position der Stufe, die hier bei f ≈ 0,71 auftritt, liegt im Rahmen der Messungenauigkeit des Flächenverhältnisses
ASQUID
AQubit .
64
5.3. Messungen bei 50 mK
Für n = 1 vermutet man eine Quantenbit-Stufe kurz vor dem ersten Oszillationsmaximum an der aufsteigenden Flanke. Eine Detailaufnahme mit erhöhter Genauigkeit
bestätigt diese Vermutung.
5.3. Messungen bei 50 mK
Im Rahmen einer Messung bei 500 mK können die hergestellten Strukturen zügig charakterisiert werden. Hat man dort vielversprechende Messdaten erhalten, so empfiehlt
es sich, die betreffenden Proben auf 50 mK abzukühlen, da bei dieser Temperatur der
Einfluss thermischer Fluktuationen minimiert werden kann. Darüber hinaus bietet der
50 mK-3 He-4 He-Mischkryostat die Möglichkeit, Mikrowellenspektroskopie zu betreiben.
5.3.1. Aufnahme von Strom-Spannungs-Kennlinien
Analog zu den Messungen bei 500 mK wird auch hier in einem ersten Schritt eine StromSpannungs-Kennlinie des dc-SQUIDs aufgenommen.
Abbildung 5.16.: Strom-Spannungs-Kennlinie der in Abb. 5.13 gezeigten Probe bei
50 mK.
65
5. Experimentelle Ergebnisse
Physikalische Größe
Ic = 0,51 µA
Ir = 0,19 µA
Vg = 0,363 mV
AJJ,SQUID = 0,024 µm2
kA
jc = 1,06 cm
2
Rn = 333 Ω
Ic · Rn = 0,17 mV
Table 5.4.: Zusammenstellung der wichtigsten elektrischen Eigenschaften von Probe B.
Die in Abb. 5.17 gezeigte Strom-Spannungs-Kennlinie weist im Wesentlichen dieselben elektrischen Eigenschaften auf, die auch schon bei der Charakterisierung bei 500 mK
aufgetreten sind. Der etwas höhere Wert von Ic erklärt sich durch einen deutlich geringeren Einfluss thermischer Fluktuationen, da die Messtemperatur um einen Faktor 10
kleiner ist und aus der Tatsache, dass die Ic auf Grund der T -Abhängigkeit der BCSEnergielücke (2.9) selbst temperaturabhängig ist. Die resultierende kritische Stromdichte
jc jedoch liegt nun auf Grund der leichten Erhöhung in Ic ebenfalls minimal über dem
Wert, der zuvor in einer Messung bei 500 mK bestimmt worden ist. Alle anderen Größen
stimmen mit den elektrischen Eigenschaften überein, die schon in der Messung bei 500 mK
untersucht worden sind.
5.3.2. Aufnahme von magnetfeldabhängigen Modulationen des maximalen
Suprastroms
Im Gegensatz zu Messungen bei 500 mK erfolgt bei 50 mK eine Messung der magnetfeldabhängigen Oszillationen von Ismax immer mit Histogrammen, vgl. Abschnitt 3.4.
Dadurch erhält man neben dem eigentlichen Oszillationsmuster gleichzeitig eine Häufigkeitsverteilung der gemessenen Ic -Werte. Das eigentliche Messverfahren funktioniert
ähnlich wie die in Abschnitt 4.4.3 erklärte Methode zur Aufnahme eines Ic (B)-Musters.
Zusätzlich können jedoch über einen Pulsgenerator Dauer und Breite der Rampen zur
Ic (B)-Messung gezielt getriggert werden, um auf diese Weise den Abstand zwischen zwei
Messungen zu variieren. Typischerweise wurde eine Pulsdauer von 7 ms und eine Pulsbreite von 6 ms verwendet. In Abb. 5.17 ist für die bei 50 mK vermessene Probengeometrie
das Flächenverhältnis
66
ASQUID
AQubit
veranschaulicht.
5.3. Messungen bei 50 mK
Abbildung 5.17.: Veranschaulichung des Flächenverhältnisses
ASQUID
AQubit
Aus dieser Probengeometrie berechnet sich das Flächenverhältnis zu
von Probe B.
ASQUID
AQubit
= 1,625.
Man vermutet demnach Quantenbit-Stufen bei folgenden Oszillationen, wie sie in Tab.
5.5 aufgelistet werden.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
fn
0,81
2,44
4,06
5,69
7,31
8,94
10,56
12,19
13,81
15,44
17,06
18,69
Tabelle 5.5.: Übersicht über die zu erwartenden Positionen von Quantenbit-Stufen bei
Probe B.
Diese Vermutung kann durch die Aufnahme einer Modulationskurve von Ismax bestätigt werden. Durch eine Messung mit Histogrammen erhält man eine statistische Verteilung der gemessenen Werte und somit eine sicherere Aussage über die Existenz einer
Quantenbit-Stufe. Abb. 5.18 zeigt einen solchen Modulationsgraphen, in dem die einzel-
67
5. Experimentelle Ergebnisse
nen Quantenbit-Stufen sichtbar sind.
In einer Detailaufnahme einer Quantenbit-Stufe kann man die quantenmechanische
Überlagerungen der Erwartungswerte der zirkulierenden Dauerströme gut erkennen, wie
in Abb. 5.19 gezeigt.
Abbildung 5.18.: Histogramm-Messung der Modulation des maximalen Suprastroms von
Probe B mit markierten Quantenbit-Stufen. Durch Einfang von Flussquanten ist das Oszillationsmuster verschoben.
Abbildung 5.19.: Detailaufnahme einer Quantenbit-Stufe von Probe B.
68
5.3. Messungen bei 50 mK
5.3.3. Mikrowellenspektroskopie
Um die Existenz einer Quantenbit-Stufe zu verifizieren, wird die fragliche Stelle mit
Mikrowellen untersucht, vgl. Abschnitt 3.4. Dazu werden permament Mikrowellen mit
konstanter Frequenz und Amplitude in einem Mikrowellengenerator erzeugt. Dieser ist
mit einem Koaxialkabel mit dem Messeinsatz im Kryostaten verbunden, der über Mikrowellenleitungen die eingespeisten Signale in die Probenkammer übertragen kann. Dort
werden die Mikrowellen über eine Antenne direkt auf die Proben freigesetzt. Entspricht
nun die eingestahlte Mikrowellenenergie EMW genau der Energielücke ∆E des Quantenbits, so kann dieses angeregt werden, wie in Kap. 3.4 erklärt. Dies ist in Abb. 5.20
exemplarisch für eine Frequenz und eine Leistung gezeigt.
