F - georgi

Fakultät Maschinenwesen
Technische Mechanik
Formelsammlung
Institut für Festkörpermechanik
Version: Oktober 2006
Nachfolgend wird von den Bilanzgleichungen der
Kontinuumsmechanik:
•
•
•
•
Massenerhaltung
Impulserhaltung
Drehimpulserhaltung
Energieerhaltung
- ohne zusätzlichen Hinweis darauf - Gebrauch gemacht.
Formelsammlung Technische Mechanik
Inhaltsverzeichnis
Statik
Ebene Statik ......................................................................................... 1
Lasten (Kräfte und Momente)...................................................... 1
Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele).................................... 3
Schnittgrößen beim Balken ......................................................... 4
Räumliche Probleme ............................................................................ 4
Lasten (Kräfte und Momente)...................................................... 4
Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele)................................... 6
Schnittgrößen beim Balken ......................................................... 7
Reibung ................................................................................................ 7
Festigkeitslehre
Grundlagen…………………………………………………………………..8
Spannungen ................................................................................ 8
Verzerrungen ............................................................................ 10
HOOKEsches Gesetz................................................................ 11
Zulässige Spannungen.............................................................. 13
Vergleichsspannungen.............................................................. 14
Linientragwerke .................................................................................. 16
Zug (Druck) ............................................................................... 16
Biegung ..................................................................................... 16
Reine Torsion ............................................................................ 18
Querkraftschub.......................................................................... 19
Federn ....................................................................................... 20
Satz von CASTIGLIANO ........................................................... 21
Stabilitätsproblem Knicken ........................................................ 21
Flächentragwerke............................................................................... 22
Rotationsschalen....................................................................... 22
Kreis- und Kreisringscheiben ................................................... 23
Kreis- und Kreisringplatten ........................................................ 24
i
ii
Formelsammlung Technische Mechanik
Kinematik
Kinematik des Punktes.............................................................. 27
Kinematik des starren Körpers .................................................. 28
Kinetik starrer Körper
Translation ................................................................................ 30
Beliebige Bewegung.................................................................. 31
Bewegung in der x,y-Ebene ...................................................... 33
Gerader zentrischer Stoß.......................................................... 35
LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art ........................................ 35
Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1 ................................... 36
Schwingungen mit einem Freiheitsgrad größer 1...................... 40
Geometrie- und masseabhängige Kennwerte
Schwerpunkt ebener Linienstrukturen....................................... 41
Schwerpunkt ebener Flächen.................................................... 42
Schwerpunkt von Körpern ......................................................... 43
Flächenmomente 2. Ordnung.................................................... 44
Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion ........ 46
Massenmomente 2. Ordnung.................................................... 47
Formelsammlung Technische Mechanik
1
Statik
Ebene Statik
Lasten (Kräfte und Momente)

(Einzel-)Kraft F
Vektorielle Darstellung
y
 

F  Fx  Fy


 Fx ex  Fy e y
Fy 
Betrag, Richtung

F  F  Fx2  Fy2
tan  
F

y
Fx
z
Fy
ez
ex
Fx
Koordinaten
x
x
Fx  F cos   F sin 
Fy  F sin   F cos 
Moment bezüglich der z-Achse



M z  M z e z   x Fy  y Fx  e z
Resultierende Kraft aus n Kräften
FR  FRx2  FRy2
n
mit:
FRx   Fix
i 1

(Einzel-)Moment M z
Vektorielle Darstellung


M z  M z ez
tan  R 
FRy
FRx
n
FRy   Fiy
i 1
y
Mz
z
x
Formelsammlung Technische Mechanik
2
Resultierendes Moment aus n Kräften und m Einzelmomenten
n
m
n
m
i 1
k 1
i 1
k 1
M Rz   M iz   M kz    xi Fiy  yi Fix    M kz
Gleichung der Wirkungslinie der äquivalenten Kraft
FRy
M
y
x  Rz
FRx
FRx
Gleichgewichtsbedingungen für n Kräfte und m Einzelmomente
Kräftegleichgewicht
Momentengleichgewicht
 
FR  0
n
F
0
F
0
ix
i 1
n
iy
i 1
M Rz  0
n
 x
i
i 1
m
Fiy  yi Fix    M kz  0
k 1
Integrale von Linienlasten sind mit zu erfassen, z. B.
q(s)
l
FR   q  s  ds
FR
0
A
A
ds
s
1
sR 
FR
sR
l
l
 q  s  s ds
0
FR=q0 l
q0
l
l/2
sR 
l
2
q0 l
2
sR 
2
l
3
l/2
FR=q0l/2
q0
A
FR  q0 l
FR 
l
A
2 l/3
l/3
Formelsammlung Technische Mechanik
3
Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele)
Symbol
Bezeichnung
Lagerreaktionen
Reduzierter
Freiheitsgrad
FBh
Einspannung
B
0
MB
FB 
Festlager
(gelenkiges Lager)
FBh
B
1
(Drehung um B)
FB
Loslager
(Rollenlager)
2
B
(Verschiebung
von B entlang der
Gleitebene,
Drehung um B)
FB
2
Pendelstütze
(Stützstab, Seil)
Zug-/Druckfeder
(Federkonstante c)
Drehfeder
(Federkonstante ct)
B
(Verschiebung
von B auf Kreisbogen um C,
Drehung um B)
B
2
FS
C
c

F=c
2
M t = ct 
B
(horizontale und
vertikale
Verschiebung
von B)

ct
FGh
G
FGh

Gelenk
 beliebig
(horizontale
Verschiebung
von B, Drehung
um B)
1
(Drehung um G)
FG
FG
Formelsammlung Technische Mechanik
4
Schnittgrößen beim Balken
Mb
Mb
FL
FL – Längskraft
FQ – Querkraft
Mb – Biegemoment
FL
FQ
FQ
-
Mb
Mb
+
Auftragerichtung für M b
Beziehungen zwischen Mb, FQ, q als Funktionen von qs
M b
  FQ
s
FQ
 q
s





Mb
2M b
 q
ds 2
Mb + dMb
FQ
FQ + dFQ
ds
s
Für entgegengesetztes s gelten die unteren Vorzeichen.
Räumliche Probleme
Lasten (Kräfte und Momente)

(Einzel-)Kraft F
z
Vektorielle Darstellung
 
 
F  Fx  Fy  Fz



 Fx e x  Fy e y  Fz e z
Betrag

F F 
Koordinaten
Fx  F cos 
Fy  F cos 
Fz  F cos 
Fz

Fx
ez
ex
Fx2  Fy2  Fz2
r
O

y

Fy
ey z
x
x
F
y
Formelsammlung Technische Mechanik
5
Moment bezüglich des Punktes O
  



M  r  F  M x ex  M y e y  M z ez
M x  y Fz  z Fy
mit:
M y  z Fx  x Fz
M z  x Fy  y Fx
Resultierende Kraft aus n Kräften
n


