13. Vorlesung. Lineare Algebra und Koordinatenwechsel.

13. Vorlesung. Lineare Algebra und Koordinatenwechsel.
In dieser Vorlesung behandeln wir die Vorzüge von Koordinatenwechseln. Insbesondere
werden wir über geeignete Koordinatenwechsle zu einer Klassifikation der lineare Abbildungen der Ebene kommen.
1. Invariante Geraden.
Satz. Sei pA (x) := x2 − Spur(A) · x + det(A). Dann ist
pA (A) = 0
Beweis. durch Nachrechnen. ♦
Satz. Die Eigenwerte der Matrix A ∈ Mat2 R sind gegeben durch
λ1/2
1
=
2
Spur(A) ±
q
2
Spur (A) − 4 det(A)
Beweis. Nach Definition sind die Eigenwerte λ ∈ R die Lösungen pA (λ) = 0, für das
Minimalpolynom pA von A. ♦
Satz. Jede lineare Abbildung L : R2 → R2 mit det L 6= 0 ist eine Bijektion.
Beweis. Es gibt eine Matrix A ∈ Mat2 R mit
L = LA
Setze B := A−1 . Dann ist
(LA ◦ LB )(v) = LA (LB (v)) = A(Bv) = AA−1 v = v
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
2
. Lineare Algebra (L2/L5)
Somit ist LA ◦ LB = id.
Ebenso zeigt man
LB ◦ LA = id
Also ist LB eine Links- und eine Rechts-Inverse von LA . Demnach ist L = LA eine
Bijektion. ♦
Satz. Jede lineare Abbildung L : R2 → R2 mit det L 6= 0 bildet Geraden auf Geraden
ab.
Beweis. Genauer bildet L die Gerade
g = { u + t(v − u) | t ∈ R }
auf die Gerade
L(g) := { L(u) + t(L(v) − L(u)) | t ∈ R }
ab, denn L(u + t(v − u)) = L(u) + t(L(v) − L(u)) da L eine lineare Abbildung ist. ♦
Satz. Sei L : R2 → R2 eine lineare Abbildung mit
det L = 1
und
Spur(A) > 2
Dann gibt es eine invariante Gerade, d.h. eine Gerade g ⊂ R2 mit
0∈g
und L(g) = g
Beweis. Da det A = 1 und SpurA > 2, hat L zwei verschiedene Eigenwerte λ1/2 ∈ R.
Zu jedem Eigenwert gibt es einen 1-dimensionalen Eigenraum
E(L, λi ) := ker(A − λi I) 6= ∅
mit
E(L, λ1 ) ∩ E(λ2 ) = {0} und R2 = E(L, λ1 ) + E(L, λ2 )
Also sind
gi := E(L, λi ), i = 1, 2
zwei invariante Geraden. ♦
2. Klassifikation von Linearen Abbildungen.
Definition. Sei det A = 1. Dann
A heißt elliptisch ⇔ Spur < 2
A heißt parabolisch ⇔ Spur = 2
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
§13 Koordinaten.
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A heißt hyperbolisch ⇔ Spur > 2.
Beispiele.
cos α sin α
(1) Spur
= cos2 α + sin2 α = 1 < 2, for all α 6= 0.
− sin α cos α
Dies ist eine Drehung.
1 b
= 1 + 1 = 2.
(2) Spur
0 1
Dies ist eine Scherung
λ
0
= λ + λ1 > 2.
(3) Spur
0 1/λ
3. Koordinatenwechsel.
Sei L : R2 → R2 eine lineare Abbildung. Die Standard Einheitsvektoren
0
1
und e2 =
e1 =
1
0
definieren das Standard Koordinatensystem. Angenommen wir entscheiden uns ein anderes
Koordinatensystem zu wählen.
Frage. Was müssen wir ändern.
Antwort. Wir müssen die Beschreibungen von linearen Abbildungen ändern.
Jede Beschreibung einer linearen Abbildung hängt nämlich von der Wahl eines Koordinatensystems ab.