Abbildung 5.20.: Histogramm-Messung mit gleichzeitiger Mikrowellenspektroskopie einer
Quantenbit-Stufe von Probe B.
Um die Ankopplung von Mikrowellen genauer untersuchen zu können, ist es zweckmäßig, einen linearen Anteil der dc-SQUID-Modulationen abzuziehen und die Werte für
Ic auf den maximal gemessenen Wert zu normieren. Abb. 5.21 zeigt exemplarisch die
Abhängigkeit der normierten Ic -Werte in Abhängigkeit des magnetischen Flusses.
69
5. Experimentelle Ergebnisse
Abbildung 5.21.: Normierter kritischer Strom in Abhängigkeit des externen Flusses bei
Probe B. Die resonanten Mikrowellen-Ankopplungen sind als „Peaks”
und „Dips” sowohl als Ein-, Zwei- und Drei-Photonen-Anregungen deutlich erkennbar.
Variiert man die Mikrowellenfrequenz, so kann man ein charakteristisches Ankopplungsmuster erkennen, das symmetrisch zum Entartungspunkt auseinanderläuft. In Abb.
5.22 sind verschiedene Ic (B)-Kurven gegen den externen Fluss aufgetragen. Man erkennt
deutlich, dass die Positionen der Mikrowellen-Ankopplungen mit zunehmender Frequenz
auseinanderlaufen.
Diese Positionen der Mikrowellenresonanzen lassen sich durch eine hyperbolische Funktion der Gestalt
y=
p
Ax2 + △2
(5.5)
gut annähern. In diesem Fit lässt sich die Größe der Energielücke △fit direkt ablesen.
Abb. 5.23 trägt die Positionen der Mikrowellenankopplungen gegen die jeweilige Frequenz
auf und zeigt die mit Gleichung (5.5) bestimmte Fit-Funktion.
In Abb. 5.23 kann direkt die Energielücke △fit /h = 3,15 GHz abgelesen werden. Aus
der Beziehung
∆E =
70
q
△2fit + ε2fit
(5.6)
5.3. Messungen bei 50 mK
Abbildung 5.22.: Flussabhängige Positionen der Mikrowellenankopplungen für verschiedene Frequenzen und Leistungen bei Probe B. Zur besseren Übersicht
sind die Kurven gegeneinander verschoben.
kann nun der Parameter εfit bestimmt werden. εfit steht dabei über die Beziehung
εfit = 2Ip Φ0
(5.7)
in Beziehung zum zirkulierenden Dauerstrom Ip . Unter der Annahme 0, 6 < α < 0, 7
kann man ferner mit der Näherung
Ip ≈ αfit Ic
(5.8)
einen Wert für αfit bestimmen. Ic in (5.8) korreliert mit der kritischen Stromdichte jc
gemäß
Ic = jc AQubit ,
(5.9)
wobei AQubit die Fläche eines Josephson-Kontakts im Quantenbit beschreibt.
Mit Hilfe eines numerischen Simulationsprogramms [42] war es zudem möglich, die
exakten Energieniveaus eines Flussquantenbits mit vier Josephson-Kontakten zu simulieren. Der Energieabstand ∆E zwischen Grundzustand und angeregtem Zustand ist zum
71
5. Experimentelle Ergebnisse
Vergleich mit den Messdaten ebenfalls in Abb. 5.23 gezeigt.
Abbildung 5.23.: Flussabhängige Positionen der Mikrowellen-Ankopplungen bei Probe B
mit hyperbolischer Fit-Funktion, definiert durch (5.5). Bei Frequenzen
unterhalt von 6 GHz ist die Position der „Dips” nicht mehr eindeutig erkennbar, daher werden solche Messungen zur Bestimmung von ∆fit nicht
herangezogen. Zusätzlich wurde der Abstand ∆E numerisch simuliert.
In Tabelle 5.6 sind für das Quantenbit aus Probe B die wichtigsten Eigenschaften
aufgelistet.
△fit /h (GHz)
3,15±0,5
εfit /h (GHz)
3,92
△sim /h (GHz)
2,96
Ipfit (nA)
356
Ic (nA)
510
αfit
0,69
αEntwurf
0,66
Tabelle 5.6.: Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften, die im Rahmen einer Mikrowellenspektroskopie einer hergestellen Quantenbit-Struktur entnommen
werden können. Der Wert für Ic wurde in der bei 50 mK vorgestellen StromSpannungs-Kennlinie abgelesen.
Aus dieser Tabelle geht hervor, dass der Parameter αfit sehr gut mit dem im Herstellungsprozess eingestellten Wert αEntwurf übereinstimmt. Darüber hinaus erkennt man im
Auftreten von „Peak”- und „Dip”-Strukturen, dass sich die vermessene Struktur wie ein
Quantenbit verhält und einen deutlichen Energieabstand zwischen Grundzustand und
72
5.3. Messungen bei 50 mK
angeregtem Zustand aufweist. Dies ist eine wesentliche Voraussetzung zur physikalischen
Implementierung quantenmechanischer Zweiniveausysteme, wofür sich Flussquantenbits
mit vier Josephson-Kontakten gut eignen.
Aus der Simulation ergibt sich △sim /h = 2,96 GHz, was im Rahmen des Fehlerbal-
kens mit △fit /h übereinstimmt. Als Simulationsparameter wurden ẼJ ≈ 300 GHz und
ẼC ≈ 8 GHz verwendet. Wegen
eJ
E
EJ
≈ 1 liefert diese Simulation eine gute Übereinstim-
mung mit den experimentell bestimmten Werten und kann deswegen dazu verwendet
werden, aus dem Wert von ẼC über (2.14) eine Abschätzung der spezifischen Kapazität
fF
c vorzunehmen. Aus dieser Abschätzung erhält man c ≈ 85 µm²
, was sich in derselben
Größenordnung wie die in [43] ermittelten Werte bewegt.
