Theoretische Physik I - Institut für Theoretische Physik

Theoretische Physik I
Hausübung, Blatt 11
WS 03/04
Abgabetermin: 13.1.04
[H31] Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld
(2 Punkte)
Die relativistische Wirkung für ein Punktteilchen der Ladung e und der Masse m
im elektromagnetischen Feld ist gegeben durch:
Z τ2
Z τ2
√
e µ
2
dτ L(x, ẋ) .
dτ {−mc ẋ − c A (x)ẋµ } =
Sm [x] =
τ1
τ1
µ
Hierbei ist τ die Eigenzeit des Teilchens und ẋµ = dx
dessen Vierergeschwindτ
µ
digkeit. Aus dem Viererpotential A ergibt sich der Feldstärke-Tensor als F µν =
∂ µ Aν −∂ ν Aµ . Leiten Sie aus den zugehörigen Lagrange-Gleichungen die Viererkraft
.. µ
F µ = mx als Funktion von F µν und ẋν ab. Drücken Sie die räumliche Kompo~ und das magnenente der Viererkraft, F i (i = 1, 2, 3), durch das elektrische Feld E
~ aus. Identifizieren Sie somit die Lorentzkraft K
~ = d~p = 1 d~p = 1 F~ .
tische Feld B
dt
γ dτ √γ
Hinweis: Nachdem Sie alle Differentiationen ausgeführt haben, können Sie ẋ2 =
c verwenden1 .
[H32] Massive Photonen
(2+3 Punkte)
Wenn Photonen eine nichtverschwindende Ruhemasse m hätten, würde bei vorgegebener divergenzfreier Quelldichte j µ (∂µ j µ = 0) die Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes folgende Form haben:
L = − 41 Fµν F µν + 21 m2 Aµ Aµ − 1c jµ Aµ
,
wobei Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ist.
(a) Zeigen Sie, daß die Lagrange-Gleichungen
∂µ
∂L
∂L
−
=0
∂(∂µ Aν ) ∂Aν
auf folgende Gleichungen führen:
∂µ Aµ = 0 und (¤ + m2 )Aµ = 1c j µ
Hinweis:
∂(∂α Aβ )
∂(∂µ Aν )
= δαµ δβν .
~ einer im Ursprung
(b) Zeigen Sie, daß sich damit für das Potential Aµ = (φ, A)
ruhenden Punktladung q statt des Coulomb-Potentials das Yukawa-Potential
ergibt:
q e−mr
~ r) = 0 .
φ(~r) =
, A(~
4π r
1
Dies ist die selbe Situation wie bei den Lagrange-Gleichungen 1. Art für Systeme mit Zwangsbedin√
gungen. Vergleichen Sie dazu das entsprechende Kapitel der Vorlesung. Die Gleichung ẋ2 = c
erscheint hier als Zwangsbedingung, die eine bestimmte Parametrisierung der Weltlinie, nämlich
durch die Eigenzeit τ , festlegt.
Was ist der qualitative Unterschied zwischen Yukawa- und Coulomb-Potential
bezüglich der Reichweite der Potentiale?
Hinweise: Die Viererstromdichte j µ für eine Punktladung hat die Anteile
j 0 = cq δ 3 (~r) und ~j = 0. Lösen die statische Differentialgleichung für φ mittels Fourier-Transformation.
Die Fourier-Darstellung der δ-Funktion lautet
R d3 k i~k·~r
3
δ (~r) = (2π)3 e . Verwenden Sie
Z
∞
dk
0
π −mr
k sin(kr)
=
e
.
k 2 + m2
2
[H33] Feldstärken und Eichinvarianz
(1+1+1 Punkte)
Gegeben sei die Lorentz-invariante Wirkung S0 + S1 mit (c = 1)
Z
θ µνρλ
S0 =
d4 x {− 14 Fµν F µν + 32π
ε
Fµν Fρλ } ,
Z
S1 =
d4 x {−jµ Aµ } .
~ und das magnetische
(a) Drücken Sie die Wirkung S0 durch das elektrische Feld E
~ aus.
Feld B
(b) Zeigen Sie, daß die Feldstärke Fµν und somit die Wirkung S0 invariant unter
den Eichtransformationen
Aµ → A µ + ∂µ λ
sind, wobei λ eine beliebige (differenzierbare) Funktion ist. Welche Bedingung
ergibt sich für die Viererstromdichte j µ , wenn man auch für die Wirkung S1
Eichinvarianz fordert?
Hinweis: Vernachlässigen Sie Oberflächenterme.
(c) Zeigen Sie, daß der θ-Term in S0 nicht zu den Lagrange-Gleichungen (siehe
[H32]) beiträgt.
Vorlesung: O. Lechtenfeld - Übungen: R. Wimmer