Series 11 - Mathematisches Institut

Reelle Analysis
Mathematik - Bachelor, HS 2016
Dr. C. Nobili; MSc S. Ligabue; Dr. R. Lucá; MSc C. Schulze;
Universität Basel
Series 11
(Deadline: 5.12.2016)
Exercise 11.1
Berechnen Sie die folgenden Integralen:
• f : R2 → R, f (x, y) = x2 − y 2 auf D = {(x, y) ∈ R2 :
3
2
3
x2
a2
2
+
y2
b2
2
≤ 1,
a, b > 0} ,
2
• f : R → R, f (x, y, z) = z auf D = {(x, y, z) ∈ R : x + y + z ≤ R} ,
• f : R2 → R, f (x, y) =
arctan y
x2 +y 4 +2
auf D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1} ,
Exercise 11.2
Berechnen Sie das Integral
y−x
f : R2 → R, f (x, y) = e x+y auf
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 − x} .
Hinweis: Setzen Sie s = y − x, t = x + y.
Exercise 11.3
Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten in `p der Folge
(
√1
falls n ≤ k ≤ 2n ,
(n)
k
xk =
0
sonst .
Exercise 11.4
Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten in `p der Folge
1
(n)
xk = sin √
.
3
n + k2
1
Exercise 11.5
Sei H die obere Halbebene in C. Eine Teilmenge A ⊂ H heißt hyperbolish messbar,
wenn das Lebesgue Integral
Z
1
dxdy ,
|A|h :=
2
A y
existiert. Sein Wert |A|h heißt dann der hyperbolische Flächeninhalt von A. Zeigen
Sie, dass der hyperbolische Flächeinhalt gegenüber den hyperbolischen Bewegungen
T : H → H,
az + b
,
a, b, c, d ∈ R,
ad − bc = 1
Tz =
cz + d
invariant ist. Für z1 , z2 ∈ H ist die hyperbolische Gerade durch z1 und z2 definiert als
die euklidische Halbgerade bzw. der euklidische Halbkreis in H durch z1 , z2 , welche
bzw. welcher senkrecht auf die reelle Achse trifft. Zeigen Sie weiter, dass ein hyperbolisches Dreieck mit Innenwinkeln α, β, γ hyperbolisch messbar ist und hat den
Flächeninhalt
|A|h = π − α − β − γ
hat.
Hinweis: Reduzieren Sie das Problem auf den Fall eines entarteten hyperbolishen
Dreiecks mit einer Ecke in ∞.
Allgemeine Informationen zur Vorlesung und Übungsblätter befinden sich auf der Webseite
https://math.unibas.ch/en/institut/personen/profil/profil/person/nobili/
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