5.3.4. Analyse der Mikrowellenresonanzen
Wie in Kap. 5.3.3 gezeigt, führt das resonante Ankoppeln von Mikrowellen an das Quantenbit zu charakteristischen „Peak”- und „Dip”-Strukturen im Modulationsmuster des
maximalen Suprastroms im dc-SQUID. Diese Mikrowellenresonanzen erlauben eine Abschätzung der Zeitskala, in denen diese als „Peak”- und „Dip”-Strukturen erscheinende
Überlagerungszustände auftreten.
Um Aussagen über das Verhalten der Mikrowellenresonanzen zu erhalten, kann ihr
Ankoppelverhalten an das Quantenbit für eine feste Frequenz in einem Leistungsbereich
der Mikrowellenquelle von -60 dBm < PMW < -20 dBm gemessen werden. Abb. 5.24 und
Abb. 5.25 zeigen typische Ankopplungsmuster.
73
5. Experimentelle Ergebnisse
Abbildung 5.24.: „Dip”-Strukturen bei fMW = 8,93 GHz von Probe B. Zur besseren Übersicht sind die Kurven gegeneinander verschoben.
Abbildung 5.25.: „Dip”-Strukturen bei fMW = 15,06 GHz von Probe B. Zur besseren
Übersicht sind die Kurven gegeneinander verschoben.
74
5.3. Messungen bei 50 mK
Die „Dip”-Strukturen wurden nun mit Hilfe eines Lorentz-Fits
y = y0 +
2A
FWHMLorentz
,
2
π 4x + FWHM2Lorentz
(5.10)
in dem A die gefittete Fläche beschreibt, an die Mikrowellenresonanzen angefittet.
Durch die Halbwertsbreite FWHMLorentz und die Fit-Amplitude ALorentz , die sich über
ALorentz =
2A
π·FWHMLorentz
(5.11)
errechnet, kann die Resonanz mit (5.10) vollständig beschrieben werden. Trägt man für
die in Abb. 5.24 und Abb. 5.25 gezeigten Mikrowellenfrequenzen diese Fit-Parameter
gegen die eingestellte Mikrowellenleistung auf, so ergibt sich ein Zusammenhang zwischen ALorentz und FHWMLorentz mit der eingestellten Mikrowellenleistung PMW , die
√
zum besseren Vergleich mit [14] über U = PMW R mit R = 50 Ω in Form einer Spannungsamplitude angegeben ist. Diese Korrelationen sind in Abb. 5.26 und Abb. 5.27
gezeigt. Beide in Abb. 5.26 gezeigten Datensätze zeigen zunächst einen raschen Anstieg
der Lorentz-Amplitude mit der Spannungsamplitude, ab einem bestimmten Wert jedoch
tritt plötzlich eine Sättigung ein. Dies konnte wie in [14] festgestellt werden.
Abbildung 5.26.: Spannungsabhängige Lorentz-Amplitude für fMW = 8,93 GHz und
fMW = 15,06 GHz bei Probe B.
75
5. Experimentelle Ergebnisse
Abbildung 5.27.: Korrelation von Lorentz-Halbwertsbreite (FWHM) und Spannungsamplitude für fMW = 8,93 GHz und fMW = 15,06 GHz von Probe B.
Die Halbwertsbreite FWHMLorentz korreliert ebenfalls mit der Spannungsamplitude,
wie in Abb. 5.27 gezeigt ist. Die Daten aus Abb. 5.27 legen einen linearen Zusammenhang
zwischen der Halbwertsbreite des Lorentz-Fits und der eingestellten Mikrowellenleistung
nahe, was ebenfalls mit den Befunden aus [14] übereinstimmt. Gemäß [44] entspricht die
Halbwertsbreite ferner der doppelten Rabi-Frequenz ωR .
Für hinreichend hohe Mikrowellenfrequenzen und bei einem deutlichen Abstand vom
Entartungspunkt f = 0,5 ist der Zusammenhang zwischen fMW und Φext in guter Näherung linear, wie aus Abb. 5.23 ersichtlich. Dieser Zusammenhang
SQUID
fMW = ∆E/h ∼
= 2Ip Φext
(5.12)
erlaubt es, die extrapolierten Werte von FWHMLorentz in eine Frequenz umzurechnen.
Mit dem zuvor in Kap. 5.3.3 bestimmten Wert von Ip = 356 nA lassen sich diese über
2Ip · FWHMLorentz = ∆E/h
(5.13)
in Einheiten einer Energie ausdrücken. Im Grenzfall kleiner Leistungen wird FWHMLorentz
gemäß [14] von einer effektiven Zeit T2∗ bestimmt. Dieser Wert lässt sich über die Beziehung
76
5.3. Messungen bei 50 mK
FWHMLorentz =
2h
T2∗
berechnen. Im Fall von fMW = 8,93 GHz ergibt sich
(5.14)
lim FWHMLorentz = 1,83 mΦ0 ,
PMW→0
was 1,303·10−27 J entspricht. Daraus errechnet sich T2∗ = 1,62 ns. Für fMW = 15,06 GHz
kann man
lim FWHMLorentz = 1,67 mΦ0 extrapolieren, was zu 1,189·10−27 J äquiva-
PMW→0
lent ist. Daraus folgt T2∗ = 1,77 ns.
In diesem Abschnitt konnte eine Zeit T2∗ bestimmt werden, die den Zerfallsprozess
der Mikrowellenresonanzen maßgeblich charakterisiert. Um jedoch Aussagen zum Kohärenzverhalten der hergestellen Quantenbit-Strukturen zu erhalten, kann ein in [45]
beschriebener Zusammenhang zwischen halber Halbwertsbreite HWHM, Dephasierungszeit Tφ und Relaxationszeit Tr verwendet werden. In diesem Ansatz wird eine Methode
vorgestellt, eine Fit-Funktion mit Tφ und Tr als Fit-Parameter an einen Zusammenhang
von halber Halbwertsbreite HWHM, Tφ und Tr anzupassen. Auf Grund der großen Fehlerbalken im Grenzfall kleiner Spannungsamplituden allerdings konvergiert eine solche
Fit-Funktion nur mit sehr großen Standardfehlern, so dass die erhaltenen Werte für Tφ
und Tr keine Aussagekraft besitzen. Daher wird auf eine Präsentation dieser Ergebnisse
mit einer Anregung für weitere Arbeiten an diesem Thema in diesem Abschnitt bewusst
verzichtet.
