Quantenmechanik II

Prof. Dr. K. Schönhammer
WS 2003/4
Blatt 9
Übungen zur Vorlesung
Quantenmechanik II
Aufgabe 24: Kleinsches Paradoxon
Berechnen Sie den Reflexions- und Transmissionskoeffizienten für die Streuung
an der Potentialstufe qϕ(~x) = V0 Θ(x) im Rahmen der Klein-Gordon-Gleichung.
Machen Sie dazu den Ansatz ψ(x, t) = e−iEt ψ(x) mit
x < 0 : ψ(x) = eipx/h̄ + b e−ipx/h̄
x > 0 : ψ(x) = d eik̃x
Aufgabe 25: Wasserstoffatom im Rahmen der Klein-Gordon-Gleichung
Ein spinloses geladenes Teilchen bewege sich in einem elektrostatischen Potential
qϕ(~x) = −Ze2 /r; (r := |~x|).
a) Wie lautet die zugehörige Klein-Gordon-Gleichung?
b) Gehen Sie mit Hilfe des Ansatzes ψ(~x, t) = ψ(~x)e−iEt/h̄ zur zeitunabhängigen KG-Gleichung über.
c) Lösen Sie diese Gleichung mit dem Separationsansatz ψ(~x) = Ylm (θ, ϕ)ul,E (r)/r
und geben Sie die Energieeigenwerte an.
Aufgabe 26: Dirac-Gleichung in 1+1-Dimensionen
a) Zeigen Sie, dass im Fall einer Raumdimension die Forderung {γ µ , γ ν } = 2g µν 1̂N
mit zwei zweidimensionalen Matrizen erfüllt werden kann. Wählen Sie in der
“Standarddarstellung” γ 0 = σ3 und γ 0 reell. Wie lautet die Dirac-Gleichung
in einem Vektorpotential (Φ, A1 ) ? Schreiben Sie die Dirac-Gleichung in der
“Schrödingerform”.
b) Lösen Sie die “freie” Dirac-Gleichung.
c) Diskutieren Sie das Transformationsverhalten der Zweierspinore unter “boosts”.
d) Berechnen Sie die “1/c2 ”-Korrekturen zur zeitunabhängigen 1d-Schrödingergleichung ausgehend von der zeitunabhängigen Dirac-Gleichung, analog zur Vorlesung.