FR   Fi
i 1

z
(Einzel-)Moment M
Vektorielle Darstellung




M  Mx  My  Mz



 M x ex  M y e y  M z ez
Mz

ez
ex
r

Mx
O e
y
M

My
x
y
z
y
x
Resultierendes Moment aus n Kräften und m Einzelmomenten
n

  m 
M R   ri  Fi   M k
i 1
k 1
Gleichgewichtsbedingungen für n Kräfte und m Einzelmomente
Kräftegleichgewicht
Momentengleichgewicht
 
FR  0
n
F
0
F
0
i 1
n
i 1
ix
iy
n
F
i 1
iz


MR  0
 y
i
Fzi  zi Fyi    M kx  0
 z
i
Fxi  xi Fzi   M ky  0
i
Fyi  yi Fxi    M kz  0
n
i 1
n
i 1
0
 x
n
i 1
m

k 1
m
k 1
m
k 1
Integrale von Linien-, Flächen- und Volumenlasten sind mit zu
erfassen.
6
Formelsammlung Technische Mechanik
Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele)
Symbol
Bezeichnung
y
x
Einspannung
B
Lagerreaktionen
M Bz
FBz
FBx
FBy
M Bx
z
Reduzierter
Freiheitsgrad
0
MBy
y
x
Festlager
(gelenkiges
Lager)
B
z
y
Loslager
(Rollenlager)
3
FBz
FBx
(Drehung um
x-, y-, z-Achse
durch B)
FBy
5
(Drehung um
x-, y-, z-Achse
durch B,
Verschiebung in
x- und zRichtung)
x
B
z
FBy
5
Pendelstütze
(Stützstab, Seil)
(Verschiebung
von B auf Kugelfläche mit Radius
BC um C,
Drehung um B)
FS
C
B
B
y
Hülse
(ohne axiale
Verschieblichkeit)
B
z
y
FBx
M Bx
1
FBy
(Drehung um
z-Achse)
M By
FG x
x
Gelenk
FBz
x
G
FG x
3
FG y
(Drehung um
x-, y-, z-Achse
durch G)
FG z
z
FG y
7
Formelsammlung Technische Mechanik
Schnittgrößen beim Balken
S
z
x
FL
FQ x
FQ y
y
M bx
Mt
FL FQx , FQy Mbx , Mby Mt -
Längskraft
Querkräfte
Biegemomente
Torsionsmoment
M by
mit: x, y, z bilden körperfestes Rechtssystem
Reibung
Haftreibung
FH   0 FN
Gleitreibung
FGl   FN ,
Rollreibung
FRo 
Seilreibung
FS 2  FS1 e0 
FS 2  FS1 e 
mit:
entgegengesetzt zur
Relativgeschwindigkeit
f
F
R N
Haften
Gleiten
FH - Haftreibungskraft
FGl - Gleitreibungskraft
FRo - Rollreibungskraft
FN - Normalkraft (Druckkraft)
FS1, FS2 - Seilkräfte
0 - Haftreibungskoeffizient
 - Gleitreibungskoeffizient
f - Hebelarm der Rollreibung
R - Radius des Rollkörpers
 - Umschlingungswinkel
}
meist:
f

R
8
Formelsammlung Technische Mechanik
Festigkeitslehre
Grundlagen
Spannungen
Fi
A
Spannungsvektor

 dF


t 
n s
dA
dFT
s
dA n
mit: Koordinaten:
dFN
dA
dF
 T
dA

Mk
Normalspannung
Tangentialspannung
oder Schubspannung

n - Einheitsvektor in Normalenrichtung

s - Einheitsvektor in Tangentenrichtung
Räumlicher Spannungszustand
Spannungstensor
  xx

 kl    yx

 zx
 kl  lk
kl   kl
 xy
 yy
 zy
dF
Fzz
 xz 

 yz 
 zz 
Jzx
xz
z
y
x
k , l  x, y , z
Fxx
Jzy
Jxy Jyx
Jyz
Fyy
dFN
9
Formelsammlung Technische Mechanik
Hauptspannungen i (i  1, 2, 3) aus:
3i  S1  2i  S 2 i  S3  0
1   2  3
mit: S1   xx   yy   zz
S 2   xx  yy   yy  zz   zz  xx  2xy  2yz  2zx
S3   xx  yy  zz  2  xy  yz  zx   xx 2yz   yy 2zx   zz 2xy

Hauptspannungsrichtungen ni aus:

xx
 i  nix 
xy niy 
xz niz  0
yx nix  yy  i niy 
yz niz  0


zy niy   zz  i  niz  0
zx nix 
mit:




ni  nix ex  niy ey  niz ez
ni2   nik2  1
Einheitsvektor der i-ten
Hauptspannungsrichtung
k = x, y, z
(k )
Ebener Spannungszustand (ESZ)
Spannungstensor
  xx
 kl  
  yx
 kl  lk
σyy
 xy 
 yy 
σxx
k , l  x, y
xy
y
kl   kl
Für gedrehtes Koordinatensystem
   yy  xx   yy
cos 2   xy sin 2
uu  xx

2
2
   yy  xx   yy
cos 2   xy sin 2
   xx

2
2
 xx   yy
sin 2   xy cos 2
 u    u  
2
σx x
yx
σyy
x
 

yx
xy
u 
xy
σxx
yx
y
u

x
σyy
10
Formelsammlung Technische Mechanik
Hauptspannungen
1,2 
2
2
 xx   yy

2
  xx   yy 
2

   xy
2


y
Hauptspannungsrichtungen
2  xy
tan 201,02 
 xx   yy
tan 01 
 xy
1
2
xy
yx

x
σ xx
σyy
2
1
für eindeutige Hauptspannungsrichtung 1
 xx  2
Verzerrungen
z
uz
Verschiebungsvektor
u




u  ux ex  u y e y  uz ez
ux
ez



 u ex   e y  w ez
ex
O
P'
P
ey
uy
y
x
Räumlicher Verzerrungszustand
Verzerrungstensor

  xx

1
 kl    yx
2
1
  zx
2
1
 xy
2
 yy
1
 zy
2
Dehnungen
u x
 ux,x
x
u y
 yy 
 u y, y
y
u
 zz  z  u z , z
z
 xx 
1

 xz 
2

1
 yz 

2

 zz 

 kl  lk
k , l  x, y , z
 kl  2  kl
Gleitungen
u x u y

 ux, y  u y ,x
y
x
u y u z
 yz 

 u y,z  uz , y
z
y
u u
 xz  x  z  u x , z  u z , x
z
x
 xy 
Ermittlung der Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen
wie beim räumlichen Spannungszustand (  kl   kl ) S. 9
11
Formelsammlung Technische Mechanik
Ebener Verzerrungszustand (EVZ)
Verzerrungstensor

  xx
 kl  
1 

yx
2
1

 xy 
2

 yy 

 kl  lk
k , l  x, y
 kl  2  kl
Für gedrehtes Koordinatensystem
 
 u
 xx   yy
 xx   yy
1
 sin 2
2
2
2 xy
 xx   yy  xx   yy
1


cos 2   xy sin 2
2
2
2
  u     xx   yy  sin 2   xy cos 2
uu 

cos 2 

2
 xx

y

 u
2
  xy
u u
yy

u
x
Ermittlung der Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen
wie beim ebenen Spannungszustand   kl   kl  S. 10
HOOKEsches Gesetz
Voraussetzung: isotropes Material
1
 xx     yy   zz     T
E
1
 yy   yy     zz   xx     T
E
1
 zz   zz     xx   yy     T
E
1
 xy   xy
G
1
 yz   yz
G
1
 zx   zx
G
 xx 
 