77
6. Zusammenfassung und Ausblick
Flussquantenbits stellen eine Möglichkeit dar, festkörperbasierte Systeme zur Quanteninformationsverarbeitung physikalisch zu implementieren. Insbesondere auf Grund hoher
Kohärenzzeiten und gezielter Manipulierbarkeit von außen haben supraleitende Quantenbits in den letzten Jahren ein beachtliches Forschungsinteresse auf sich gezogen und damit
das Forschungsfeld der Schaltkreis-Quantenelektrodynamik (Circuit QED) bereichert [46].
Dieses Forschungsfeld erlaubt ein Studium der Wechselwirkung von Licht und Materie
auf einer fundamentalen Basis, da ein Quantenbit als physikalisches Zweiniveausystem
wie ein künstliches Atom aufgefasst und gezielt manipuliert werden kann [47, 48]. Am
Walther-Meissner-Institut wurden bisher einige grundlegende Arbeiten in diesem Themenbereich durchgeführt [49, 50, 51, 52], unter anderem wurde dabei auch ein Verfahren
entwickelt, um Flussquantenbits mit drei Josephson-Kontakten kontrolliert herzustellen
und zu charakterisieren [15].
Auf diesem Verfahren aufbauend war es das Ziel der vorliegenden Diplomarbeit, einen
bereits bestehenden Prozesses zur Herstellung von Flussquantenbits von drei auf vier
Josephson-Kontakte auszuweiten sowie die hergestellen Strukturen zu charakterisieren
und hinsichtlich ihrer gewünschten elektrischen Eigenschaften zu optimieren. Diese sind
vornehmlich Zielvorgaben für die Werte des kritischen Stroms Ic , der Gap-Spannung
Vg und insbesondere auch der kritischen Stromdichte jc . Eine wesentliche Motivation
für die Etablierung eines Herstellungsprozesses von Flussquatenbits mit vier statt drei
Kontakten ist die Hoffnung auf höhere Kohärenzzeiten der Flussquantenbits [16, 17,
18], welche sich als Konsequenz aus einer höheren Symmetrie im Quantenbit-System
und damit definierteren Aufenthaltspositionen der supraleitenden Ringströme ergeben
könnten.
Zu diesem Zweck wurde ein neues Quantenbit-Design entworfen, welches nun reproduzierbar hergestellt werden kann. Dabei wurde ein bereits etablierter Herstellungsprozess
in einigen Parametern, besonders bei der Wahl des L-Produktes, das als Produkt aus
Oxidationsdruck pox und Oxidationsdauer tox definiert ist, und bei der Dauer des LiftOff-Prozesses modifiziert.
Zusätzlich zur Entwicklung eines geeigneten Probendesigns wurde die Potentialland-
79
6. Zusammenfassung und Ausblick
schaft eines Flussquantenbits mit vier Josephson-Kontakten mit Hilfe einer Simulation
dargestellt und analysiert. Auf diese Weise konnte festgestellt werden, dass sich ein VierKontakt-Flussquantenbit qualitativ nicht von einem Flussquantenbit mit drei Kontakten
unterscheidet. So weist auch das Potential bei vier Josephson-Kontakten eine Doppelmuldenstruktur auf, was zur Folge hat, dass auch hier zwei Minima existieren, welche die
beiden Einstellmöglichkeiten der Orientierung des supraleitenden Ringstroms darstellen.
Somit kann ein Flussquantenbit mit vier Josephson-Kontakten zwei verschiedene quantenmechanische Zustände annehmen, die über eine Tunnelkopplung miteinander wechselwirken. Dadurch kann eine Superposition dieser beiden Zustände entstehen, die am
Entartungspunkt bei f = 0,5 gerade den Wert Null annimmt.
Eine besondere Herausforderung im Herstellungsprozess der Proben war die Etablierung stabiler Resistbrücken im Quantenbit-Design. Ohne die Einführung sogenannter
Proximity-Balken brachen diese regelmäßig zusammen, was unweigerlich zu einem Ausfall der Josephson-Kontakte im Quantenbit führte. Eine symmetrische Positionierung
dieser Proximity-Balken allerdings brachte die notwendige Stabilität in die ResistbrückenStruktur und führte sowohl zu reproduzierbaren Probengeometrien als auch zu stabilen
Größen der Kontaktflächen.
Im Rahmen der Charakterisierung der hergestellten Strukturen wurden zunächst die
Josephson-Kontakte unter Einsatz eines Elektronenstrahlmikroskops untersucht und in
ihrer Größe vermessen. Anschließend wurden ausgewählte Strukturen auf 500 mK abgekühlt, um bei dieser Temperatur auf ihre elektrischen Eigenschaften hin untersucht zu
werden. In einem ersten Schritt fand dabei eine Charakterisierung des dc-SQUIDs statt,
welches als Ausleseelement die Quantenbitstruktur ringförmig umschließt. Dazu wurden
Strom-Spannungs-Kennlinien aufgenommen, aus denen sich wichtige Eigenschaften des
dc-SQUIDs wie kritischer Strom Ic , Gap-Spannung Vg und unter Kenntnis der Kontaktfläche der beiden Josephson-Kontakte auch die kritische Stromdichte jc bestimmen
ließen. Mit gemessenen Durchschnittswerten von Ic ≈ 1 µA und typischen Kontaktflächen
von 0,02 µm2 ergibt sich so ein Verhältnis von
EJ0
EC0
≈ 51. Damit können die hergestellten
Systeme eindeutig als Flussquantenbits identifiziert werden und weisen hinsichtlich ihrer
energetischen Eigenschaften die gewünschten Parameter auf.
