pdf

Universität Freiburg
PD Dr. A. Jakoby
Sommer 2007
Repetitorium
Informatik III
Inhalt
1. Fromale Sprachen und Automaten
(a) 1. Vorlesung:
i.
ii.
iii.
iv.
Definition: DFA
Berechnung eines DFA
Definition: durch DFA akzeptierte Sprache
Was ist ∅ – was ist ε
(b) 2. Vorlesung:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Definition: REG, reguläre Sprachen, reguläre Operationen
REG ist abgeschlossen gegenüber Vereinigung
Definition: NFA, Ableitungsbaum, durch NFA akzeptierte Sprache
L(DF A) ⊆ L(N F A)
Potenzmengen Automat, L(N F A) ⊆ L(DF A)
(c) 3. Vorlesung:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Potenzmengen Automat, L(N F A) ⊆ L(DF A)
REG ist abgeschlossen gegenüber Vereinigung, Konkatenation, Stern-Operator
Definition: reguläre Ausdrücke
jeder reguläre Ausdruck beschreibt eine reguläre Sprache, Konstruktion des NFAs
Definition: verallgemeinerter NFA (GNFA)
(d) 4. Vorlesung:
i. Konstruktion: verallgemeinerter NFA (GNFA) mit k Zuständen auf k − 1 Zuständen
ii. GNFA in regulären Ausdrück
iii. Pumping-Lemma
(e) 5. Vorlesung:
i.
ii.
iii.
iv.
L-Äquivalenz
Satz von Myhill-Nerode, regulär versus nicht regulär
minimaler DFA über Äquivalenzklassen
Definition von CFL und Chomsky-Normalform
(f) 6. Vorlesung:
i.
ii.
iii.
iv.
CFL und Mehrdeutigkeit
Definition von CFL und Chomsky-Normalform
Umwandlung in Chomsky-Normalform
Wortproblem für CFL und CYK-Algorithmus
(g) 7. Vorlesung:
i. Definition PDA
ii. Umwandlung kontextfreie Grammatik in PDA
(h) 8. Vorlesung:
i. Umwandlung PDA in kontextfreie Grammatik
ii. Pumping-Lemma für CFL
(i) 28. Vorlesung:
i. Chomsky-Hierarchie
ii. kontextsensitive Grammatiken und NSPACE(n)
iii. allgemeine Grammatiken und TM
1
2. Berechenbarkeit
(a) 9. Vorlesung:
i. Definition DTM und k-Band DTM
ii. Konfiguration, Startkonfiguration, akzeptierende Konfiguration, verwerfende Konfiguration,
haltende Konfiguration
iii. Akzeptanz einer DTM
iv. DTM akzeptiert eine Sparche und DTM entscheidet eine Sprache
v. rekursiv (=entscheidbar) und rekursiv aufzählbar
(b) 10. Vorlesung:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
1-Band DTM versus k-Band DTM
Definition aufzählende DTM
rekursiv aufzählbar = es existiert eine aufzählende DTM
Church-Turing-These
10. Problem von Hilbert
entscheidbare Probleme für reguläre Sprachen
entscheidbare und unentscheidbare Probleme für kontextfreie Sprachen
(c) 11. Vorlesung
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
Definition abzählbar
ganze und rationale Zahlen sind abzählbar
reelle Zahlen sind nicht abzählbar
Definition Diagonalisierung
Definition Wortproblem für DTMs AT M
Definition rekursiv ko-aufzählbar
rekursiv = rekursiv aufzählbar + rekursiv ko-aufzählbar
Simulierende DTM (Simulator-DTM)
AT M ist rekursiv aufzählbar aber nicht rekursiv ko-aufzählbar
(d) 12. Vorlesung
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
Halteproblem, Postsche Korrespondenz-Problem
Definition berechenbare Funktionen
Definition Many-one Reduktion
A ≤m B + B ist entscheidbar =⇒ A ist entscheidbar
A ≤m B + A ist nicht entscheidbar =⇒ B ist nicht entscheidbar
A ≤m B + B ist rekursiv aufzählbar =⇒ A ist rekursiv aufzählbar
A ≤m B + A ist nicht rekursiv aufzählbar =⇒ B ist nicht nicht rekursiv aufzählbar
AT M ≤m HALTT M
Leerheitsproblem für DTMs ET M
(e) 13. Vorlesung
i. Definition NTM und k-Band DTM
ii. Konfiguration, Startkonfiguration, akzeptierende Konfiguration, verwerfende Konfiguration,
haltende Konfiguration (NTM)
iii. Akzeptanz einer NTM
iv. NTM akzeptiert eine Sparche und NTM entscheidet eine Sprache
v. NTM versus DTM