12
Formelsammlung Technische Mechanik
mit: E  2 1    G
E – Elastizitätsmodul (YOUNGs Modul)
G – Schubmodul
– Querkontraktionszahl ( m 
 – Temperaturdehnzahl
1

- POISSONsche Zahl)
T - Temperaturdifferenz
Sonderfall: Ebener Spannungszustand (ESZ)
1
  xx    yy    T
E
1
 yy    yy    xx    T
E

 zz     xx   yy    T
E
1
 xy   xy
G
 xx 
Sonderfall: Ebener Verzerrungszustand (EVZ)
1 
1     xx    yy   1     T
E 
1 
 yy 
1     yy    xx   1     T
E 
1
 xy   xy
G
 xx 
Formelsammlung Technische Mechanik
13
Zulässige Spannungen
 zul
 F
 S

F

 B
 S B
mit:  F
B
SF
SB
zähes Material
sprödes Material
 Fließfestigkeit ( Re )
 Bruchfestigkeit ( Rm )
 Sicherheitsfaktor gegen Fließen ( S F  1,2...2)
 Sicherheitsfaktor gegen Bruch ( S B  4...9)
Sicherheitsfaktoren aus Regelwerken für jeweilige Anwendung
Bei anisotropem Material zusätzlich d zul mit analoger
Definition
14
Formelsammlung Technische Mechanik
Vergleichsspannungen
Festigkeitskriterium
    zul
mit:   Vergleichsspannung
Bei anisotropem Material zusätzlich   d   d zul
Allgemein
Formulierung mit den Hauptspannungen 1   2  3 S. 9
 Normalspannungshypothese
Isotropes Material:
1  3 :
 1  1
1  3 :
 1  3
Anisotropes Material:
1  0 , 3  0 :
 1  1
1  0 , 3  0 :
 1  1 und  1 d  3
1  0 , 3  0 :
 1 d  3
 Schubspannungshypothese
  2  1  3
 Gestaltänderungsenergiehypothese
 3 

1
2
2
2
1  2    2  3    3  1  


2
2
2
1
2
2
2
2
3
























xx
yy
yy
zz
zz
xx
xy
yz
zx 

2 
Analog für Zylinderkoordinaten:
 3 
2
2
1
2











 3  r2  2z  2zr 






rr


zz
zz
rr



2
Formelsammlung Technische Mechanik
15
Linientragwerke (Balken, Wellen) S. 16 ff
 Normalspannungshypothese
Formulierung mit den Hauptspannungen 1   2 (ESZ) S. 10
Isotropes Material:
1   2 :
 1  1
1   2 :
 1   2
Anisotropes Material:
1  0 ,  2  0 :
 1  1
1  0 ,  2  0 :
 1  1 und  1 d   2
1  0 ,  2  0 :
 1 d   2
 Schubspannungshypothese
2 
 2  4 2
 Gestaltänderungsenergiehypothese
 3 
 2  3 2
Flächentragwerke (Behälter, Scheiben, Platten – ESZ)
 Gestaltänderungsenergiehypothese
Behälter S. 22
 3 
l2  u2  l u
Scheiben, Platten S. 23 ff
 3 
2
2rr  
 rr 
16
Formelsammlung Technische Mechanik
Linientragwerke
Zug (Druck)
 zz ( z ) 
FL ( z )
A( z )
 zz  uz , z 
FL
  T
EA
Sonderfall:  zz  konst., T  0
l
l
mit: A - Querschnittsfläche
EA - Dehnsteifigkeit
l - Längenänderung
l - Ursprungslänge
 zz 
Biegung
Spannung
 Gerade Biegung (Biegung um Hauptträgheitsachse x)
M
 zz  bx y
I xx
 zz
max 
M bx
max
Wbx
mit: Wbx 
I xx
Widerstandsmoment gegenüber Biegung
y max
 Schiefe Biegung, x, y – Hauptträgheitsachsen,
einschließlich Längskrafteinfluss
M by
F M
 zz  L  bx y 
x
A
I xx
I yy
Gleichung der Spannungsnulllinie   zz  0 
y
M by I xx
F I
x  L xx
M bx I yy
M bx A
17
Formelsammlung Technische Mechanik
 Schiefe Biegung, x, y – beliebige Schwerpunktsachsen,
einschließlich Längskrafteinfluss
 zz 
M bx I xy  M by I xx
FL M bx I yy  M by I xy

y

x
A
I xx I yy  I xy2
I xx I yy  I xy2
Gleichung der Spannungsnulllinie   zz  0 
y
M bx I xy  M by I xx
M bx I yy  M by I xy
I xx I yy  I xy2
FL
x
A M bx I yy  M by I xy
mit: I xx , I yy , I xy - Flächenmomente 2. Ordnung S. 44
Verformung (gerade Biegung)
Differenzialgleichung der Biegelinie
´´ 
M b( x)
x
M b(x)
EI ( xx )
d
Neigung
dz
EI(xx) – Biegesteifigkeit
mit: ´
I(xx) –
z
z
M b(x)
y, 
axiales Flächenträgheitsmoment S. 44
Randbedingungen für  bzw. ´
x
y, 
18
Formelsammlung Technische Mechanik
Reine Torsion
max 
Mt
Wt

mit:  l  GIt It Wt -
 Mt

l GI t
Verdrehwinkel
Stablänge
Drillung
Torsionssteifigkeit
Torsionsträgheitsmoment
Widerstandsmoment gegenüber Torsion
Sonderfall: Kreis(ring)querschnitt
(r ) 
Mt
r
Ip
max 
Mt
Wp
mit: Ip - polares Flächenträgheitsmoment Ip = It = 2 Ixx= 2 Iyy
Wp 
Ip
ra
- polares Widerstandsmoment Wp=Wt =2Wbx=2Wby
r – (beliebiger) Radius innerhalb des Querschnitts
ra – Außenradius
Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion S. 46
19
Formelsammlung Technische Mechanik
Querkraftschub
Voraussetzung: x, y – Hauptträgheitsachsen
Massive Querschnitte (annähernd rechteckig)
FQy
Schubspannungen
 zy ( y ) 
mit:
FQy S x ( y )
x
I xx bx ( y )
Sx ( y) 
yR
yR
 y b ( y ) dy
z
y
y
dy-
S
b x( y)
A(y)
y
x
b x(y)
y
statisches Moment der (unterlegten)
Restfläche A( y )
Analog:
 zx ( x) 
FQx S y ( x)
I yy by ( x)
Dünnwandige offene Querschnitte
Schubspannungen
FQy S x ( s )
 zs ( s ) 
I xx ( s )