Im zweiten Charakterisierungsschritt wurden magnetfeldabhängige Modulationen des
maximalen Suprastroms Ismax des dc-SQUIDs aufgenommen. Anhand induktiver Ankopplungen der supraleitenden Dauerströme im Quantenbit in den Oszillationsgraphen des
dc-SQUIDs konnten Umkehrungen im Umlaufsinn der supraleitenden Dauerströme und
damit Zustandsänderungen im Quantenbit detektiert werden. Diese Zustandsänderungen äußern sich in einer sogenannten Quantenbit-Stufe, die in einem schmalen Intervall
80
des externen Flusses Φext in der Modulationskurve des maximalen Suprastroms sichtbar
sind. Im Verlauf der vorliegenden Diplomarbeit ist es gelungen, diese Quantenbit-Stufen
bei mehreren hergestellten Proben zu erkennen.
Die Existenz einer Quantenbit-Stufe konnte durch eine Messung der Ismax -Modulationen
mit Histogrammen und gleichzeitiger Mikrowellenspektroskopie bestätigt werden. Dazu
wurden bis zu 600 Zustandsdetektionen von Ismax innerhalb einer Messung durchgeführt
und anschließend statistisch ausgewertet. Auf diese Weise konnte man eine Häufigkeitsverteilung der Ismax -Werte erhalten und so Rückschlüsse auf die Existenz einer Zustandsänderung ziehen. Im Rahmen dieser Diplomarbeit konnte erfolgreich nachgewiesen werden, dass die hergestellten Quantenbitstrukturen tatsächlich das erwartete quantenmechanische Verhalten zeigen und somit für mögliche Anwendungen verwendet werden können. Insbesondere ist erwähnenswert, dass ein deutlicher Energieabstand von △fit /h =
3,15 GHz zwischen Grundzustand und angeregtem Zustand existiert und somit ein wohldefiniertes quantenmechansiches Zweiniveausystem vorliegt.
Dieses System konnte zusätzlich numerisch untersucht werden. Dabei konnten in früheren Untersuchungen bestimmte Werte spezifischer Kapazitäten von Josephson-Kontakten
mit Kontaktgrößen im Nanometerbereich [43] sehr genau bestätigt werden.
Darüber hinaus war es in einer Analyse der Mikrowellenresonanzen möglich, eine Abschätzung der T2∗ -Zeit zu erhalten, welche eine charakteristische Zerfallszeit beschreibt
und bei den in dieser Diplomarbeit charakterisierten Strukturen bei etwa 1 ns liegt. Auf
Grund der großen Halbwertsbreite der untersuchten Mikrowellenankopplungen allerdings
darf dieser Wert nur als grobe untere Grenze aufgefasst werden. Für künftige Arbeiten
in diesem Gebiet wäre es daher sinnvoll, genauere Messungen von T2∗ durchzuführen, um
den Einfluss eines vierten Josephson-Kontakts auf das Kohärenzverhalten der Strukturen
systematisch zu untersuchen. In [45] ist gezeigt, dass die halbe Halbwertsbreite HWHM
mit einer Relaxationszeit Tr und einer Dephasierungszeit Tφ zusammenhängt. Bei Kenntnis von HWHM können so mit einem Fit die Parameter Tr und Tφ bestimmt werden, um
Aussagen zum Kohärenzverhalten der hergestellten Strukturen zu gewinnen. Dies kann
ebenfalls für weitere Arbeiten an diesem Thema als Motivation dienen.
In dieser Diplomarbeit wurde nachgewiesen, dass die entwickelten Strukturen ein physikalisches Verhalten zeigen, das man theoretisch für quantenmechanische Zweiniveausysteme erwartet. Dies ist unter anderem auch im Hinblick auf eine steuerbare Kopplung
zweier Resonatoren durch ein Flussquantenbit vielversprechend. Der theoretische Hintergrund dieser Kopplung, der in [49] diskutiert wird, sagt sogar ein vollständiges Absinken
dieser Kopplung auf den Wert Null voraus, wenn das Quantenbit, das die Kopplung mo-
81
6. Zusammenfassung und Ausblick
duliert, nahe am Entartungspunkt bei f = 0,5 betrieben wird. Auf diese Weise könnten
die hergestellten Flussquantenbits mit vier Josephson-Kontakten dazu verwendet werden, ein System aus zwei Resonatoren in seiner Dynamik maßgeblich zu beeinflussen und
somit gezielt den Austausch von (Quanten-)Information steuerbar zu machen.
