Blatt 2 : Gedämpftes mathematisches Pendel 1. Eine Punktmasse m

Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie
Michael Rosenblum, Ralf Tönjes
Sommersemester 2012
Nichtlineare Dynamik, WS12/13
Blatt 2 : Gedämpftes mathematisches Pendel
1. Eine Punktmasse m sei an einem masselosen Pendel der Länge l befestigt. Senkrecht
unter der Aufhängung habe das Pendel den Auslenkungswinkel φ = 0 und die Position
x = (0, 0). Am Massepunkt greifen an, die Gewichtskraft Fg = mg, die Reibungskraft
Fγ = −γ ẋ, sowie ein konstantes Drehmoment µ = lFM , welches durch einen Motor in der
Aufhängung erzeugt wird. Desweiteren besteht die Möglichkeit, eine zeitlich veränderliche Kraft FΩ = F0 cos Ωt parallel zur Gewichtskraft wirken zu lassen, zum Beispiel
durch periodisches Schütteln der Apparatur oder mittels äußerer Felder.
(a) Skizzieren Sie das System inklusive aller relavanten Kräfte und Kraftanteile, und
finden Sie die Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche die Dynamik des Auslenkungswinkels φ beschreibt.
(b) Machen Sie die Gleichung dimmensionslos, indem Sie eine dimensionslose Zeit
τ = t/T , mit zunächst unbestimmter Zeitskala T einführen, und die Gleichung
so dividieren, dass der Koeffizient vor dem Gewichtskraftanteil gleich eins wird.
d
φ eins wird, und bestimmen Sie die
(c) Wählen Sie T so, dass der Koeffizient vor dτ
dimensionslosen Parameter der Gleichung
ε
d2
d
φ − sin φ (1 + κ cos ω1 τ ) .
φ = ω0 −
2
dτ
dτ
Unter welcher Bedingung kann man den Term
d2
dτ 2
d2
φ
dτ 2
(1)
vernachlässigen?
(d) Wenn
φ vernachlässigt werden kann, so heißt das System überdämpft. Beschreiben Sie das Systemverhalten im ungetriebenen Fall (κ = 0).
(e) Wir berachten nun den Grenzfall hoher Frequenzen ω0 , ω1 ≫ 1, geringer Frequenzverstimmung ∆ω = ω0 − ω1 ≪ 1 und schwachen Treibens κ ≪ 1. In diesem Fall
kann man annehmen, dass die Phasendifferenz ϑ = φ − ω1 τ sich wärend einer Periode kaum ändert. Bestimmen Sie die mittlere Zeitableitung der Phasendifferenz,
indem Sie die entsprechende Gleichung unter Annahme konsanter Phasendifferenz
über eine Periode der treibenden Kraft mitteln.
(f) Wird die Zeitableitung der Phasendifferenz durch diese mittlere Zeitableitung approximiert, so kann man das Verhalten der Phasendifferenz in Abhängigkeit von
∆ω und κ untersuchen. Zeichnen Sie die Region in der ∆ω-κ Ebene, in der die
Phasendifferenz stationär wird.
(g) Skizzieren Sie die mittlere Zeitableitung der Phasendifferenz als Funktion von r =
∆ω/κ.
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