vi. TM-Äquivalenzproblem ist weder rekursiv aufzählbar noch rekursiv ko-aufzählbar
(f) 14. Vorlesung
i. Satz von Rice (Beweis über Reduktionen)
ii. Definition Orakel-TM
2
(g) 15. Vorlesung
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
Turing-Reduktion
A ≤T B + B ist entscheidbar =⇒ A ist entscheidbar
A ≤T B + A ist nicht entscheidbar =⇒ B ist nicht entscheidbar
letzte Aussagen gelten nicht für rekursiv aufzählbar
AT M ≤T HALTT M
Selbstreferenz, eine DTM die ihre eigene Kodierung ausgibt
Rekursionstheorem
eine DTM, die ihre eigene Kodierung erkennt und dann noch mehr tut
(h) 16. Vorlesung
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
Definition Kolmogorov-Komplexität
Schranken für die Kolmogorov-Komplexität
die Kolmogorov-Komplexität ist nicht berechenbar (Widerspruchsbeweis)
c-komprimierbar, c-unkomprimierbar, unkomprimierbar
Schranke für die Anzahl der unkomprimierbaren bzw. c-unkomprimierbaren Zeichenketten
Zufall und Kolmogorov-Komplexität
3. Komplexitätstheorie
(a) 17. Vorlesung
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
Definition Laufzeit, Zeitkomplexität, t-Zeit-TM
Definition Asymptotik, asymptotische Wachstumsklassen, einige Regeln für diese Klassen
Definition Klassen von Sprachen T IM E, T IM Ek−Band = T IM Ek
T IM Ek (t) ⊆ T IM E1 (t2 )
Definition Klassen von Sprachen N T IM E, N T IM Ek−Band = N T IM Ek
N T IM E1 (t) ⊆ T IM E1 (2O(t)
(b) 18. Vorlesung
i.
ii.
iii.
iv.
v.
k-Band-TM versus k 0 -Band-TM (für DTM und NTM)
Definition P und N P
Beispiele für Probleme in P
Beispiele für Probleme in N P: HAMPATH, COMPOSITES
Definition Verifizierer, Polynom-Zeit verifizierbar
(c) 19. Vorlesung
i. N P = Sprachen, die Polynom-Zeit verifizierbar sind
ii. SUBSET-SUM ist in N P
(d) 20. Vorlesung
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
CLIQUE und Koffer-Pack-Problem sind in N P
Definition Polynom-Zeit Many-one Reduktion, ≤m,p
Definition SAT, 3-SAT
3-SAT≤m,p CLIQUE
Definition N P-schwer und N P-vollständig
Konsequenzen aus dem Satz von Cook und Levin
(e) 21. Vorlesung
i. Reduktionen
ii. ∀L ∈ N P∃k ∈ N : L ≤m,p AN T IM E(nk )
iii. AN T IM E(nk ) ≤m,p AN T IM E(n) ≤m,p Parkett-Problem
3
(f) 22. Vorlesung
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
Reduktionen
Parkett-Problem ≤m,p FinPred ≤m,p SAT
Definition endliche Prädikate
Transitivität von ≤m,p
SAT in N P
SAT ist N P-vollständig
SAT ≤m,p 3-SAT
3-SAT und CLIQUE sind N P-vollständig
(g) 23. Vorlesung
i. Reduktionen 3-SAT≤m,p VERTEX-COVER, 3-SAT≤m,p HAMPATH
ii. VERTEX-COVER und HAMPATH sind N P-vollständig
(h) 24. Vorlesung
i. 3-SAT≤m,p SUBSET-SUM
ii. SUBSET-SUM ist N P-vollständig
(i) 25. Vorlesung
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
Approximation, Güte einer Approximation, 1 − ε-Approximation
polynomielles Approximationsschema (PTAS)
streng polynomielles Approximationsschema
Kein PTAS für Traveling-Salesperson-Problem (TSP)
∆-TSP und ein PTAS (ein Approximationsschema)
ein PTAS für VERTEX-COVER
Definition Platzkomplexität, SP ACE, N SP ACE
SP ACEk (s(n)) ⊆ SP ACE1 (O(s(n)))
Bandkompression für alle k ∈ N gilt SP ACE(s(n)) ⊆ SP ACE(max{n, s(n)/k})
SP ACE(s) ⊆ T IM E(2s )
einfache Simulation N SP ACE1 (s) ⊆ SP ACE3 (2O(s) )
(j) 26. Vorlesung
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
Satz von Savitch: N SP ACE1 (s) ⊆ SP ACE3 (s2 )
Erreicht-Konf(C, C 0 , S, T )
Definition PSPACE und EX PT IME
Definition PSPACE-schwer und PSPACE-vollständig
Definition QBF
QBF ist N P-schwer
(k) 27. Vorlesung
i.
ii.
iii.
iv.
QBF ist in PSPACE
QBF ist PSPACE-schwer und somit PSPACE-vollständig
Spiele als quantifizierte Ausdrücke
Spiele und PSPACE und EX PT IME
4