82
A. Fabrikationsparameter
Herstellung der Goldzuleitungen
Reinigung des Wafers (Standardreinigung)
• 2 × Ultraschall in Aceton p.a. für 2 min
• 1 × Ultraschall in Isopropanol p.a. für 2 min
• Trockenblasen mit N2
Belackung des Wafers
• Aufschleudern von AZ-5214E bei 4000 min−1 für 40 s
• Ausbacken bei 110 °C für 70 s
• Flutbelichtung mit UV-Licht für 1 s mit Mask-Aligner
• Ausbacken bei 130 °C für 120 s
Belichtung des Wafers
• Belichtung mit optischer Maske mit Negativ der Kontaktpads und Zuleitungsstrukturen (Maßstab 1:1) für 4,5 s
Entwicklung
• Entwicklung in AZ-Developer für bis zu 30 min
• 2 × Ausspülen in H2 O
• Trockenblasen mit N2
Sputtern
• Deposition einer Dünnschicht Gold mit der Auftisch-Sputteranlage Balzers MED020 (Schichtdicke: 20 nm)
83
A. Fabrikationsparameter
Lift-Off
• Bad in 70 °C warmen Aceton p.a. für 90 min
• 2 × Ultraschall in Aceton p.a. für jeweils 2 min
• Erneutes Bad in 70 °C warmen Aceton p.a. für 15 min
• 2 × Ultraschall in Aceton p.a. für jeweils 2 min
• 1 × Ultraschall in Isopropanol p.a. für 2 min
• Trockenblasen mit N2
Herstellung der Josephson-Elemente
Reinigung des Wafers (Standardreinigung)
• 2 x Ultraschall Stufe 1 in Aceton p.a. für 2 min
• 1x Ultraschall Stufe 1 in Isopropanol p.a. für 2 min
• Trockenblasen mit N2
Belackung des Wafers
• Aufschleudern von PMMA/MMA 33 % bei 2000 min−1 für 120 s
• Ausbacken bei 160 °C für 10 min
• Aufschleudern von PMMA/950k bei 4000 min−1 für 120 s
• Ausbacken für bei 160 °C für 10 min
Belichtung und Strukturierung mit Elektronenstrahllithographie
• Schreibfeldgröße: 120 µm × 120 µm
• Spot: 1
• Beschleunigungsspannung: 30 kV
• Vergrößerung: 650-fach
• Strahlstrom: etwa 30 pA
84
• Flächendosis: 200
µAs
cm2
(die effektive Dosis ergibt sich aus Multiplikation der Flä-
chendosis mit den in der jeweiligen Struktur eingestellten Multiplikatoren)
• Schrittweite: 5,5 nm
• Anzahl der Pixel: 3
Entwicklung des belichteten Lacksystems
• Entwicklung in AR 600-56 für 120 s
• 2 × Stoppen der Entwicklung in Isopropanol p.a. für 45 s
• Trockenblasen mit N2
Winkelaufgelöste Schattenbedampfung mit Aluminium
• Aufdampfen in einem Elektronenstrahlverdampfer (EVAP) unter symmetrischem
Winkel ±δ (Winkelmaß: ± 4267, entspricht ± 13 °)
• Druck in Prozesskammer: etwa 4 ·10−7 mbar
• Beschleunigungsspannung: 8 kV
• Emissionsstrom: etwa 450 mA
• Elektrodenmaterial: Aluminium
• Schichtdicke der unteren Josephson-Elektrode: 40 nm
• Oxidation bei Winkel 0 ° je nach L-Produkt (pOx · tOx ) zwischen 18 und 23 min
• Schichtdicke der oberen Josephson-Elektrode: 70 nm
• Emissionsrate für evaporierendes Aluminium: 20 Ås
Lift-Off
• Bad in 70 °C warmen Aceton p.a. für 90 min
• 2 × Ultraschall in Aceton p.a. für jeweils 2 min
• Erneutes Bad in 70 °C warmen Aceton p.a. für 15 min
• 2 × Ultraschall in Aceton p.a. für jeweils 2 min
• 1 × Ultraschall in Isopropanol p.a. für 2 min
• Trockenblasen mit N2
85
B. Simulation der Potentiallandschaft in
Wolfram Mathematica®
Simulationscode [53]
Manipulate[ContourPlot3D[3 + 0.5 - Cos[Phi1/2 Pi] - Cos[Phi2/2 Pi] - Cos[Phi3/2 Pi] 0.5 Cos[2 Pi*0.5 + Phi1/2 Pi - Phi2/2 Pi - Phi3/2 Pi] == U, {Phi1, -1 Pi, 1 Pi}, {Phi2,
-1 Pi, 1 Pi}, {Phi3, -1 Pi, 1 Pi}, AxesLabel -> {Phi1, Phi2, Phi3}], {U, 0.5, 6}]
Plot3D[3 + 0.5 - Cos[Phi1/2 Pi] - Cos[Phi2/2 Pi] - Cos[-Phi1/2 Pi] - 0.5 Cos[2 Pi*0.5
+ Phi1/2 Pi - Phi2/2 Pi + Phi1/2 Pi], {Phi1, -1.5 Pi, 1.5 Pi}, {Phi2, -1.5 Pi, 1.5 Pi},
ColorFunction -> "Rainbow"]
Plot[3 + 0.5 - Cos[Phi1/2 Pi] - Cos[-Phi1/2 Pi] - Cos[-Phi1/2 Pi] - 0.5 Cos[2 Pi*0.5 +
Phi1/2 Pi + Phi1/2 Pi + Phi1/2 Pi], {Phi1, -1.5 Pi, 1.5 Pi}, ColorFunction -> "Rainbow"]
Manipulate[ContourPlot3D[ 3 + alpha - Cos[Phi1/2 Pi] - Cos[Phi2/2 Pi] - Cos[Phi3/2
Pi] - alpha*Cos[2 Pi*f + Phi1/2 Pi - Phi2/2 Pi - Phi3/2 Pi] == U, {Phi1, -1 Pi, 1 Pi},
{Phi2, -1 Pi, 1 Pi}, {Phi3, -1 Pi, 1 Pi}, AxesLabel -> {Phi1, Phi2, Phi3}], {U, 0.5, 6},
{alpha, 0.3, 0.9}, {f, 0.3, 0.6}]
87
C. Danksagung
Zunächst möchte ich Prof. Dr. Rudolf Gross dafür danken, dass er mir die Möglichkeit gegeben hat, diese Diplomarbeit am Walther-Meissner-Institut anfertigen zu können und dadurch Einblicke in aktuelle wissenschaftliche Grundlagenforschung auf einem
interessanten Themengebiet zu erhalten. Besonders wertvoll waren seine anschaulichen
Erklärungen, die nicht nur im Jahr meiner Diplomarbeit, sondern auch schon in den
Vorlesungen zuvor maßgeblich dazu beigetragen haben, komplizierte physikalische Sachverhalte anschaulich zu erklären. Vielen Dank dafür!
Dr. Achim Marx danke ich für die angenehme Arbeitsatmosphäre in „seiner” QubitGruppe und die Möglichkeit, selbstständig an meinem Thema arbeiten zu können. Seine
praktischen Hilfestellungen und Ratschläge waren immer sehr hilfreich, ebenso seine Anregungen beim Korrekturlesen dieser Arbeit.
Bei Dr. Frank Deppe bedanke ich mich für zahlreiche Tipps und Verbesserungsvorschläge, welche ebenfalls zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.
Ein besonderer Dank gilt vor allem meiner Betreuerin Elisabeth Hoffmann. Sei es
durch ihre Einführung in die verwendeten Arbeitstechniken, ihre Erklärungen zu theoretischen Grundlagen meines Themas oder auch ihre Unterstützung beim Erstellen von
Präsentationen: ohne sie wäre diese Diplomarbeit so nicht möglich gewesen.
