Höhere Quantenmechanik

TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
PD Dr. M. Buballa
Institut für Kernphysik
Höhere Quantenmechanik
WS 2008/2009,
4. Übungsblatt
11./12. November 2008
Präsenzübungen:
Aufgabe 14:
In der Vorlesung wurde der nicht-relativistische Grenzfall der Dirac-Gleichung im elektromagnetischen Feld mit Hilfe des Ansatzes
ϕ(~r, t)
− ~i mc2 t
ψ(~r, t) = e
χ(~r, t)
∂
∂
ϕ| ≪ |mc2 ϕ|, |i~ ∂t
χ| ≪ |mc2 χ|, |qφ| ≪ mc2 untersucht.
und den Annahmen |i~ ∂t
a) Leiten Sie daraus die Pauli-Gleichung ab:
!
~q
~~
q~ 2
1
∂
~ + qφ ϕ
∇− A −
~σ · B
i~ ϕ =
∂t
2m i
c
2mc
~ = 1B
~ r und Vernachlässigung von B
~ 2 -Termen.
b) Vereinfachen Sie die Gleichung für A
0
2 0 ×~
~ und
~ = ~r × ~ ∇
Stellen Sie das Ergebnis mit Hilfe des Bahndrehimpuls-Operators L
i
~ = ~ ~σ dar.
des Spin-Operators S
2
Aufgabe 15:
Bei der Diskussion der freien Dirac-Gleichung haben wir gefunden, dass die Matrizen αk ,
k = 1, 2, 3, und β im Allgemeinen mindestens 4 × 4-Matrizen sein müssen. Etwas einfacher
stellt sich die Situation dar, wenn die Teilchen masselos sind, d.h. m = 0. Diesen Fall wollen
wir in dieser Aufgabe untersuchen.
a) Welche Dimiension müssen die Matrizen (und damit die Spinoren) jetzt mindestens
haben? Finden Sie eine solche Darstellung und geben Sie die resultierenden Lösungen
an. (Bemerkung: Die Gleichung wird Weyl-Gleichung genannt.)
b) Betrachten Sie die Dirac-Gleichung für masselose freie Teilchen in der chiralen Darstellung (siehe Aufgabe 7) und vergleichen Sie mit Aufgabenteil a).
Eine andere Gleichung für massive Spin- 21 Teilchen ist die Majorana-Gleichung
i~ ∂/ ψc − mcψ = 0 ,
wobei in Dirac-Darstellung ψc = γ 2 ψ ∗ .
c) Zeigen Sie, dass eine Lösung der Majorana-Gleichung auch +
Hinweis: Sie benötigen dazu
γ 2 (γ µ )∗ γ 2
=
1
γ µ.
mc 2
~
ψ = 0 erfüllt.
Hausübungen:
Aufgabe 16:
Eine systematische nicht-relativistische Entwicklung bietet die Foldy-Wouthuyson Transformation. Im Wesentlichen handelt es sich dabei um eine Entwicklung der Dirac-Gleichung
1
1
. Die Idee dabei ist, dass höhere Ordnungen in m
im nichtin Potenzen der inversen Masse m
relativistischen Limes immer unwichtiger werden (wie bei der Energie-Impuls-Beziehung
p
p
~2
+ . . . ). Für eine gewählte Ordnung O m1n sucht man nun
E = m2 c4 + p~ 2 c2 = mc2 + 2m
entkoppelte Gleichungen für die Komponenten ϕ, χ aus Aufgabe 14, indem man unitäre
Transformationen des Hamilton-Operators im Impulsraum durchführt.
a) Zeigen Sie, dass für eine unitäre Transformation ψ ′ = eiS ψ der Hamilton-Operator
durch H ′ = eiS (H − ~Ṡ)e−iS gegeben ist.
b) Sei nun S = −iθβ α~|~p·~p| . Dabei sind αk und β die bekannten Dirac-Matrizen und θ ein
beliebiger reeller Parameter. Berechnen Sie die Transformationsmatrix eiS .
Hinweis: Definieren Sie die Exponentialfunktion über ihre Potenzreihe und untersuchen Sie die ersten Summanden. Sie werden dann eine Gesetzmäßigkeit erkennen, die
es Ihnen erlaubt, die Reihe zu berechnen.
c) Transformieren Sie den Hamilton-Operator eines freien Teilchens H0 = c~
α · p~ + mc2 β
mit der in Aufgabe b) bestimmten Matrix. Wie muss θ gewählt werden, damit in der
neuen Basis die Gleichungen für ϕ und χ in Dirac-Darstellung entkoppeln? Welche
Ordnung O m1n besitzt dann S?
d) Sei nun H = βmc2 + H (0) mit einem beliebigen
H (0) der Ordnung O m10 . Nehmen
1
Sie ferner an, S sei von der Ordnung O m
. Zeigen Sie, dass dann gilt:
1
1 2
′
.
H = H + i[S, H] + mc S, [β, S] − ~Ṡ + O
2
m2
Man sortiert nun Terme in H, die die Gleichungen für ϕ und χ koppeln (,,ungerade”) bzw.
nicht koppeln (,,gerade”). Ungerade Terme enthalten eine ungerade Anzahl von Faktoren
αk , gerade Terme eine gerade Anzahl.
Konkret betrachten wir den Fall der Dirac-Gleichung im elektromagnetischen Feld, d.h.
~ + qφ ,
H = βmc2 + α
~ · (c~
p − q A)
|
{z
} |{z}
O
E
wobei O alle ungeraden und E alle geraden (mit Ausnahme von βmc2 ) Terme umfasst.
e) Führen Sie für diesen Hamilton-Operator eine unitäre Transformation durch
mit
1
2
S = −iβO/(2mc ). Vernachlässigen Sie dabei Terme der Ordnung O m2 . Welche
Ordnung hat O′ im Vergleich zu O?
Wiederholen Sie die Transformation auf H ′ mit S ′ = −iβO′ /(2mc2 ) und leiten Sie
aus dem Endergebnis die Pauli-Gleichung her.
k
σ
Hinweis: Sie benötigen σ ij = 2i [γ i , γ j ] = ǫijk
.
σk
f) Skizzieren Sie ein systematisches Vorgehen um ein entkoppeltes Gleichungsystem in
einer gegebenen Ordnung O m1n zu erhalten.
2