Ergänzungen zur Physik 1 für JEDERMANN, Teil 1
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Ressourcen Vorlesung von Ernst Meyer und Peter Oelhafen: http://monet.physik.unibas.ch/intro-physik einige „Folien“ von Christian Schönenberger http://monet.physik.unibas.ch/schonenb/teaching Physik 1 5. Januar 1980 1 Kinematik Bahnkurve: Bahnkurve zeitliche Ablauf der Bewegung eines Massenpunktes im Raum & t → x (t ) jeder Zeit t ist ein Ortsvektor im Raum zugeordnet Bahnkurve wird in einem Koordinatensystem gemessen z m & x (t ) Position der Masse m zur Zeit t z.B. kartesisches Koordinatensystem & & x = ( x, y, z ) oder x = ( x1 , x2 , x3 ) y x Geschwindigkeit ist der „zurückgelegte Weg pro Zeiteinheit“, resp. die Änderung & des Ortsvektors pro Zeiteinheit: & dx & v= dt = x(t) Beschleunigung ist der Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit: & & dv & & = v(t) = x(t) a= dt Repetion 1 6KRNGT-CRKVGN 2 Koordinatensysteme Kartesisches (rechtwinkliges) System, Vektor ist durch seine Komponenten gegeben & & x = ( x, y, z ) oder x = ( x1 , x2 , x3 ) Kugelkoordinaten Kugel Zylinderkoordinaten Zylinder & r= x & x z ϕ r Angabe: ϕ,r,z & x = (r cos(ϕ ), r sin(ϕ ), z ) &2 x = r2 + z2 Physik 1 6KRNGT-CRKVGN & x ϑ ϕ Angabe: ϕ,θ,r & x = r (sin(ϑ ) cos(ϕ ), sin(ϑ ) sin(ϕ ), cos(ϑ ) & x =r 5. Januar 1980 3 Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit & v(t + ∆t ) ϕ (t) = ωt & v = v = ωR & v(t ) & x (t + ∆ t ) ∆ϕ & x (t ) ϕ (t ) R & - v(t ) & v(t + ∆t ) & & v(t + ∆t ) − v(t ) & & & a ≈ ( v(t + ∆t ) − v(t )) / ∆t a ist die Zentripetalbeschleunigung (zum Zentrum hin) & & ∆v ≅ (∆ϕ ) v = (ω∆t )ωR Physik 1 6KRNGT-CRKVGN & a = a = ω 2 R = v2 / R 5. Januar 1980 4 Kinematik Zusammenfassung Geschwindigkeitsvektor liegt tangential zur Bahnkurve gleichförmige lineare Bewegung: x(t) = v·t + x0 gleichförmig beschleunigte Bewegung (konst. Beschleunigung): v(t) = a·t + v0 ; x(t) = a·t2/2 + v0·t + x0 gleichförmige Kreisbewegung mit Winkelgeschwindigkeit ω: v = ωR (tangential), a = ω2R (in Richtung des Kreiszentrums) Umlaufzeit (Periodendauer) T = 2π/ω Projektion auf eine Achse = Harmonische Schwingung: z.B. y(x) = Amplitude · sin(ωt) Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 5 Kraft / Newton ein physikalischer Begriff Ursache einer „Bewegungsänderung“ Folge der Wechselwirkung zwischen den Körpern Wechselwirkung ist gerichtet und wirkt „wechselseitig“, Vektor! Ursache der Wechselwirkung sind „Qualitäten“ wie z.B. die Masse, die elektrische Ladung etc. Bewegungsgrösse = Impuls: Impuls & & dp =F dt & & p = mv das Bewegungs-Gesetz von Newton Trägheitsprinzip: Trägheitsprinzip falls die Gesamtkraft null ist, ist die Bewegungsgrösse, also der Impuls konstant (Folge der Bewegungsgleichung) Aktio=Reaktio (Kraft durch Wechselwirkung) Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 6 Inertialsystem... Die Physik postuliert die Existenz von sog. Inertialsystemen In einem Inertialsystem nehmen die physikalischen Gleichungen ihre „einfachste“ Form an. Beispiel: Das Newton‘sche Gesetz in der Form: dp/dt = Kraft Alternativ: In einem Inertialsystem bewegt sich ein Massenpunkt gleichförmig mit konstanter Geschwindigkeit, Geschwindigkeit wenn kein Kraft an ihn angreift. Die Kraft ist eine vektorielle Grösse. Wirken mehrere Kräfte gleichzeitig, dann müssen diese vektoriell addiert werden. Ein Massenpunkt ruht (und bleibt in Ruhe) dann und nur dann, falls & ∑F = 0 Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 7 Problem: Zerlegung der Kräfte & g & - FN & FG & FN & ∑ F parallel zur schiefen Ebene Physik 1 6KRNGT-CRKVGN & FA & ∑ F parallel zurUnterlage 5. Januar 1980 8 Bewegungsgleichung = Differentialgleichung Algebraische Gleichung, Gleichung z.B. (x-2)2=4. Gesucht sind Zahlen, Zahlen die die Gleichung lösen (hier: x=0 und x=4). Differentialgleichung, Funktionen die der Gleichung Differentialgleichung z.B. dx/dt = v0. Gesucht sind Funktionen, genügen (hier: x(t) = v0·t + x0, wobei x0 eine Integrationskonstante ist). 1. Konstante Kraft F (in einer Dimension) mx = F = const F 2 ⇒ x(t ) = t + v0t + x0 2m Integrationskonst. v0 und x0 2. Viskose Reibung mx = −kx ⇒ v(t ) = v0 e − t / τ Physik 1 k ist eine Konstante, die die Stärke der „viskosen“ Reibung beschreibt mv + kv = 0 Die Geschwindigkeit nimmt exponentiell ab. τ=m/k, v0 ist die Integrationskonstante (Anfangsgeschwindigkeit) 5. Januar 1980 9 Differentialgleichung... 3. Viskose Reibung und konstante antreibende Kraft F=mg v + v / τ = g mx = mg − kx k ist eine Konstante, die die Stärke der „viskosen“ Reibung beschreibt ⇒ v(t ) = Ce − t / τ + gτ C ist eine Integrationskonstante, die ducrh die Anfangsbed. festgelegt werden kann. Beispiel: Sei v(0)=0 Æ C=-gτ ⇒ v(t ) = gτ (1 − e −t / τ ) 4. Harmonische Schwingung (z.B. Federpendel) mx = −kx x + ω 2 x = 0 ⇒ x(t ) = A sin(ωt + α ) Physik 1 k ist eine Konstante, die Federkonstante A und α sind Integrationskonstanten, die Amplitude und Phase 5. Januar 1980 10 Arbeit (W) W ist die Arbeit, die an einem Körper verrichtet werden muss, um ihn z.B. über eine Wegstrecke s vom Anfangspunkt A zum Endpunkt B zu bringen: W=FE·s ...gilt bei konstanter Kraft FE, wobei FE die extern auf den Massenpunkt angreifende Kraft ist. Arbeit ist erforderlich, um die Geschwindigkeit zu ändern (BeschleunigungsArbeit) oder um den Massenpunkt entgegen eines wirkenden Kraftfeldes (z.B. der Gravitation) zu verschieben. B Falls die Kraft entlang des Weges ändert: WA →B = ∫ FE ds A 1. Hubarbeit Heben der Masse m von Höhe a auf Höhe b>a. Extern muss dazu die Masse nach oben „gedrückt“ werden: FE = mg (nach oben). WA →B = mg(b - a) = mgh Physik 1 6KRNGT-CRKVGN h=(b-a) = „Höhe“ 5. Januar 1980 11 Arbeit... 2. Spannarbeit mit Daumen „langsam“ Feder eindrücken Kraft, die am System (Feder) Arbeit leistet: FE x x 1 W0→ x = ∫ FE ( y )dy = ∫ kydy = kx 2 2 0 0 3. Beschleunigungsarbeit m (v=0) m v Beschleunigungsphase (FE) A (Anfang) B (Ende) B B A A WA →B = ∫ FE dx = ∫ mv (vdt) = Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 m 2 v 2 12 Energie (Einführung) Die z.B. beim Heben einer Masse aufgewendete Arbeit ist nicht „verloren“. Man kriegt sie zurück beim Fallenlassen, resp. beim Senken der Masse zurück zur Ausgangsposition. B WA →B = mgh A h WB→A = −mgh m für diesen Fall WA →B→A = WA →A = 0 Falls die letzte Relation gilt, dann spricht man von einer konservativen Kraft, Kraft resp. einem konservativem Kraftfeld. Kraftfeld Für konservative Kräfte wird die Arbeit als Energie E definiert: E(auf der Höhe B) = E(auf der Höhe A) + mgh Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 13 Kraftfeld B FE F γ A F = Kraftfeld, Kraftfeld z.B. das Gravitationsfeld & x(t) z x FE = - F ist die externe Kraft, die erforderlich ist, um den Massenpunkt „quasi-statisch“ von A nach B zu führen & x(t + ∆t) & & & & ∆ s = x(t + ∆t) - x(t) ≅ v(t)∆t y WA →B & & & & = ∫ FE ⋅d s = − ∫ F ⋅ d s γ γ Das Kraftfeld ist konservativ, konservativ falls das „Wegintegral“ der Kraft nicht vom Weg, Weg sondern nur von den Endpunkten abhängig ist. Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 14 Energie Für ein konservatives Kraftfeld kann eine „Energie“ (potentielle Energie) definiert werden: & & E(B) = E(A) - ∫ F ⋅ d s B E(A)-E(B) = Arbeit W(AÆB) A Ehub = mgh + Konstante EFeder = (1/2)kx2 + Konstante Ekinetisch = (1/2)mv2 + Konstante Energiesatz für ein konservatives System: Die Änderung der totale Energie (Summe aus kinetischer und potentieller Energie) entspricht der am System verrichteten Arbeit ∆W: ∆E total = ∆(E kin + E pot ) = ∆W Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 15 Energiesatz noch allgemeiner Es gibt weitere Energieformen: Wärme (auch mechanische Energie, aber vieler Freiheitsgrade) elektrische Feldenergie magnetische Feldenergie „chemische“ Energie System Das System heisst abgeschlossen, abgeschlossen falls nichts mit der Aussenwelt ausgetauscht wird. ≡0 Die Änderung der Gesamtenergie ist gleich der am System verrichteten Arbeit ∆W. Für ein abgeschlossenes System ist die Energie erhalten. Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 16 Kraft aus „Potential“ Sei E(x) die potentielle Energie (Epot) eines konservativen Systems. x Aus: E(x) = E(x 0 ) − ∫ F(y)dy folgt: x0 F(x) = - dE(x) dx Der Massenpunkt ist entweder im Intervall x1...x2 oder x3...x4 Ekin Epot Z.B. falls x4 > x > B, wirkt die Kraft nach links. Falls zusätzlich v > 0, dann wird die Bewegung abgebremst. Die kinetische Energie nimmt ab und die potentielle entsprechend zu; etc. A,B und C sind Gleichgewichtspositionen (F=0), wobei A und B „stabil“ sind, C jedoch „instabil“ ist. Physik 1 5. Januar 1980 17 Drehmoment, Drehimpuls & M & F & r 0 Drehmoment M der Kraft F bezüglich 0: Analog wird der Drehimpuls definiert: Drehimpuls, resp. Drallsatz: & dL & =M dt Physik 1 6KRNGT-CRKVGN & & & M = r ×F m Drehimpuls L des MP‘s mit Impuls p bezüglich 0: & & & L = r ×p Achtung: Drehimpuls und Drehmoment müssen bezüglich des selben Ursprungs gemessen werden! 5. Januar 1980 18 Schwerpunkt S 1≤ i ≤ N Massen mi an den Stellen ri (ri = Vektor) N Gesamtmasse: M = ∑ m i i =1 N & & r mi ∑ i =1 i Schwerpunkt: R S = M Sei g ein konstantes Kraftfeld, d.h. Fi=mig (fett = Vektor), dann ist das totale Drehmoment gleich null bezüglich des Schwerpunktes, Schwerpunktes d.h. N & & & ( r R ) m g − × ∑ i S i =0 i =1 z y ri Physik 1 6KRNGT-CRKVGN dmi dm = ρdV & 1 & & R S = ∫ r ρ ( r )dV M K dV = „Volumen“ ρ = Massendichte K K x M = ∫ dm = ∫ ρdV 5. Januar 1980 K 19 Schwerpunktssatz Newton‘sches Gestz für ein System von Massenpunkten Gesamtimpuls & N & & P = ∑ m i v i = M ⋅ vS i =1 & Ortsvektor zum Schwerpunkt: R S Geschwindigkeit des Schwerpunkts „Newton“: & & dR S & vS = = RS dt & & & dP = MvS = Fa, total dt Der Schwerpunkt eines ausgedehnten Körpers bewegt sich wie ein Massenpunkt der Masse M (Gesamtmasse) unter der Wirkung der totalen äusseren Kraft (Summe aller äusseren Kräfte). Die inneren Kräfte haben keinen Einfluss auf die Bewegung des Schwerpunktes. Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 20 Stossprozesse & v1 m1 System sei frei, frei d.h. alle äusseren Kräfte sind null. & v2 System m2 System Æ Gesamtimpuls = 0 Impuls(vor Stoss) = Impuls(nach Stoss) Def.: Elastischer Stoss: Ekin(vor) = Ekin(nach) Def.: Inelastischer Stoss: Ekin(vor) > Ekin(nach) Der Stoss ist maximal inelastisch (vollständig inelastisch), falls sich die beiden Massen nach dem Stoss mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit zusammen bewegen. Im Schwerpunktskoordinatensystem ruhen die beiden Massen nach dem Stoss. Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 21 Elastischer zentraler Stoss m v m vor dem Stoss einfaches Beispiel: m m v nach dem Stoss Allgemein: Seien v1, v2 die Geschwindigkeiten vor und w1, w2 die nach dem Stoss. Man kann w1 und w2 aus der Kenntniss von v1 und v2 berechnen unter Anwendung des Impulssatzes und Energiesatzes: Energiesatzes m1v1 + m 2 v 2 = m1w 1 + m 2 w 2 1 1 1 1 m1v12 + m 2 v 22 = m1w 12 + m 2 w 22 2 2 2 2 Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 22 Inelastischer Stoss Es gilt nach wie vor der Impulssatz! Die kinetische Energie ist aber nicht erhalten Beim vollständig inelastischen Stoss wird ein Teil (Q) der Bewegungsenergie in Wärme, Deformation... umgewandelt: Q= Physik 1 6KRNGT-CRKVGN m1 ⋅ m 2 (v1 − v 2 )2 2(m1 + m 2 ) 5. Januar 1980 23 Beispiel inelastischer Stoss Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 24 Raketengleichung Anwendung des Impulssatzes: Antrieb erfolgt durch Ausstoss von Masse (Impuls). Die Beschleunigung ist proportional zur Rate, mit der Masse aus der Rakete gestossen wird und der relativen Ausstossgeschwindigkeit. Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 25 Starrer Körper der starre Körper ist „starr“, d.h. er ändert seine Form nicht! Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 26 Translation und Rotation Die Bewegung eines starren Körpers kann zerlegt werden in: Bewegung des Schwerpunktes Rotation um den Schwerpunkt Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 27 Drehimpuls & Massenträgheitsmoment Der Drehimpuls eines starren Körpers, der um eine feste Achse A rotiert, ist proportional zur Winkelgeschwindigkeit. Der Poportionalitätsfaktor ist das sog. Massenträgheitsmoment bezüglich der Achse A: I A = ∫ r⊥2 dm L A = I Aω dL A = M (total,A) dt Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 28 Anwendung des Drehimpulssatzes Das Jo-Jo Die Beschleunigung ist kleiner als g, da die potentielle Energie nicht nur in kinetische Energie der Translation, sondern auch der Rotation übergeführt wird. Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 29 Analogie: Translation ÅÆ Rotation Ort Drehwinkel Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit Masse Massenträgheitsmoment Kraft Drehmoment Impuls p = mv Drehimpuls E kin = Iω 2 / 2 & & dW = M ⋅ dϕ & & dL/dt = M E kin = mv 2 / 2 & & dW = F ⋅ d r & & dp/dt = F Physik 1 L = Iω 5. Januar 1980 30 Kreisel ÆPräzession kräftefreier Kreisel: rotierender starrer Körper auf den kein mech. Moment wirkt. Also: Drehimpuls is raumfest! raumfest Präzession: Die Präzessionsbewegung ist die dynamische Ausweichreaktion eines schnellen Kreisels auf die durch ein mechanisches Moment erzwungene Kippbewegung. Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 31 Der schwere Kreisel L⊥= L sin(α) L⊥ dϕ t+dt t ω Abstand a L α Kraft mg Es wirkt ein Drehmoment: (i) M = mga·sin(α) Das Drehmoment versucht den Kreisel zu kippen. Der Kreisel weicht der Kippbewegung aus. (ii) dL= L⊥ dϕ = L sin(α) dϕ (iii) dL = Mdt (Drallsatz = Drehimpulssatz) Aus (i-iii) folgt: Ω=dϕ /dt = mag/L Ω ist die Präzessionsfrequenz Physik 1 6KRNGT-CRKVGN 5. Januar 1980 32