Meinen Diplomanden-Kolleginnen und Kollegen, vor allem Peter Eder, Jan Goetz,
Eva Karrer-Müller, Marta Krawczyk, Sibylle Meyer und Friedrich Wulschner,
danke ich herzlich für die schöne Zeit am WMI und wünsche Euch für die Zukunft alles
Gute!
Den weiteren Mitgliedern der Qubit-Gruppe, Alexander Baust, Matthias Danner, Max Häberlein, Fredrik Hocke, Dr. Hans Hübl, Edwin Menzel, Tomasz
Niemczyk und Manuel Schwarz, danke ich für viele praktische Ratschläge und für
89
C. Danksagung
ihren Beitrag an der angenehmen Atmosphäre.
Herzlicher Dank auch an Thomas Brenninger, Ludwig Ossiander, Ulrich Guggenberger, das Team aus der Helium-Halle und an die Werkstatt für ihre Unterstüzung in allen Bereichen.
Zum Schluss aber danke ich am meisten meinen Eltern für ihre kontinuierliche Unterstützung in allen Bereichen meines Lebens, von dem die Ermöglichung meines Studiums
sicherlich ein wichtiger Teil ist.
90
Literaturverzeichnis
[1] R. P. Feynman, Simulating physics with computers, International Journal of Theoretical Physics 21(6-7), 467–488 (1982).
[2] D. Deutsch and R. Jozsa, Rapid Solution of Problems by Quantum Computation,
Proceedings of the Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences
439(1907), 553–558 (1992).
[3] P. W. Shor, Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete
Logarithms on a Quantum Computer, SIAM Review 26(2), 1484 (1999).
[4] L. K. Grover, A fast quantum mechanical algorithm for database search, Proceedings
of the twentyeighth annual ACM symposium on Theory of computing STOC 96 , 8
(1996).
[5] D. P. DiVincenzo, The Physical Implementation of Quantum Computation, Fortschritte Der Physik 48(9-11), 771–783 (2000).
[6] J. I. Cirac and P. Zoller, Quantum Computations with Cold Trapped Ions, Physical
Review Letters 74(20), 4091–4094 (1995).
[7] M. Saffman, T. G. Walker, and K. Mølmer, Quantum information with Rydberg
atoms, Rev. Mod. Phys. 82, 2313–2363 (Aug 2010).
[8] H. Walther, B. T. H. Varcoe, B.-G. Englert, and T. Becker, Cavity quantum electrodynamics, Reports on Progress in Physics 69(5), 1325–1382 (2006).
[9] D. Loss and D. P. DiVincenzo, Quantum Computation with Quantum Dots, Physical
Review A 57(1), 12 (1997).
[10] H. Mooij, K. Harmans, Y. Nakamura, I. Chiorescu, A. Haar, A. Lupascu, P. Bertet,
and K. Semba, Superconductign Flux Qubits, Science (2003).
[11] M. D. Shaw, J. F. Schneiderman, B. Palmer, P. Delsing, and P. M. Echternach,
Experimental Realization of a Differential Charge Qubit, IEEE Transactions on
Applied Superconductivity 17(2), 109–112 (2007).
91
Literaturverzeichnis
[12] J. M. Martinis, Superconducting phase qubits, Quantum Information Processing
8(2-3), 81–103 (2009).
[13] T. P. Orlando, J. E. Mooij, L. Tian, C. H. van der Wal, L. S. Levitov, S. Lloyd, and
J. J. Mazo, Superconducting persistent-current qubit, Phys. Rev. B 60, 15398–15413
(Dec 1999).
[14] C. H. van der Wal, A. C. J. ter Haar, F. K. Wilhelm, R. N. Schouten, C. J. P. M.
Harmans, T. P. Orlando, S. Lloyd, and J. E. Mooij, Quantum Superposition of
Macroscopic Persistent-Current States, Science 290(5492), 773–777 (Oct. 2000).
[15] T. Niemczyk, F. Deppe, M. Mariantoni, E. P. Menzel, E. Hoffmann, G. Wild, L. Eggenstein, A. Marx, and R. Gross, Fabrication Technology of and Symmetry Breaking in Superconducting Quantum Circuits, Superconductor Science and Technology
22(3), 20 (2009).
[16] F. Yoshihara, K. Harrabi, A. O. Niskanen, Y. Nakamura, and J. S. Tsai, Decoherence
of Flux Qubits due to 1/f Flux Noise, Phys. Rev. Lett. 97, 167001 (Oct 2006).
[17] P. Bertet, I. Chiorescu, G. Burkard, K. Semba, C. J. P. M. Harmans, D. P. DiVincenzo, and J. E. Mooij, Dephasing of a Superconducting Qubit Induced by Photon
Noise, Phys. Rev. Lett. 95, 257002 (Dec 2005).
[18] J. Bylander, S. Gustavsson, F. Yan, F. Yoshihara, K. Harrabi, G. Fitch, D. G.
Cory, Y. Nakamura, J.-S. Tsai, and W. D. Oliver, Dynamical decoupling and noise
spectroscopy with a superconducting flux qubit, Nature Physics 7(5), 21 (2011).
[19] F. London and H. London, The Electromagnetic Equations of the Supraconductor,
Proceedings of the Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences
149(866), 71–88 (1935).
[20] R. Doll and M. Nabauer, Experimental Proof of Magnetic Flux Quantization in a
Superconducting Ring, Physical Review Letters 7(2), 51–52 (1961).
[21] J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieffer, Theory of Superconductivity, Phys.
Rev. 108(5), 1175–1204 (Dec 1957).
[22] B. D. Josephson, Possible new effects in superconductive tunnelling, Physics Letters
1(7), 251–253 (1962).
92
Literaturverzeichnis
[23] R. Gross and A. Marx, Applied Superconductivity: Josephson-Effect and Superconducting Electronics, Vorlesungsmanuskript an der Technischen Universität München, (2005).
[24] V. Ambegaokar and A. Baratoff, Tunneling Between Superconductors, Phys. Rev.
Lett. 10(11), 486–489 (Jun 1963).