Sehen wir uns das jetzt einmal genauer an.
Um eine lineare Abbildung L überhaupt anzugeben brauchen wir eine Matrix
A ∈ Mat2 R.
Diese könnte man eine ”Beschreibungsmatrix” nennen. Denn sie beschreibt durch die
Vorschrift
L(x) := Ax
eine lineare Abbildung.
a b
dieser Matrix A sind (bzgl. der Basis e1 , e2 ) gegeben durch:
Die Koeffizienten
c d
Ae1 := ae1 + ce2
Ae2 := be1 + de2
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
4
. Lineare Algebra (L2/L5)
Diese Koeffizienten ändern sich aber bei einer anderen Koordinatenwahl.
Hierzu das am besten ein Beispiel zur Illustration:
3 1
Beispiel. A =
2 5
und
3
Ae1 =
2
und
1
5
0
1
3
1
= 3e1 + 2e2
+2
=3
=
1
0
2
0
0
1
1
0
= 1e1 + 5e2
+5
=1
=
1
0
5
1
3 1
bzgl. der Basis
Wir sagen die lineare Abbildung hat die Beschreibungsmatrix
2 5
e1 , e2 .
3
Ae2 =
2
1
5
Wir ändern jetzt das Koordinatensystem indem wir ein neues Koordinatensystem statt
durch die bisherigen Basisvektoren e1 , e2 festlegen, z. B. durch die Wahl der Vektoren
1
2
und v2 :=
v1 :=
1
1
als neue Basisvektoren. Wie lautet nun die Beschreibungsmatrix B =
a
c
b
d
in der
neuen Basis v1 , v2 ? Es muss ja wieder gelten
(1) L(v1 ) = Bv1 = av1 + cv2
(2) L(v2 ) = Bv2 = bv1 + dv2
Betrachten wir Gleichung (1). Wir haben
3 1
Av1 =
2 5
7
2
=
9
1
Also müssen wir das Gleichungssystem
2
1
2
7
=
+c
= av1 + cv2 = a
1
1
1
9
1
1
a
c
Nun ist
und so
2 1
1 1
−1
2 1
=
−1 1
23
7
2 1
a
=
·
=
2
9
−1 1
c
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)
§13 Koordinaten.
5
Also lautet die Beschreibungsmatrix für L im Koordinatensystem v1 , v2 :
23 ?
B=
2 ?
Die zweite Spalte berechnet man genauso. Diesmal indem man das zweite Gleichungssystem (2) löst.
In den meisten Fällen wird die Beschreibungsmatrix im neuen Koordinatensystem nicht
einfacher aussehen. Aber es gilt:
Satz. Determinante und Spur einer linearen Abbildung sind für jedes Koodrdinatensystem
gleich.
Beweis. ohne Beweis. ♦
Satz. Sei A ∈ Mat2 R eine Matrix mit
det A = 1 und SpurA > 2
Dann hat A zwei invariante Eigengeraden g1 , g2 . Seien vi ∈ gi nicht-verschwindende
Vektoren. Dann ist die Beschreibungsmatrix für A bzgl. der neuen Basis v1 , v2 eine
Diagonalmatrix.
Beweis. Wir haben
Av1 = λ1 v1 und Av2 = λ2 v2
also lautet die Beschreibungsmatrix in dem neuen Koordinatensystem
λ1 0
B=
0 λ2
Dies beweist den Satz. ♦
Bemerkung. Wir sehen also, dass sich alle linearen Abbildungen mit det = 1 und
Spur > 2 geometrisch wie Diagonalmatrizen verhalten. Hieraus beweist man dann z.B.
leicht, dass hyperbolische Matrizen Kreise auf Kreise usw. abbilden. Wir käonnen aber
darauf nicht mehr engehen.
Literature.
K. Jänich, Lineare Algebra
S. Lang, Linear Algebra
H. Zieschang, Lineare Algebra und Geometrie
Klaus Johannson, Lineare Algebra (L2/L5)