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25.11.2013
Oberstufe: Ergebnisse und ausführliche Lösungen
zu Arbeit, Leistung und dem Wirkungsgrad IV
Ergebnisse
E1 Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit v0 muss ein Ball senkrecht nach oben
geworfen werden, damit er eine Höhe von 12 m erreicht?
In welcher Höhe beträgt seine Geschwindigkeit nur noch die Hälfte?
Ergebnis
Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt etwa 15,344 m/s.
In 9 m Höhe beträgt seine Geschwindigkeit nur noch die Hälfte.
E2 Für den Fall eines Versagen der Bremsen gibt es an Gefällestrecken häufig
Bremsstrecken, die von der Fahrbahn abweichen und steil ansteigen, so dass
ein Lastwagen mit defekten Bremsen dort ausrollen kann.
Wie weit fährt ein LKW die Bremsstrecke, die unter einem Winkel von 120 gegen
die Waagerechte ansteigt, hinauf, wenn er mit 108 km/h auf sie abbiegt?
Von der anfänglichen Bewegungsenergie werden 26% durch Reibung und
Luftwiderstand umgesetzt.
Ergebnis
Der LKW fährt die Bremsstrecke etwa 163,266 m hinauf.
E3 Welche Höhe müsste ein Wanderer ( m = 75 kg ) überwinden,
um den „Brennwert“.
a) einer Fruchtschnitte von 715 kJ (40 g).
b) einer mittelgroßen Banane 478 kJ (120 g) in Höhenenergie umzusetzen?
Ergebnis
a) Der Wanderer müsste eine Höhe von 911,06 m überwinden.
b) Der Wanderer müsste eine Höhe von 609,072 m überwinden.
E4 Ein Trampolinspringer m = 60 kg springt aus einer Höhe von h = 3 m auf das
Sprungtuch. Er hält in jeder Hand eine Hantel, die er in dem Augenblick, in dem
er den tiefsten Punkt erreicht hat, zur Seite schleudert.
Welche Masse müssen die Hanteln besitzen, damit der Springer ohne weiteres
dazutun eine Höhe von 3,6 m erreicht?
Reibung und Luftwiderstand sind zu vernachlässigen.
Ergebnis
Die Masse jeder Hantel muss 6 kg betragen, also insgesamt 12 kg
Zusatzmasse.
E5 Wird ein LKW abgebremst, so verwandelt sich die Bewegungsenergie an den
Bremsscheiben in Wärme. Ein LKW der Masse m = 20 t wird von 90 km/h bis
zum Stillstand abgebremst. Welche Erwärmung erfahren die Bremsscheiben?
Für die Erwärmung der Bremsen gilt die Formel:
kJ
Q = c ⋅ m ⋅ ΔT mit c = 0, 47
und m = 40 kg mit Q als Bremsenergie in kJ
kg ⋅ K
Ergebnis
Die Bremsen erwärmen sich um etwa 332,447 Grad.
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E6 Ein Schwerlastaufzug ( m = 6000 kg ) wird gleichmäßig nach oben beschleunigt
und erreicht nach 20 s v = 10 m/s.
Welche Arbeit ist dazu nötig? Welche Leistung muss der Antriebsmotor
vollbringen?
Ergebnis
Beschleunigungsarbeit: W = 6 186 kJ. Antriebsleistung P = 309,3 kW.
E7 Zu Beginn einer 200 m langen Strecke mit 5% Gefälle hört ein Radfahrer, der mit
18 km/h fährt auf zu treten. Welche Geschwindigkeit hat er am Ende dieser
Strecke, wenn ca. 30% der gesamten Bewegungsenergie durch Reibung und
Luftwiderstand als mechanische Energie verloren gehen?
Ergebnis
Am Ende der Strecke beträgt die Geschwindigkeit
etwa 12,437 m/s oder 44,772km/h.
E8 Auf einen Lastwagen der Ladehöhe h = 1,20 m sollen Fässer der Masse
m = 40 kg verladen werden. Man kann die Fässer lotrecht anheben oder über
eine 3 m lange Laderampe hinaufrollen.
Berechnen Sie für beide Fälle die Arbeit und vergleichen Sie.
Reibungsverluste sind zu vernachlässigen.
Ergebnis
Die zu verrichtende Arbeit beträgt 470,88 Nm. Sie ist in beiden Fällen gleich.
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Ausführliche Lösung
A1 Aufgabe
Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit v0 muss ein Ball senkrecht nach oben
geworfen werden, damit er eine Höhe von 12 m erreicht?
In welcher Höhe beträgt seine Geschwindigkeit nur noch die Hälfte?