FQx S y ( s )
I yy ( s )
rt(s)
x
l
s
s
0
l
s
S x ( s )   y  s  ( s ) ds    y  s  ( s ) ds
x  s  ( s ) ds    x  s  ( s ) ds
S y (s)  
0
s
Koordinaten des Schubmittelpunktes M
1
xM 
I xx
l
S
x
 s  rt ( s) ds
0
1
yM  
I yy
l
S
0
y
 s  rt ( s ) ds
s=s=0
z
 (s)
ds
(s)
M s
~
~
FQy
s=l
s
yM
FQx
mit:
S
xM
y
20
Formelsammlung Technische Mechanik
Federn
Federgesetze
Feder
Potenzielle
Energie
Federgesetz
w
c
Zug-/Druck-Feder
FL

ct
Drehfeder
Mt
F cw
U
1
c w2
2
M t  ct 
U
1
ct 2
2
Ersatzfederkonstanten
Federschaltung
c1
Ersatzfederkonstante
c2
w1
w2
1 1 1
 
c c1 c2
FL
Reihenschaltung
2
1 c t2
c t1
1 1
1


ct ct1 ct 2
Mt
c1
c2
w
c  c1  c2
FL
Parallelschaltung

c t1
c t2
ct  ct1  ct 2
Mt
Federkonstanten elastischer Linientragwerke
Beanspruchungsart
Federkonstanten
EA , l
Zug
c
FL
EI, l
Biegung
FQ
3 EI
l3
2 EI
Mb : c  2
l
FQ :
Mb
c
GIt , l
Torsion
EA
l
Mt
ct 
GI t
l
2 EI
l2
EI
ct 
l
ct 
21
Formelsammlung Technische Mechanik
Satz von CASTIGLIANO
Voraussetzungen: x, y – Hauptträgheitsachsen, T = 0
n
U
k 

Fk i 1

( li )
 M
M byi M byi
M ti M ti
M bxi
bxi




  EI xx i Fk
 EI yy i Fk  GIt i Fk

k 
FQxi FQxi
FQyi FQyi 
FLi FLi
  xi
  yi
 dsi
 EAi Fk
 GAi Fk
 GAi Fk 
U
 ... analog
M k
mit: U
- linearelastische Verzerrungsenergie
x, y - Schubfaktoren des jeweiligen Querschnitts
Stabilitätsproblem Knicken
Kritische Kraft für EULERsche Knickfälle
FK  2
FK
EI
lk2
(für    p  
FK
FK
1
0,7
E
)
P
lK
:
l
2
mit:
lK
Schlankheitsgrad
i
i Trägheitsradius S. 45

P -
FK
Proportionalitätsgrenze
0,5
22
Formelsammlung Technische Mechanik
Flächentragwerke
Voraussetzung:
Belastung, Geometrie, Materialverhalten sind rotationssymmetrisch
 Spannungs- und Verzerrungszustand ist rotationssymmetrisch
Rotationsschalen (Behälter - Membrantheorie)
Längsspannung
Behälter
l
u
l u p


R1 R2 h
p
allgemein
u
h
R2
: (Rotationsachse)
R1
l
p
u
u
Kugelschale
u
u
R
p
2h
p
Zylinderschale
R
p
2h
R
h
Umfangsspannung
R
h
R
p
h
l
h
Kegelschale
u
l

p
Ø2R
u
l
R
p
2 h sin 
R
p
h sin 
23
Formelsammlung Technische Mechanik
Kreis- und Kreisringscheiben
Fnn
Frr +dFrr
DT2 r
n
dn
Frr
r
dr Fnn
Differenzialgleichung
ur ´ ur  1
1  2

 2    r ur ´´ 
 2 r  1      T ´
ur ´´
r r
E
r

mit:
ur ( r )
- Verschiebung in radialer Richtung

- Massendichte
  2  n Winkelgeschwindigkeit (n – Drehzahl)
 ´


r
Allgemeine Lösung

1 1  2
 2 r 3  1   
ur  C1 r  C2 
r 8E
r
mit:
 0
a 
r
 r T (r ) dr
a
( Vollscheibe)
 Innenradius (Ringscheibe)
C1 , C2  Integrationskonstanten aus Randbedingungen
Randbedingungen (je 1 pro Rand) für ur bzw.  rr
Spannungen
 ur








u
T
´
1


r
 r

E  ur

 
  ur ´ 1     T 
2 
1   r

rr 
E
1  2
24
Formelsammlung Technische Mechanik
Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese S. 15
Dehnungen
rr  ur ´
 
ur
r

rr    T

E
zz  
Alternative Lösung (günstig bei Spannungs-Randbedingungen)
1 
1 
1 1  2

ur 
K1 r 
K2 
 2 r 3  1   
E
E
r 8E
r
E
1
3 
rr  K1  2 K 2 
 2 r 2 
r
r
8

a
Dehnungen wie oben
Kreis- und Kreisringplatten
p(r)
n
dn
h
mr
qr
r
z,w
mn
dr
a
 r T (r ) dr
K1, K2 – Integrationskonstanten
mn
 r T (r ) dr
r

1
1 3 
1
 K1  2 K 2 
 2 r 2  E   T  2
r
r
8

mit:
r
mr +dmr
qr+dqr
r

a

r T (r ) dr 

25
Formelsammlung Technische Mechanik
Differenzialgleichung
w  w´´´´2
w´´´ w´´ w´ 1   1
  p(r )
 2  3   r   r w´´´´
r
r
r
r  r
K

mit: w(r) – Verschiebung der Plattenmittelfläche in z-Richtung
E h3
K
12 1  2 
 ´
Plattensteifigkeit
d 
dr
Allgemeine Lösung für p(r )  p0  konst.
r
r p0 r 4
2
2
w  C1  C2 ln  C3 r  C4 r ln 
r0
r0 64 K
mit: r0
- beliebiger Bezugsradius
C1, …, C4 - Integrationskonstanten aus Randbedingungen
Randbedingungen (je 2 pro Rand) für w oder qr bzw. w´ oder mr
Schnittgrößen
w´ 