[25] W. C. Stewart, Current-Voltage Characteristics of Josephson Junctions, Applied
Physics Letters 12(8), 277 (1968).
[26] E. McCumber, Effect of ac impedance on dc voltage-current characteristics of Josephson junctions, Journal of Applied Physics 39, 3113 (1968).
[27] J. Clarke and A. I. Braginski, The SQUID Handbook. Fundamentals and Technology
of SQUIDs and SQUID Systems, volume I, Wiley-VCH, 2004.
[28] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, and F. Laloe, Quantum Mechanics, Quantum Mechanics 1, 887 (2006).
[29] T. Spiller, T. Clark, R. Prance, and A. Widom, Chapter 4: Quantum Phenomena in
Circuits at Low Temperatures, volume 13 of Progress in Low Temperature Physics,
pages 219 – 265, Elsevier, 1992.
[30] G. Schön and A. D. Zaikin, Distinguishing phases in Josephson junctions and the
choice of states, Physica B Condensed Matter 152, 203–206 (Aug. 1988).
[31] J. Clarke and F. K. Wilhelm, Superconducting quantum bits, Nature 453(7198),
1031–42 (2008).
[32] M. Büttiker, Zero-current persistent potential drop across small-capacitance Josephson junctions, Physical Review B 36(7), 3548 (1987).
[33] Y. Nakamura, Y. A. Pashkin, and J. S. Tsai, letters to nature Coherent control of
macroscopic quantum states in a single-Cooper-pair box, Nature 398(April), 0–2
(1999).
[34] M. Hofheinz, E. M. Weig, M. Ansmann, R. C. Bialczak, E. Lucero, M. Neeley, A. D.
O’Connell, H. Wang, J. M. Martinis, and A. N. Cleland, Generation of Fock states
in a superconducting quantum circuit., Nature 454(7202), 310–314 (2008).
93
Literaturverzeichnis
[35] I. Chiorescu, Y. Nakamura, C. J. P. M. Harmans, and J. E. Mooij, Coherent Quantum Dynamics of a Superconducting Flux Qubit, Science 299(5614), 1869–1871
(2003).
[36] I. I. Rabi, Space Quantization in a Gyrating Magnetic Field, Physical Review 51(8),
652–654 (1937).
[37] M. GmbH, Technisches Datenblatt AZ-5214E, 2008.
[38] L. Eggenstein, Optimierung und Charakterisierung von supraleitenden Quantenschaltkreisen auf Basis von Flussquantenbits, 2009, Diplomarbeit.
[39] P. G. De Gennes, Boundary Effects in Superconductors, Rev. Mod. Phys. 36,
225–237 (Jan 1964).
[40] A. Gladun, W. Buckel. Supraleitung; Grundlagen und Anwendungen. 5. überarbeitete und ergänzte Auflage, VCH-Weinheim, 1994; 382 Seiten, 184 Abbildungen, 13
Tabellen, ISBN 3-527-29087-7. DM 78.00, Crystal Research and Technology 29(6),
850–850 (1994).
[41] T. Niemczyk, Private Kommunikation.
[42] T. Hümmer, Private Kommunikation.
[43] F. Deppe, Determination of the capacitance of nm scale Josephson junctions, Journal
of Applied Physics 95(5), 2607 (2004).
[44] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, and F. Laloe, Quantum Mechanics, Quantum Mechanics 1, 443–454 (2006).
[45] S. Saito, M. Thorwart, H. Tanaka, M. Ueda, H. Nakano, K. Semba, and H. Takayanagi, Multiphoton transitions in a macroscopic quantum two-state system, Physical
Review Letters 93(3), 4 (2004).
[46] A. Blais, R.-S. Huang, A. Wallraff, S. M. Girvin, and R. J. Schoelkopf, Cavity
quantum electrodynamics for superconducting electrical circuits: an architecture for
quantum computation, Physical Review A 69(6), 14 (2004).
[47] O. Astafiev, K. Inomata, A. O. Niskanen, T. Yamamoto, Y. A. Pashkin, Y. Nakamura, and J. S. Tsai, Single artificial-atom lasing, Nature 449(7162), 588–90
(2007).
94
Literaturverzeichnis
[48] J. M. Fink, M. Goeppl, M. Baur, R. Bianchetti, P. J. Leek, A. Blais, and A. Wallraff,
Climbing the Jaynes-Cummings Ladder and Observing its Sqrt(n) Nonlinearity in a
Cavity QED System, Nature 454(7202), 315–318 (2009).
[49] M. Mariantoni, F. Deppe, A. Marx, R. Gross, F. K. Wilhelm, and E. Solano, Tworesonator circuit QED: A superconducting quantum switch, Physical Review B
78(10), 24 (2007).
[50] E. P. Menzel, F. Deppe, M. Mariantoni, M. . A. Caballero, A. Baust, T. Niemczyk,
E. Hoffmann, A. Marx, E. Solano, and R. Gross, Dual-path state reconstruction
scheme for propagating quantum microwaves and detector noise tomography, Physical Review Letters 105(10), 100401 (2010).
[51] E. Hoffmann, F. Deppe, T. Niemczyk, T. Wirth, E. P. Menzel, G. Wild, H. Huebl,
M. Mariantoni, T. Weißl, A. Lukashenko, A. P. Zhuravel, A. V. Ustinov, A. Marx,
and R. Gross, A superconducting 180° hybrid ring coupler for circuit quantum
electrodynamics, Applied Physics Letters 97(22), 222508 (2010).
[52] T. Niemczyk, F. Deppe, H. Huebl, E. P. Menzel, F. Hocke, M. J. Schwarz, J. J.
Garcia-Ripoll, D. Zueco, T. Hummer, E. Solano, A. Marx, and R. Gross, Circuit
quantum electrodynamics in the ultrastrong-coupling regime, Nature Physics 6(10),
772–776 (Oct. 2010).
[53] E. Hoffmann, Private Kommunikation.
95
Literaturverzeichnis
Selbstständigkeitserklärung
Mit der Abgabe der Diplomarbeit versichere ich, dass ich die Arbeit selbstständig verfasst
und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
Garching, den 31.10.2011
Felix Bilger
96