A1
Ausführliche Lösung
Vorüberlegung: Die Anfangsgeschwindigkeit des Balles muss so groß sein,
damit er gerade 12 m Höhe erreicht. Beim Abwurf hat der Ball nur
Bewegungsenergie, die sich mit zunehmender Höhe in Höhenenergie
umwandelt. Am höchsten Punkt hat der Ball nur noch Höhenenergie.
m
gegeben : h = 12m
g = 9,81 2
gesucht : v 0
s
m ⋅ v 02
Energie des Balls beim Abwurf:
W0 =
2
Energie des Balls am höchsten Punkt: W h = m ⋅ g ⋅ h
m ⋅ v 02
= m ⋅ g ⋅ h |: m
2
v 02
⇔
= g ⋅ h | ⋅2 ⇔ v 02 = 2 ⋅ g ⋅ h |
2
m
⇔ v 0 = 2 ⋅ g ⋅ h = 2 ⋅ 9,81 2 ⋅ 12m
s
Es gilt: W 0 = W h ⇔
= 235, 44
m2
m
≈ 15,344
2
s
s
Energiebilanz für die Höhe h x bei der Geschwindigkeit
v0
2
2
1
⎛v ⎞
m ⋅ g ⋅ h x = ⋅ m ⋅ ⎜ 0 ⎟ = m ⋅ g ⋅ h |: m
2
⎝ 2 ⎠
2
1 ⎛v ⎞
⇔ g ⋅ h x = ⋅ ⎜ 0 ⎟ = g ⋅ h | ⋅2
2 ⎝ 2 ⎠
2
⎛v ⎞
⎛v ⎞
⇔ 2⋅ g⋅hx = ⎜ 0 ⎟ = 2⋅g⋅h | −⎜ 0 ⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
2
v 02
|: 2 ⋅ g
4
1 v 02
1
3
3
⇔ hx = h−
= h − h = h ⇔ h x = ⋅ 12m = 9 m
4N
2⋅g
4
4
4
⇔ 2⋅ g⋅h x = 2⋅ g⋅h −
h
Die Anfangsgeschwindigkeit des Balls beträgt etwa 15,344 m/s.
In 9 m Höhe beträgt seine Geschwindigkeit nur noch die Hälfte.
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A2
Aufgabe
Für den Fall eines Versagen der Bremsen gibt es an Gefällestrecken häufig
Bremsstrecken, die von der Fahrbahn abweichen und steil ansteigen, so dass
ein Lastwagen mit defekten Bremsen dort ausrollen kann.
Wie weit fährt ein LKW die Bremsstrecke, die unter einem Winkel von 120
gegen die Waagerechte ansteigt, hinauf, wenn er mit 108 km/h auf sie abbiegt?
Von der anfänglichen Bewegungsenergie werden 26% durch Reibung und
Luftwiderstand umgesetzt.
A2
Ausführliche Lösung
s
h
sin (α ) =
α
km
m
= 30
α = 12 0
h
s
km
⎛ m
Re ibungsverlust : 26%
⎜ 1 s = 3,6 h
⎝
gesucht: Auslaufstrecke s
h
h
⇔s=
s
sin (α )
gegeben: v = 108
g = 9,81
m⎞
⎟
s2 ⎠
m ⋅ v2
Bewegungsenergie: E kin =
2
Energie beim Stillstand: E pot = m ⋅ g ⋅ h
Es gilt: 0,74 ⋅ E kin = E pot ⇔ 0,74 ⋅
⇔ h = 0,74 ⋅
mit s =
m ⋅ v2
= m⋅g⋅h
2
m ⋅ v2
v2
= 0,37 ⋅
2⋅m⋅ g
g
h
gilt:
sin ( α )
m2
0,37 ⋅ 900 2
v2
s
s = 0,37 ⋅
=
m
g ⋅ sin ( α ) 9,81 ⋅ sin 12 0
s2
m2
2
2
0,37 ⋅ 900
s2 = 0,37 ⋅ 900 ⋅ m ⋅ s = 0,37 ⋅ 900 m ≈ 163,226 m
=
⋅
2
9,81⋅ sin 12 0 m
9,81⋅ sin 12 0 s ⋅ m 9,81⋅ sin 12 0
s2
Der LKW fährt die Bremsstrecke etwa 163,266 m hinauf.
(
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(
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(
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A3
Aufgabe
Welche Höhe müsste ein Wanderer ( m = 80 kg ) überwinden, um den
„Brennwert“.
a) einer Fruchtschnitte von 715 kJ (40 g).
b) einer mittelgroßen Banane 478 kJ (120 g) in Höhenenergie umzusetzen?