mr   K  w´´ 
r 

w´´ w´ 

 2
qr   K  w´´´
r r 

w´ 

m   K   w´´ 
r 

Spannungen
12 mr
z
h3
h
h
mit:   z 
2
2
rr 
 
12 m
h3
z
Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese S. 15
Dehnungen
rr   z w´´
   z
w´
r
 zz  0
26
Formelsammlung Technische Mechanik
27
Formelsammlung Technische Mechanik
KinematikKinematik des Punktes
Bewegung auf einer Geraden
Weg
s  s (t )
Geschwindigkeit
  s
Beschleunigung
a    
s

mit: ( ) 
d
dt
  d  

bzw. ( ) 
ds
d
dt
  d  
d
Bewegung auf beliebiger Bahn, verschieden beschrieben
 Kartesische Koordinaten
z




r (t ) 
x (t ) e x  y (t ) e y  z (t ) e z





x ( t ) e x  y ( t ) e y  z ( t ) e z
 ( t )  r 

 



a ( t )    
r  
x ( t ) e x  
y ( t ) e y  
z (t ) e z
P
s  s t 



 (t )  s(t ) et (t )   (t ) et (t )


 2 (t ) 
a (t )   (t ) et (t ) 
e (t )
ρ(t ) n
z(t)
ey
y
x(t)
y(t)
x
 Natürliche Koordinaten
r(t)
ez
O
ex
s(t) P
et

en

mit:  - Krümmungsradius
O
 Polarkoordinaten (ebene Bewegung)


r  r (t ) er



 (t )  r er  r  e


a (t )   
r  r  2  er  (
mit:    
2
T
2
r 
e

 ) e
r 
CORIOLISBeschleunigung
Winkelgeschwindigkeit
T – Kreisfrequenz (Umlaufzeit)
r(t)
(t )
O
er
P
28
Formelsammlung Technische Mechanik
Kinematik des starren Körpers
Translation
A´´
A´
Ein Körperpunkt ( A bzw. B ) repräsentativ A
für alle Körperpunkte;
Kinematik des Punktes anwendbar
B´
t  t1
B
B´´
t  t2
t  t0
Rotation um raum- und körperfesten Punkt O
     
  r        r
      
 r    r 
a    

P
r
O
Allgemeine Bewegung

 
r
rA  rAP
    
  r  rA    rAP
    
  
a  
r  rA    rAP       rAP 
rAP
A
rA
P
r
O
Ebene Bewegung

r
 
  r 
 
a  
r
 
rA  rAP

 
rA   ez  rAP


 

rA   ez  rAP  2 rAP
er rAP
e
A
e
rA
ey
Momentanpol
  ez   A
rM  rA 

 


mit: e z   A  x A e y  y A e x
ez
O
ex
r
P
29
Formelsammlung Technische Mechanik
Bewegung des Punktes P relativ zu bewegtem Bezugssystem
P
r
rB P
B
(körperfestes
Bezugssystem)
rB

r
 
O
rB  rBP
    

  r  rB    rBP   rel
     
  
 

a  
r  rB    rBP       rBP   2
   rel  arel



Führungsbeschleunigung

CORIOLISBeschleunigung
mit:  - absolute Winkelgeschwindigkeit des bewegten
Bezugssystems
30
Formelsammlung Technische Mechanik
Kinetik starrer KörperTranslation
NEWTONs
Bewegungsgleichung
statische Interpretation
(D´ ALEMBERT)
 geradlinige Translation infolge der Kraft F
s
s
F
F
m
O
m
O
S
S
ms
F  m s
:
F  m s  0
mit: m s - Hilfskraft
(Trägheitskraft)

 beliebige Translation ( M R  0 )




FR  m rS  0
FR  m rS
Mathematische Folgerungen für beliebige Translation
t1



 
FR (t ) dt  m 1   0 
t0
mit: 0, 1 - Indizes für Weganfang bzw. Wegende


Für FR  0 (Impulserhaltung) :   konst.

Mechanischer Arbeitssatz (Translation)
t
1
 
 1 

1
1
2
2
r
F

m

m

(
)


(
)

(
)


 T1  T0
F
r
d
t
t
dt
R
R
1
0

t
2
2
0
0
 
mit: P  FR   Leistung (bei Translation)
T
1
m 2 kinetische Energie (der Translation)
2
31
Formelsammlung Technische Mechanik

Mechanischer Energiesatz (Translation)
1
 

1
1
2
(
)





F
r
d
r
U
U
m

m  02  T1  T0
0
1
1
 R
2
2
0
U 0  T0  U1  T1  konst.

F
mit: R - Potenzialkraft
U - potenzielle Energie (der Translation)
Beispiele: Gewicht: U  m g h
mit : h - Höhe
Federenergie S. 20
Beliebige Bewegung
Schwerpunktsdefinition
 1
rS 
m
folglich:

1
rS 
m

m

r dm
rS
(m)

dm
S

r dm
r
Schwerpunktssatz
O
(m)
Definition von Impuls und Drehimpuls
 Impuls

p

(m)
Mk


r dm  m rS
m
rSP dm
S
P
rS
r
 Drehimpuls bezüglich des Punktes O

L

 
r  r dm
ri
O
(m)
EULERs Grundgesetze der Kinetik
 Impulsbilanz
 Drehimpulsbilanz



FR  p  m rS


MR  L
Fi
32
Formelsammlung Technische Mechanik
Formulierung im x,y,z-Koordinatensystem
 Impulsbilanz
n
FRx   Fix  m 
xS
i 1
n
yS
FRy   Fiy  m 
i 1
n
zS
FRz   Fiz  m 
i 1
 Drehimpulsbilanz
bezüglich körperfester Hauptträgheitsachsen i  1, 2, 3 durch
den Schwerpunkt S (EULERsche Gleichungen)
 1   J 2  J 3  2 3
M R1  J1 
 2   J 3  J1  3 1
M R2  J2 
 3   J1  J 2  1 2
M R3  J 3 
mit:
MRi - Koordinaten des resultierenden Moments
Ji
- (Massen-)Hauptträgheitsmomente S. 48
i - Koordinaten der absoluten Winkelgeschwindigkeit
33
Formelsammlung Technische Mechanik
Bewegung in der x,y-Ebene
Statische Interpretation von Impuls- und Drehimpulsbilanz für
verschiedene Bezugspunkte
y
y
m, J zz
F iy
Mk
yi
J zz
yS
S
..
x
z
mx S
..
my S
B
yB
F ix

