Kapitel 3.2.02

Masse und Energie; Impuls und Energie
3.2.2 Äquivalenz von Masse und Energie; relativistische Impuls-Energie-Beziehung
Äquivalenz von Masse und Energie
Wenn sich die Masse mit zunehmender Geschwindigkeit ebenfalls ändert,
dann muss die Newtonsche Bewegungsgleichung in der Form
dp
.
d(m$v )
dv
dm dv
dv
dm .
F = dt = dt = dm
dt $ v + m $ dt = dv $ dt $ v + m $ dt = dv $ v $ v + m $ v bzw.
.
F = dm
dv $ v + m $ v
geschrieben werden.
Den folgenden Überlegungen werden nur die beiden Beziehungen
m0
d(m$v )
m=
und F = dt
v2
1− c 2
zugrunde gelegt. Außerdem soll der Energieerhaltungssatz in der Form
verwendet werden, dass die an einem Körper verrichtete Beschleunigungsarbeit als kinetische Energie des Körpers erhalten bleibt.
Dann gilt
s
s
0
t
0
E kin = ¶ F $ ds = ¶
d(m$v )
dt ds
E kin = ¶
dm
dv
E kin = ¶
m 0 $ − 12 $ − 2v2
0
v
c
2
c
3
v
m0$ v2
0
v2
c2
E kin = ¶
v
E kin = ¶
3
2
1− v 2
0
E kin =
$v+m $
m0
1
2
2
1− v 2
0
dm
dv
dm
dv
.
$ v + m $ v $ v $ dt
$ v + m $ v $ dv
$ v $ dv
c
+
3
2
m 0 $v$ 1− vc 2
2
1− v 2
c
3
c
2
v
0
$v+
3
1− vc 2
0
$ v $ dt = ¶
dv
dt
m 0 $ v 2 +m 0 $v−m 0 $ v 2
0
m 0 $c 2
t
.
$ v + m $ v $ ds = ¶
dm
dv
2
c
1−
s
=¶
c
2
1− v 2
3
2
3
2
dv
v
dv = ¶
0
c
m 0 $v
2
1− v 2
3
2
dv =
c
m 0 $c 2
v
2
1− v 2
c
0
− m0 $ c ,
2
also
Ekin = m $ c 2 − m0 $ c 2 = (m − m0 ) $ c 2 .
Bei anderer Anordnung ergibt sich
m · c2
= Ekin
Gesamtenergie
= kinetische Energie
+ m0 · c2 bzw.
+ Ruheenergie .
Zusammenfassung: Jeder Energie ist eine Masse zugeordnet: E = m · c2.
Der Ruhemasse m0 eines Körpers muss die Ruheenergie m0 · c2 zugeordnet
werden.
Anmerkung:
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Masse und Energie; Impuls und Energie
Die klassische Formel E kin = 12 $ m $ v 2 für die kinetische Energie folgt aus
dem relativistischen Energieterm für kleine Geschwindigkeiten, wenn man
die Näherung
v2
1
1
+
1
l
$
2
c2
2
v
1− c 2
für kleine Geschwindigkeiten v << c verwendet (lineare Approximation).
Dann gilt
E kin = (m − m 0 ) $ c 2 =
1
1−
v2
c2
− 1 $ m0c2 l 1 +
1
2
$
v2
c2
− 1 $ m0c2 =
1
2
$ m0 $ v2 .
Relativistische Energie-Impuls-Beziehung
Gelegentlich ist es experimentell einfacher, den Impuls p eines Teilchens zu
messen als seine Energie. Zum Beispiel kann aus der Beugung von Elementarteilchen die Wellenlänge der zugehörigen Materiewelle und daraus der
Impuls p bestimmt werden. Um dann indirekt doch eine Aussage über die
Energie W zu erhalten, kann man sich der nachfolgenden Umformung
bedienen.
Aus p = m · v2 und E = m · c2 folgt:
E2 − p2 $ c2 = m2 $ c4 − m2 $ v2 $ c2 = m2 $ c4 $ 1 −
E2 − p 2 $ c 2 = m20 $ c 4 = E20 .
v2
c2
=
m 20 $c 4
2
1− v 2
c
$ 1−
v2
c2
Zusammenfassung: Zwischen Energie und Impuls besteht der Zusammenhang E2 - p2 · c2 = E02 bzw. p2 · c2 = E2 - E02.
Anmerkung:
Die obige Beziehung lässt sich für den Sonderfall des Lichts (v = c) noch
weiter vereinfachen. Beim Licht wird der Begriff Ruheenergie
gegenstandslos; dann gilt
E2 - p2 · c2 = 0 bzw.
E2 = p2 · c2 oder
2
E = p · c bzw. p = Ec = m$c
c = m $ c.
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