A3
Ausführliche Lösung
a) Umrechnungen und Konstante:
g = 9,81
m
s2
1
kg ⋅ m
kg ⋅ m2
=
1N
1
= 1 Nm = 1Ws = 1J
s2
s2
gegeben: Masse m = 80 kg
Brennwert einer Fruchtschnitte: E = 715 kJ = 715 000 Ws = 715 000
W = m⋅g⋅h ⇔ h =
kg ⋅ m2
s2
W
E
=
m⋅g m⋅g
kg ⋅ m2
kg ⋅ m2
715 000
s2 = 715 000 ⋅ s2 ≈ 911,06 m
=
m
80 ⋅ 9,81 kg ⋅ m
80 kg ⋅ 9,81 2
s
s2
Der Wanderer müsste eine Höhe von etwa 911,06 m überwinden um den
Brennwert einer Fruchtschnitte umzusetzen.
b) Die Rechnung erfolgt wie bei a), nur mit anderen Werten.
Brennwert einer mittelgroßen Banane:
kg ⋅ m2
s2
kg ⋅ m2
kg ⋅ m2
478 000
E
s2 = 478 000 ⋅ s2 ≈ 609,072m
=
h=
m
m⋅g
80 ⋅ 9,81 kg ⋅ m
80 kg ⋅ 9,81 2
s
s2
Der Wanderer müsste eine Höhe von etwa 609,072 m überwinden um den
Brennwert einer mittelgroßen Banane umzusetzen.
Bemerkung: Die berechneten Werte sind eher theoretischer Natur, denn sie
beinhalten nur die Energie um den Höhenunterschied zu überwinden.
Energieverlust des menschlichen Körpers wurde nicht berücksichtigt.
E = 478 kJ = 478 000 Ws = 478 000
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A4
Aufgabe
Ein Trampolinspringer m = 60 kg springt aus einer Höhe von h = 3 m auf das
Sprungtuch. Er hält in jeder Hand eine Hantel, die er in dem Augenblick, in dem
er den tiefsten Punkt erreicht hat, zur Seite schleudert.
Welche Masse müssen die Hanteln besitzen, damit der Springer ohne weiteres
dazutun eine Höhe von 3,6 m erreicht?
Reibung und Luftwiderstand sind zu vernachlässigen.
A4
Ausführliche Lösung
gegeben : m = 60 kg
h1 = 3 m
(m + m ) ⋅ g ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h
⇔ ( m + m ) ⋅ h = m ⋅ h |: h
x
x
1
1
2
⇔ m +mx = m⋅
h2
| −m
h1
2
h2 = 3,6 m
gesucht : m x
|: g
1
⎛h
⎞
h2
− m = m ⎜ 2 − 1⎟
h1
⎝ h1
⎠
⎛ 3,6 m ⎞
⇔ m x = 60 kg ⋅ ⎜
− 1⎟ = 60 kg ⋅ (1,2 − 1) = 60 kg ⋅ 0,2 = 12kg
⎝ 3m
⎠
Die Masse jeder Hantel muss 6 kg betragen, also insgesamt 12 kg
Zusatzmasse.
⇔ mx = m⋅
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A5
Aufgabe
Wird ein LKW abgebremst, so verwandelt sich die Bewegungsenergie an den
Bremsscheiben in Wärme. Ein LKW der Masse m = 20 t wird von 90 km/h bis
zum Stillstand abgebremst. Welche Erwärmung erfahren die Bremsscheiben?
Für die Erwärmung der Bremsen gilt die Formel:
kJ
Q = c ⋅ m ⋅ ΔT mit c = 0, 47
und m = 40 kg mit Q als Bremsenergie in kJ
kg ⋅ K
A5
Ausführliche Lösung
gegeben : m LKW = 20 t = 20000 kg
Q = c ⋅ m ⋅ ΔT
c Stahl
m Bremsen = 40 kg
kJ
J
= 0, 47
= 470
kg ⋅ K
kg ⋅ K
v = 90
km
m
= 25
h
s
kg ⋅ m2
= 1J
1
s2
gesucht : ΔT
Es gilt: Ekin = Q ⇔
m LKW
2
⋅ v 2 = c ⋅ m ⋅ ΔT
m2
kg ⋅ m2
m LKW
s2 = 20000 ⋅ 625 s2
⇔ ΔT =
⋅ v2 =
J
J
2 ⋅ c ⋅ m Bremsen
2 ⋅ 470 ⋅ 40
⋅ 40 kg
2 ⋅ 470
kg ⋅ K
K
J
≈ 332, 447 = 332, 447K
J
K
Die Bremsen erwärmen sich um etwa 332,447 Grad.
20000 kg ⋅ 625
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A6
Aufgabe
Ein Schwerlastaufzug ( m = 6000 kg ) wird gleichmäßig nach oben beschleunigt
und erreicht nach 20 s v = 10 m/s.
Welche Arbeit ist dazu nötig? Welche Leistung muss der Antriebsmotor
vollbringen?