..
mit:
O
xB
xS
 - Hilfsmoment
J zz 
x
xi
(Moment der Trägheit)
Kräftegleichgewicht (für alle Bezugspunkte gleich)
:
n
F
ix
i 1
 m 
xs  0
n
F
:
i 1
iy
 m 
yS  0
Momentengleichgewichte
O:
 F
n
i 1
iy
  0
xi  Fix yi    Mk  m 
yS xS  m 
xS yS  J zz 
m
k 1
bzw.
B:
n
m
i 1
k 1
n
m
 Fiy  xi  xB   Fix  yi  yB    Mk  m yS  xS  xB   m xS  yS  yB   Jzz   0
bzw.
S:
 F  x  x   F  y  y    M
i 1
iy
i
S
ix
i
S
k 1
k
  0
 J zz 
Mechanischer Energiesatz
1
1
1
1
m  xS21  y S21   J zz  12  m  xS2 0  y S2 0   J zz  02  T1  T0
2
2
2
2
U 0  T0  U1  T1  konst.
U 0  U1 
34
Formelsammlung Technische Mechanik
Sonderfall: Rotation um raumfeste Achse durch den Punkt A
Bewegungsgleichung (analog zur Translation)
M R z  J zz


mit M R z    Fiy xi  Fix yi    M k
n
m
i 1
F
n
iy
i 1
y
y
S. 2
:
k 1
m, J zz

m
  0
xi  Fix yi   M k  J zz 
k 1
2
mit: J zz  J zz  rs m
Mk
yi
yS
rS
F Ah
O=A
Satz von STEINER
F iy
F ix
S
z

z
FA
S. 45
x
xS
xi
rS2  xS2  yS2
Mathematische Folgerungen aus der Bewegungsgleichung

t1
t M
Rz
(t ) dt  J zz  1  J zz  0
0
Für M R z  0 (Drehimpulserhaltung) : J zz   konst. bzw.   konst.

Mechanischer Arbeitssatz (Rotation)
1

0
M R z (  ) d    M R z (t )  (t ) dt 
mit:

t1
t0
1
1
J zz  12  J zz  02  T1  T0
2
2
P  M Rz  Leistung (bei Rotation)
1
T  J 2 kinetische Energie (der Rotation)
2
Mechanischer Energiesatz (Rotation)

1
1
2

(
)
M

d


U

U

J


J zz  02
R
z
zz
0
1
1

2
2

1
0
U 0  T0  U1  T1  konst.
mit:
M R z aus Potenzial ableitbar
U - potenzielle Energie (der Rotation)
x
35
Formelsammlung Technische Mechanik
Gerader zentrischer Stoß
Geschwindigkeiten nach dem Stoß

1 

2 
m1  1  m 2  2  k m 2  1   2 
m1  m 2
m1  1  m 2  2  k m1  1   2 
m1  m 2

S1
m1
  
  
S2
m2

1   2
mit: k  
1  2
1 , 2 
Stoßzahl ( k  1: elastischer Stoß
k  0 : plastischer Stoß )
Geschwindigkeiten vor dem Stoß
Verlust an kinetischer Energie
1  k 2 m1 m2
2
T T 
1  2 
2 m1  m2

LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art

 T  T
 Ql

 

q
q


l
 l
mit: T ql Ql -

l  1, ..., f
kinetische Energie des Gesamtsystems
verallgemeinerte Koordinate
f
verallgemeinerte Last aus W   Ql ql
l 1
W - Arbeitszuwachs der eingeprägten Lasten
 ql - virtuelle Verschiebung für konstant gehaltene Zeit
freduzierter Freiheitsgrad
Sonderfall: Existenz einer potenziellen Energie U für alle verallgemeinerten Lasten

 L  L
0

 



q
q
l
 l
mit : L  T  U
36
Formelsammlung Technische Mechanik
Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1
Anm.: Aufgeführt sind jeweils die Beziehungen für Schwingungen
mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung.
Ist die Schwingung ungedämpft, dann gilt:
( Formelzeichen s. u. )
b0
0
D0
 Freie gedämpfte Schwingungen
m
Bewegungsgleichung
m 
s  b s  c s  0
O
andere Formulierung:
c

s  2 δ s   s  0
2
0
mit: b δ=
b
s
Dämpfung
b
Abklingkonstante
2m
02 
c
Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
m
s im raumfesten Koordinatensystem (analog für Winkel)
Lösung für schwache Dämpfung (

 D  1)
0
s(t)  eδt  C1 cos  t  C2 sin  t 
andere Formulierung:
s(t )  e δt C cos   t  α 
mit: C1, C2 - Integrationskonstanten aus Anfangsbedingungen:
t  0:
C
s  s0 , s  0
C12  C22
α  arctan
C2
C1
Phasenwinkel
37
Formelsammlung Technische Mechanik
Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung

02  δ2  0
1  D2
LEHRsches Dämpfungsmaß (Dämpfungsgrad)
b

D

0 2 m 0
s(t)
e  t
Schwingungsdauer
T
2

t
 e  t
Logarithmisches Dekrement
  ln
s  tk 
2πD

 T
2
s  tk  T 
1 D
tk
T
 Erzwungene gedämpfte Schwingungen
Voraussetzung: Harmonische Erregung
Lasterregung
Unwuchterregung
Bewegungserregung
F( t) =F0 sin t
mu
m
m
m
ru
O
t
O
O
c
b
s
c
b
s
c
b
s
B
u=u 0 sin t
sr =s-u
38
Formelsammlung Technische Mechanik
Erregungsart
Lasterregung
Erregungsfunktion
F (t )  F0 sin t
F0 - konstante Lastamplitude
Bewegungsgleichung
ms  b s  c s  F0 sin  t
Homogene Lösung
s  e δt C cos   t  α 
Anfangsbedingungen
t  0:
Partikuläre (stationäre) Lösung
sp 
s  s0 , s  0
F0
VI sin  t   
c
1
VI 
1  η 
2 2
VI max 
VI
 4 D 2 η2
1
2 D 1  D2
Vergrößerungsfunktion
D=0
D = 0,2


Phasenwinkel
  arctan
Frequenzverhältnis

Eigenkreisfrequenz (gedämpft)
  0
LEHRsches Dämpfungsmaß
D
2Dη
1  η2

0
1 D2
b
b



2 m 0 2 mc 0

39
Formelsammlung Technische Mechanik
Unwuchterregung
Bewegungserregung
F (t )  mu ru  2 sin t
u (t )  u0 sin t
 m  mu  s  b s  c s  mu ru 2 sin  t
m sr  b sr  c sr  m u0  2 sin t
s  e  δt C cos   t   
sr  e  δt C cos   t  α 
mu ru 2 - konstante Kraftamplitude
sp 
2
1   
2
VII max 
2
2
1
2D
1  4 D 2 2
VIII 
4 D 
2
1  2 
VIII max 
1  D2
VII
1
2D
2
 4 D 2 2
für D 1
VIII
D=0
D=0
D = 0,2
D = 0,2



  arctan


2Dη
1  η2
  arctan

  0
D
0
sr p  u0 VIII sin  t   
mu
ru VII sin  t   
m  mu
VII 
sr  sr 0 , sr  r
t  0:
s  s0 , s  0
t  0:
u0 - konstante Wegamplitude

b

2  m  mu  0 0
2 D η3
1  1  4 D 2  η2

0
1 D2
D
b
b



2 m 0 2 m c 0

40
Formelsammlung Technische Mechanik
Schwingungen mit einem Freiheitsgrad größer 1
Bewegungsgleichung
      
M q  B q  C q  F

mit: q  Vektor der verallgemeinerten Koordinaten

M  Massenmatrix
Komponenten:

B  Dämpfungsmatrix

C  Steifigkeitsmatrix

F  Vektor der Erregerlasten
k , l  1, ..., f
qk
mkl  mlk
bkl  blk
ckl  clk
Fk
Spezialfall: Freiheitsgrad f = 2, Erregerlast F1(t) = F0 sint,
keine Dämpfung
m11 q1  m12 q2  c11 q1  c12 q 2  F0 sin  t
m 21 q1  m 22 q2  c 21 q1  c 22 q 2  0
Anfangsbedingungen für t = 0 :
q1  q10
q1  10
q2  q20
q2  20
Lösungsanteil der freien Schwingung
q h1  qˆ1  C11 cos  t  C12 sin  t 
q h 2  qˆ 2  C 21 cos  t  C 22 sin  t 
Eigenfrequenzen i (i = 1, 2) und dazugehörige -moden (qˆ1 / qˆ2 )i
aus:
 c11  m11 2  qˆ1   c12  m12 2  qˆ2  0
c
21
 m21 2  qˆ1   c22  m22 2  qˆ 2  0
Lösungsanteil der erzwungenen Schwingung
q p1  C p1 q1 sin t
q p 2  C p 2 q 2 sin t
Amplituden q1, q2 aus:
11
 m11  2  q1   c12  m12  2  q2  F0
21
 m21  2  q1   c22  m22  2  q2  0
c
c
41
Formelsammlung Technische Mechanik
Geometrie- und masseabhängige Kennwerte
Schwerpunkt ebener Linienstrukturen
Allgemein
xS L 
1
x ds
l (l )
yS L 
1
y ds
l (l )
l
y
y
S
yS L
y s
 ds
(l )
s=l
x
ds
x
xS L
x
Spezielle Linien
Linie
Schwerpunktskoordinaten
y
y
b
S
yS L
x

xS L
a c
 cos 
2 2
b c
  sin 
2 2
xS L 
c
a
x
yS L
y
y
S
yS L
x
R
xS L
xS L  y S L 
2
R

x
Bei bekannten Werten für n Teillinien
1 n
xS L   xS Li li
l i 1
1 n
yS L   yS Li li
l i1
y
y
li
yS Li
yS L
SLi
x
S
n
l   li
i 1
xS L
xS Li
x
42
Formelsammlung Technische Mechanik
Schwerpunkt ebener Flächen
Allgemein
1
x dA
A (A)
xS A 
A
A
dA
y
1
y dA
A ( A)
yS A 
y
y
yS A
x
S
 dA
( A)
x
xS A x
Spezielle Flächen
Fläche
Schwerpunktskoordinaten
y
y
b
S
yS A
2
a
3
1
 b
3
xS A 
xS A
a
x
x
yS A
y
y
S
yS A
x
R
xS A  yS A 
4
R
3
x
xS A
Bei bekannten Werten für n Teilflächen
1
 xS Ai Ai
A i 1
1 n
  y S Ai Ai
A i 1
xS A 
yS A
y
n
_
yS A
y yi
Si
i
_
yS A
S
Ai
xi
x
n
A   Ai
i 1
_
xS A
xS Ai
x
43
Formelsammlung Technische Mechanik
Schwerpunkt von Körpern
Allgemein
xS m 
1
m
1
m
yS m 
zS m 
m
1
m

x dm

y dm

z dm
z
z
m
(V )
dm
S
y
(V )
x
(V )
yS m
 dm
x
(V )
z
zS m
y
xS m
x
y
Spezielle Körper
Körper
Schwerpunktskoordinaten
z
Keil(stumpf)
Pyramide(-nstumpf)
Quader
z
a2
b2
y
b1
x
zS m 
h
zS m
y
h a1b1  a1b2  a2b1  3a2b2
2 2a1b1  a1b2  a2b1  2a2b2
a1
x
z
Kegel(stumpf)
Pyramide(-nstumpf)
A2
z
h r12  2r1r2  3r22
zS m 
4 r12  r1r2  r22
S2
r2
h
S1
x
y
S
zS m
y
r1
x
A1
Bei bekannten Werten für n Teilkörper
1 n
xS m   xS mi mi
m i 1
1 n
yS m   yS mi mi
m i 1
1 n
zS m   zS mi mi
m i 1
n
m   mi
i 1

h A1  2 A1 A2  3 A2
4 A1  A1 A2  A2
44
Formelsammlung Technische Mechanik
Flächenmomente 2. Ordnung
Trägheitstensor
 I xx
I kl  
 I yx
I xy 
I yy 
dA 

( A)
 Axiale Flächenträgheitsmomente
2
I yy   x dA 

( A)
I xx 
mit :
y
2
I xy    x y dA
Zentrifugal- oder Deviationsmoment ( I xy  I yx )
( A)
Satz von STEINER
I xx  I xx  yS2 A
I yy  I yy  xS2 A
I xy  I xy  xS yS A
Spezielle Flächen
Flächenmomente 2. Ordnung
x , y -Koordinatensystem
x,y- Koordinatensystem
Fläche
y
h
y
x
S
b
x
y y
h
x
S
b
x
b h3
I xx 
12
h b3
I yy 
12
I xy  0
b h3
I xx 
3
h b3
I yy 
3
b2 h2
I xy  
4
b h3
I xx 
36
h b3
I yy 
36
b2 h2
I xy 
72
b h3
I xx 
12
h b3
I yy 
12
b2 h2
I xy  
24
45
Formelsammlung Technische Mechanik
y

4  4
I xx  I yy   
R
 16 9  
 4 1 4
I xy  
 R
9  8
y
R
S
x
x
y
I xx  I yy 
 4
R
16
1
I xy   R 4
8
 4
R
4
 4
D

64
 0,5 I p
I xx  I yy 
x
S
D=2R
Bei bekannten Werten für n Teilflächen
n

I xx   I xi xi  yS2i Ai
i 1
n

I yy   I yi yi  xS2i Ai
i 1
n

_
yS


I1,2 
2
S
x

_
xS
x
xSi
y
2

 I xx  I yy 
2

  I xy
 2 
2
02
S
Hauptträgheitsrichtungen
tan 201,02 
tan 01 
1
I xx  I yy
I xx  I 2
I kk
A
1
01
x
2
für eindeutige Hauptträgheitsrichtung 1
Trägheitsradius
ik 
1
2
2 I xy
I xy
xi
i
Hauptträgheitsmomente I1  I 2
I xx  I yy
Ai,Ixi xi ,Iyi yi ,Ixi yi
Si
_
yS
I xy   I xi yi  xSi ySi Ai
i 1
y yi
y
k  x, y
46
Formelsammlung Technische Mechanik
Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber
Torsion
It
Wt
 4
Ra  Ri4  

