Bekannte Errata Staatsexamen 3. Auflage

Staatsexamensaufgaben Theoretische Physik
Lösungsvorschläge
Bekannte Errata dritte Auage
Daniel Jaud
16. August 2016
ii
Inhaltsverzeichnis
1 Frühjahr 2009
1.1 Thermodynamik 1: Magnetisches Material . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2 Frühjahr 2011
2.1 Quantenmechanik 1: QM Messprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3 Herbst 2011
3.1 Thermodynamik 1: Osmotischer Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Thermodynamik 2: Entropie des idealen Gases - Maxwell Dämon . . .
5
5
5
4 Frühjahr 2012
4.1 Elektrodynamik 1: Magnetischer Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
5 Herbst 2012
5.1 Mechanik 2: Potentialstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
6 Frühjahr 2013
11
6.1 Mechanik 2: Reexion eines rauen Balles an einer rauen Wand . . . . 11
6.2 Thermodynamik 2: Luftfederung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7 Herbst 2013
13
7.1 Mechanik 1: Durchhängendes Seil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8 Frühjahr 2014
15
8.1 Mechanik 1: Ebenes Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9 Herbst 2014
17
9.1 Mechanik 1: Teilchen auf Spiralbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10 Frühjahr 2015
19
10.1 Mechanik 1: Rad mit Umwucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
iii
iv
Kapitel 1
Frühjahr 2009
1.1 Thermodynamik 1: Magnetisches Material
Teilaufgabe c): Zunächst gilt für CB :
CB =
δQ
dT
=T
B
∂S
∂T
.
B
Wir sind nun an der Änderung der Temperatur bei adiabatischer Änderung des Magnetfeldes interessiert, oder in Formeln:
∂T
∂B
.
S
Aus der Teilaufgabe b) wissen wir bereits, dass die Entropie eine Funktion der Temperatur und des Magnetfeldes ist S = S(T, B) (dies folgt dirket aus der MaxwellRelation), damit können wir das totale Dierential bilden zu:
dS =
∂S
∂T
dT +
B
∂S
∂B
dB.
T
Bei konstanter Entropie S = const. gilt demnach dS = 0 und wir können die letzte
Gleichung umschreiben zu:
∂T
∂B
=−
S
∂S
∂B T
.
∂S
∂T B
Mit der Maxwell-Relation aus Teilaufgabe b) sowie der Wärmekapazität CB gilt somit
letztlich:
∂T
∂B
=−
S
T
CB
1
∂M
∂T
.
B
2
Kapitel 2
Frühjahr 2011
2.1 Quantenmechanik 1: QM Messprozess
Teilaufgabe b): Zahlendreher
69
25
√
204
→ ∆B =
.
25
hB 2 i =
3
4
Kapitel 3
Herbst 2011
3.1 Thermodynamik 1: Osmotischer Druck
Teilaufgabe b): Temperatur T und chemisches Potential µ sind konstant.
Teilaufgabe c): Zeichenfehler:
dµ = −kB T (c2 − c1 ) − v(p2 − p1 ) = 0
→ ∆p = kB T
∆c
.
v
3.2 Thermodynamik 2: Entropie des idealen Gases Maxwell Dämon
Teilaufgabe b): Die Temperatur bleibt konstant, woraus für die Energie folgt:
∆E = 0.
Für die Entropieändrung gilt mit Vend = V0 /2:
∆S = N kB ln
V0
= −N kB ln 2.
2V0