A6
Ausführliche Lösung
Bei der Berechnung ist zu berücksichtigen, dass ein Teil der Energie als
Bewegungsenergie, der andere Teil als Höhenenergie auftritt.
gegeben : m = 6000 kg
t = 20 s
v = 10
m
s
⎛ kg ⋅ m2
= 1J
⎜1
s2
⎝
g = 9,81
m⎞
⎟
s2 ⎠
gesucht : W B und P
m
10
v
s = 0,5 m
Beschleunigung : v = a ⋅ t ⇔ a = =
t 20 s
s2
a
m
Hubhöhe : h = ⋅ t 2 = 0,25 2 ⋅ 400 s2 = 100 m
2
s
m
Beschleunigungsarbeit : W B = ⋅ v 2 + m ⋅ g ⋅ h
2
2
m
m
W B = 3000 kg ⋅ 100 2 + 6000 kg ⋅ 9,81 2 ⋅ 100 m
s
s
= 300 000 J + 5 886 000 J = 6186 000 J = 6186 kJ
WB
6186 000 Ws
= 309 300 W = 309,3 kW
t
20 s
Die Beschleunigungsarbeit beträgt 6 186 kJ.
Die erforderliche Antriebsleistung beträgt 309,3 kW.
Bemerkung:
Der größte Teil der Energie (5 886 kJ) wird zur Überwindung des
Höhenunterschieds benötigt. Für die Geschwindigkeitszunahme allein braucht
man nur 300 kJ
Antriebsleistung : P =
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=
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A7
Aufgabe
Zu Beginn einer 200 m langen Strecke mit 5% Gefälle hört ein Radfahrer, der
mit 18 km/h fährt auf zu treten. Welche Geschwindigkeit hat er am Ende dieser
Strecke, wenn ca. 30% der gesamten Bewegungsenergie durch Reibung und
Luftwiderstand als mechanische Energie verloren gehen?
A7
Ausführliche Lösung
km
m
m
=5
gegeben : v1 = 18
s = 200 m
g = 9,81 2
h
s
s
5% Gefälle
30% der Gesamtenergie als Verlust
gesucht: v 2
5% Gefälle bedeutert: tan ( α ) = 0,05 ⇔ α = arctan ( 0,05 ) ≈ 2,862 0
h
⇔ h = s ⋅ sin ( α )
s
2
⎛m
⎞ m
0,7 ⎜ ⋅ v12 + m ⋅ g ⋅ h ⎟ = ⋅ v 22 | ⋅
m
⎝2
⎠ 2
sin ( α ) =
(
)
⇔ 0,7 v12 + 2 ⋅ g ⋅ h = v 22 |
(
)
(
⇔ v 2 = 0,7 v12 + 2 ⋅ g ⋅ h = 0,7 v12 + 2 ⋅ g ⋅ s ⋅ sin ( α )
)
⎛ m2
⎞
m
m2
m
= 0,7 ⎜ 25 2 + 2 ⋅ 9,81 2 ⋅ 200 m ⋅ sin ( α ) ⎟ ≈ 154,669 2 ≈ 12, 437
s
s
s
s
⎝
⎠
Am Ende der Strecke beträgt die Geschwindigkeit
etwa 12,437 m/s oder 44,772km/h.
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A8
Aufgabe
Auf einen Lastwagen der Ladehöhe h = 1,20 m sollen Fässer der Masse
m = 40 kg verladen werden. Man kann die Fässer lotrecht anheben oder über
eine 3 m lange Laderampe hinaufrollen.
Berechnen Sie für beide Fälle die Arbeit und vergleichen Sie.
Reibungsverluste sind zu vernachlässigen.
A8
Ausführliche Lösung
Verhältnisse an der schiefen Ebene:
FH
α
FH = G ⋅ sin α
s
m
FN = G ⋅ cos (α )
h
G = m⋅g
α
sin (α ) =
FN
h
s
G
gegeben : s = 3 m
h = 1,2m
m = 40 kg
g = 9,81
m
s2
⎛ kg ⋅ m2
⎞
= 1Nm ⎟
⎜ 1
2
s
⎝
⎠
Fässer werden angehoben:
gesucht : W
W = m ⋅ g ⋅ h = 40 kg ⋅ 9,81
m
kg ⋅ m2
⋅
=
⋅
⋅
= 470,88Nm
1,2m
40
9,81
1
,2
s2
s2
Schiefe Ebene:
FH = G ⋅ sin ( α ) = m ⋅ g ⋅ sin ( α ) mit sin ( α ) =
h
wird
s
h
h
⇒ W = FH ⋅ s = m ⋅ g ⋅ ⋅ s = m ⋅ g ⋅ h = 470,88Nm
s
s
Die zu verrichtende Arbeit beträgt 470,88 Nm. Sie ist in beiden Fällen gleich.
FH = m ⋅ g ⋅
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