2

Da4  Di4 

32
 Ra4  Ri4

2 Ra
Querschnitt
Kreis (Ri=0),
Kreisring
Di=2Ri
 Da4  Di4
Da
16
Da=2Ra
It
1 n
li i3

3 i 1
(s
)
dünnwandig
offen
s
dünnwandig
geschlossen

i max
4 Am2
1
ds
( s )
2 Am min
Am
c1 h b3
h
Rechteck
(h>b)
b
h/b
1
c2 h b 2
1,5
2
3
4
c1
0,141 0,196 0,229 0,263 0,281
c2
0,208 0,231 0,246 0,267 0,282
47
Formelsammlung Technische Mechanik
Massenmomente 2. Ordnung
Trägheitstensor
 J xx

J kl   J yx
J
 zx
J xy
J yy
J zy
_
m
J xz 

J yz 
J zz 
z
S
_
_
x
 y
mit: J xx 
(m)

J yy 
(m)
J zz 

(m)
dm
_
yS
_
zS
_
xS
 z 2  dm 


2
2
 z  x  dm  Axiale Massenträgheitsmomente

2
2
 x  y  dm 

2
J xy    x y dm 

( m)

J xz    x z dm 
( m)

J yz    y z dm 

( m)
Zentrifugal- oder Deviationsmomente
( J kl  J lk
k , l  x, y , z )
Satz von STEINER
J xx  J xx   yS2  z S2  m
J xy  J xy  xS yS m
J yy  J yy   z S2  xS2  m
J xz  J xz  xS z S m
J zz  J zz   xS2  yS2  m
J yz  J yz  yS z S m
Trägheitsradius
jk 
J kk
m
y
k  x, y , z
48
Formelsammlung Technische Mechanik
Spezielle Körper (Masse m)
Körper
Massenmomente 2. Ordnung
l
y
Kreiszylinder
J xx  J yy 
S
zR x
y
x
y
R
Kreisscheibe
Jzz 
S x
z
y
Kreisring
(dünner
Kreiszylinder)
m 2
R
2
R
S
J zz  m R2
x
z
Kugel
z
y R
x
2
J xx  J yy  J zz  m R2
5
J xx 
y
S
b
Quader
m 2
R
2
m 2
l
12
m
Jxx  Jyy  l2
3
x
S
z
J zz 
Jxx  J yy 
l
y
Stab
m
3 R2  l 2 

12
z

x
c
a
m 2 2
b  c 
12
m 2 2
J yy 
a c
12
m
J zz   a 2  b2 
12

49
Formelsammlung Technische Mechanik
Bei bekannten Werten für n Teilkörper
J xx    J xi xi   y  z
i 1
n
2
Si
 m 
2
Si
i
2
Si
J yy    J yi yi   z  x
i 1
 m 
J zz    J zi zi   x  y
i 1
2
Si
 m 
n
2
Si
n
2
Si
i
i
n






J xy   J xi yi  xSi ySi mi
i 1
n
J xz   J xi zi  xSi zSi mi
i 1
n
J yz   J yi zi  ySi zSi mi
i 1
Hauptträgheitsmomente Ji (i =1,2,3) aus (vgl. Hauptspannungen):
J i3  S1 J i2  S 2 J i  S3  0
J1  J 2  J 3
mit: S1  J xx  J yy  J zz
S 2  J xx J yy  J yy J zz  J zz J xx  J xy2  J yz2  J zx2
S3  J xx J yy J zz  2 J xy J yz J zx  J xx J yz2  J yy J zx2  J zz J xy2

Hauptträgheitsrichtungen ei aus (vgl. Hauptspannungen):
J
xx
 J i  cix 
J xy ciy 
J xz ciz  0
J yx cix  J yy  J i ciy 
J yz ciz  0

J zx cix 

J zy ciy   J zz  J i  ciz  0




e

c
e

c
e

c
e
mit: i
ix x
iy y
iz z
ei2   cik2  1
(k )
Einheitsvektor der i-ten
Hauptträgheitsrichtung
k = x, y, z
50
Formelsammlung Technische Mechanik
Sonderfall: Zur x,y-Ebene symmetrischer Körper
(vgl. Flächenmomente 2. Ordnung)
Hauptträgheitsmomente
J1,2 
J xx  J yy
2
2

 J xx  J yy 
2

  J xy
2


J1  J 2
J 3  J zz
v
Hauptträgheitsrichtungen
tan 201,02 
tan 01 
2 J xy
2
S
J xx  J yy
J xy
J xx  J 2
y y
1
1
01
x
2
1
2
für eindeutige Hauptträgheitsrichtung 1
48;1;2;47;46;3;4;45;44;5;6;43;42;7;8;41;40;9;10;39;38;11;12;37;36;13;14;35;34;15;16;33;32;17;18;31;30;19;20;29;28;21;22;27;26;2
3;24;25
Formelzeichen
O
Koordinatenursprung im raumfesten Koordinatensystem
Z, z alphanumerisches Zeichen zur Symbolisierung einer
physikalischen oder mathematischen Größe
G
z
z´
z,x
z
z
Z
G
ez
Vektor bzw. Matrix z
(Orts-)Ableitung der Größe z
partielle (Orts-)Ableitung der Größe z nach x
Zeitableitung der Größe z
parallele Achse zur (durch den Schwerpunkt
gehenden) Achse z
bewegter Punkt Z im raumfesten Koordinatensystem
G
z-Komponente des Einheitsvektors e
Kombinationen von Symbolen sind möglich.
Die „doppelte“ Symbolik für Vektoren und Matrizen wird benutzt, weil
die ausschließlich „fette“ Darstellung in handschriftlichen Aufzeichnungen nicht eindeutig ist.
Farbsymbolik im Text
S. Z
Verweis auf Seite Z
Farbsymbolik in den Skizzen
Einheitsvektoren
Lasten, Spannungen, Drücke
Koordinaten, Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen
Stoffauswahl, didaktisch-methodische Aufbereitung, Layout, Satz und Druck:
apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi
e-Mail: [email protected]
Vorschläge für Berichtungen und Ergänzungen an obige e-Mail-Adresse werden gern entgegengenommen.
Der Autor ist Mitarbeiter an der Professur Elastizitätstheorie/Bruchmechanik:
Inhaber: Prof. Dr.-Ing. habil. H. Balke
Technische Universität Dresden
Fakultät Maschinenwesen
Institut für Festkörpermechanik
01062 Dresden
George-Bähr-Straße 3c
Zeunerbau Zimmer 343
[email protected]
[email protected]