Teilaufgabe c): Damit ∆Sges = ∆SSystem + ∆SDämon ≥ 0 erfüllt ist muss für das
System folglich gelten:
∆SSystem ≥ N kB ln 2.
5
6
Kapitel 4
Frühjahr 2012
4.1 Elektrodynamik 1: Magnetischer Spiegel
Teilaufgabe c): Plot des Vektorfeldes:
7
8
Kapitel 5
Herbst 2012
5.1 Mechanik 2: Potentialstufe
Teilaufgabe c): Für die Strecke d1 gilt:
d1 =
und somit für die Zeit t1 :
p
x2 + d2 ,
√
t1 =
x2 + d2
.
v1
Auf gleiche Weise erhält man die Strecke d2 zu:
d2 =
und damit die Zeit t2 :
p
p
t2 =
(c − x)2 + d2 ,
(c − x)2 + d2
.
v2
Minimiert man nun die Gesamtzeit T (x) = t1 + t2 so erhält man:
dT
=0
dx
↔
1
x
1
c−x
√
p
=
v1 x 2 + d 2
v2 (c − x)2 + d2
↔
sin α
sin β
=
.
v1
v2
9
10
Kapitel 6
Frühjahr 2013
6.1 Mechanik 2: Reexion eines rauen Balles an einer
rauen Wand
Teilaufgabe e): Zunächst gilt aufgrund des Einfallwinkels
vy = −vx = −vy0 .
Die Geschwindigkeit nach dem Stoÿ ist gerade gegeben durch:
vx0 = vx − vx
dabei ist
3
Θ
= vx ,
M R2 + Θ
5
Θ
M R2 + Θ
gerade der Bruchteil der Aufgrund des Stoÿes an Energie auf die Wand übertragen
wird. Für den Winkel erhalten wir somit:
tan θ =
vx0
3
=
0
vy
5
→ θ = 31◦
6.2 Thermodynamik 2: Luftfederung
Teilaufgabe c): Typo bei der Taylor Entwicklung der Druckdierenz
δp = −
γp0
δz.
z0
Typo bei der Bewegungsgleichung:
δz̈ +
γp0 F
δz = 0,
M z0
11
woraus wir die Frequenz ablesen können zu:
ω2 =
γp0 F
gammaRT0
.
=
M z0
M z02
12
Kapitel 7
Herbst 2013
7.1 Mechanik 1: Durchhängendes Seil
Teilaufgabe c): Für die Kraft längs des Seiles gilt:
F =
dV (L)
.
dL
Hier ist nun zu beachten, dass L = L(b) d.h. der Term f (b) := µg bl12 im Potential ist
implizit von L abhängig. Damit erhalten wir die Ableitung mittels der Kettenregel
zu:
3
∂f ∂b
dV
= µga +
= µga +
dL
∂b ∂L
∂f
∂b
∂L
∂b
.
Mit dem Ergebnis für die Länge L aus Teilaufgabe a) ergibt sich somit insgesamt:
F = µga +
13
µg
.
4b
14
Kapitel 8
Frühjahr 2014
8.1 Mechanik 1: Ebenes Fadenpendel
Teilaufgabe b): Bewegungsgleichung für die Länge des Pendels
mg
m¨l − mlφ̇2 − mg cos(φ) − k(l +
− lG ) = 0
k
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Kapitel 9
Herbst 2014
9.1 Mechanik 1: Teilchen auf Spiralbahn
Teilaufgabe c): Für die Beschleunigung gilt


Rφ̈ cos(φ) − 2Rφ̇2 sin(φ) − Rφφ̈ sin(φ) − Rφφ̇2 cos(φ)
~r¨(t) = Rφ̈ sin(φ) + 2Rφ̇2 cos(φ) + Rφφ̈ cos(φ) − Rφφ̇2 sin(φ)
Rφ̈
Damit ergibt sich die Kraft zu:
 
−1
R
F~ (t = 0) = m 2  2 
τ
−1
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Kapitel 10
Frühjahr 2015
10.1 Mechanik 1: Rad mit Umwucht
Teilaufgabe c): Für die Kraft auf das Rad gilt:
Fx = −mv̇x − M V̇x = −mR2 ω sin(φ)
Fz = −mv̇z − M V̇z − mg − M g = −mR2 ω cos(φ) − (m + M )g.
Für die Abhebebedingung muss Fz = 0 mit dem maximalen Wert φ = π . Die restliche
Rechnung ist korrekt.
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