Höhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma
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TU Bergakademie Freiberg
Dr. Gunter Semmler
Dr. Anja Kohl
Sommersemester 2010
Höhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma
Hausaufgaben zum Übungsblatt 1 - Lösung
Wiederholung: Lineare Algebra
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1. (a) +(c)
In U liegen Vektoren der Form (a, b, c, d)T , die die Gleichungen a+b = 0, b+c +d =
0, c = 2d erfüllen, also b = −c − d = −2d − d = −3d und a = −b = 3d. Folglich:
a
3d
3
b −3d
=
= d −3 , d ∈ R
c 2d
2
d
d
1
Damit liegen in U genau die Vektoren, die Vielfache des Vektors (3, −3, 2, 1)T sind.
Daraus folgt, dass {(3, −3, 2, 1)} eine Basis von U ist und di m U = 1.
Da bei U 0 die Gleichung b + c + d = 0 wegfällt, gilt dort:
a
a
1
0
b −a
−1
0
=
c 2d = a 0 + d 2 , a, d ∈ R
d
d
0
1
D.h. U 0 enthält sämtliche Linearkombinationen der Vektoren u~ := (1, −1, 0, 0)T und
~
v := (0, 0, 2, 1)T , d.h. U 0 ist die Lineare Hülle dieser beiden Vektoren.
Damit ist {~
u, ~
v } ein Erzeugendensystem von U 0 , und da die beiden Vektoren u~ und ~
v
auch linear unabhängig sind, ist {~
u, ~
v } sogar eine Basis von U 0 und damit di m U 0 = 2.
(b)
– U 6= ∅, denn (0, 0, 0, 0)T ∈ U X
– U ⊆ R4 trivial X
– Seien ~
x = x · (3, −3, 2, 1)T , y~ = y · (3, −3, 2, 1)T ∈ U. Dann gilt:
3
3
3
−3
+ y −3 = (x + y ) −3 ∈ U X
~
x + y~ = x
2
2
2
1
1
1
→ Die Vektoraddition führt nicht aus U hinaus.
1
– Sei λ ∈ R und ~
x = x · (3, −3, 2, 1)T ∈ U. Dann gilt:
3
3
−3
= (λx) −3 ∈ U X
λ·~
x = λx
2
2
1
1
→ Die Skalarmultiplikation führt nicht aus U hinaus.
⇒ U ist ein UR des R4 .
| | |
2. (a) Sei A := a~ ~b c~ .
| | |
Die Vektoren a~, ~b, c~ bilden eine Basis des R3 , wenn sie linear unabhängig sind.
Am schnellsten kann man das mit der Determinante der Matrix A überprüfen:
¯
¯
¯ 2
¯
0
2
¯
¯
4
−4 ¯¯ = 24 + 0 + 0 − 8t + 8(2 − t) − 0 = 40 − 16t = 8(5 − 2t)
|A| = ¯¯ 0
¯ t 2−t
3 ¯
Es gilt a~, ~b, c~ linear unabhängig ⇔ |A| 6= 0.
Folglich bilden die drei Vektoren eine Basis für t 6= 52 .
(b) Da B = (~
a, ~b, c~) für t = 3 eine Basis des R3 ist und d~ ∈ R3 gilt, existieren reelle
~ a, b, c sind dann die Koordinaten von d~ bzgl.
Zahlen a, b, c mit a~
a + b~b + c~
c = d.
der Basis B. Wir lösen das dazugehörige GS:
a
2
0
3
2
0
0
2
0
0
2
0
0
b
0
4
−1
0
4
−1
0
1
4
0
1
0
c
2
1
−4
1
3
0
2
1
−4
1
0 − 23
2
1
3
0
2
−4
1
2
1 → a = − 34
1
0
→ b = 32
2
−4 −5 → c = 54
2
|
3. Sei A :=
a~
|
| | |
~b c~ d~ .
| | |
(a) Es gilt di m U = r g A. Berechnen den Rang von A:
1
1
2
−5
1 −4
−4 −1 −5
2
5
7
1
1
2
0
6
6
0
3
3
0
3
3
1
1
2
0
3
3
0
0
0
0
0
0
1
−7
−5
1
1
−2
−1
−1
1
−1
0
0
→ rg A = 2
(b) Da U nur Dimension 2 hat, ist jedes Päarchen von zwei linear unabhängigen Vektoren
aus U eine Basis für U. Daher können wir z.B. als Basis {~
a, ~b} wählen (diese zwei
sind linear unabhängig, da der eine kein Vielfaches des anderen ist).
(c) Wenn ~
v = (1, 3, 0, 6)T in U liegt, dann muss ~
v sich eindeutig als Linearkombination
~
der Basis {~
a, b} darstellen lassen, d.h. es gibt reelle Zahlen a, b mit a~
a + b~b = ~
v.
Lösen das GS:
1
−5
−4
2
1
0
0
0
1
0
1
1
−1
5
1
6
3
3
1
3
1
3
0
6
1
8
4
4
1
4
→ a = − 31
v ∈U
→ b = 43 ⇒ ~
4. (a) m1 = 4, m2 = 2, m3 = 1
(b) Für ϕ1 existiert eine Matrix A ∈ R4×3 mit ϕ(~
x ) = A~
x für alle ~
x ∈ R3 :
2x1 + 2x2 − x3
2 2 −1
x1
x1
1 2
x1 + 2x2
0
· x2 =
ϕ1 x2 =
0 2
2x2 + x3
1
x3
x3
x1 − x3
1 0 −1
3
⇒ nach Satz 7.4 ist ϕ1 linear
Überprüfen für ϕ2 die Additivität: Seien u~ = (u1 , u2 , u3 )T , ~
v = (v1 , v2 , v3 )T ∈ R3 .
µ
¶
u1 + v1
3(u
+
v
)
+
(u
+
v
)
1
1
2
2
ϕ2 (~
u+~
v ) = ϕ2 u2 + v2 =
(u1 + v1 ) · (u2 + v2 )
u3 + v3
µ
¶
(3u1 + u2 ) + (3v1 + v2 )
=
(u1 · u2 ) + (v1 · v2 ) + u1 v2 + v1 u2
¶
¶ µ
¶ µ
µ
0
3v1 + v2
3u1 + u2
+
+
=
u1 v2 + v1 u2
v1 · v2
u1 · u2
µ
¶ µ
¶
i.A.
3u1 + u2
3v1 + v2
6=
+
u1 · u2
v1 · v2
= ϕ2 (~
u ) + ϕ2 (~
v)
Konkretes Beispiel: u~ = ~
v = (1, 1, 0)T → ϕ2 (~
u+~
v ) 6= ϕ2 (~
u ) + ϕ2 (~
v)
⇒ ϕ2 nicht additiv, und damit nicht linear
Für ϕ3 existiert eine Matrix A ∈ R1×3 mit ϕ(~
x ) = A~
x für alle ~
x ∈ R3 :
x1
x1
¡
¢
ϕ3 x2 = 1 1 1 · x2 = x1 + x2 + x3
x3
x3
⇒ nach Satz 7.4 ist ϕ3 linear
4
