Stationäres Gleichgewicht

2.19 Stationäres Gleichgewicht und einfache Maschinen
∑
zip02/72/Vorl/mewae/MWed/2_19es2.tex 02.11.11
∑
⃗ ges = F
⃗ i = 0, M
⃗ ges = M
⃗i = 0
⃗ = 0 muß gelten F
Damit Körper ruht ⃗v = 0, ω
Je nach Verhalten unter Auslenkung unterscheidet man eine stabile ,indifferente und labile
Gleichgewichtgslage.
entspricht Auftreten von Kraft.entgegengesetzt zur Auslenkung, keiner Kraft, Kraft gleichgerichtet
zu einer Auslenkung δ⃗r = δr ⃗e r
⃗ = − ∂Wpot ⃗e r .
Einfach über δW pot δ⃗r > 0, = 0 und < 0 zu definieren, denn es ist F
∂δr
Z.B. Gleichgewichtslage eines Körpers auf Unterlage im Schwerefeld:
⃗δ⃗r = −−mge⃗z δr ⃗e r = mgδr ⃗e z⃗e r = mgδr cos α⃗e z , ⃗e r 
δW pot = −F
∂
W
pot
⃗=−
⃗e r = −mg cos α⃗e z , ⃗e r ⃗e r
F
∂δr
d.h. für cos α > 0, d.h. also für − π2 < α < π2 , entsteht durch die Auslenkung eine Komponente der
Schwerkraft, die der Auslenkung entgegengerichtet ist und den Körper in die Ausgangslage
zurücktreibt: ”stabiles Gleichgewicht”.
Für cos α = 0, also für α = π2 , tritt keine Kraftkomponente in Richtung der Auslenkung auf, der
Körper bleibt in der neuen Lage: ”indifferentes Gleichgewicht”.
Für cos α < 0, d.h. also für π2 < α < 32π , entsteht durch die Auslenkung eine Komponente der
Schwerkraft, die der Auslenkung gleichgerichtet ist und den Körper weiter aus derAusgangslage
treibt: ”labiles Gleichgewicht”.
Skizze
Beispiele zum Gleichgewicht: Stationäres Gleichgewicht an einfachen Maschinen, wie schiefe
Ebene, Hebel, Flaschenzüge, Getriebe.
Sinn solcher Anordnungen: erforderliche Kraft kann bei gegebener zu verrichtender Arbeit gemäß
dem Satz von der Erhaltung der Energie auf Kosten eines größeren Weges verringert werden
(Lebewesen oder mechanische Kraftquelle hat begrenzte Kraft, übt diese eben dann über einen
längeren Weg aus)
Schon besprochen: Schiefe Ebene:
∑
⃗ ges = F
⃗ i = 0. Die Komponente der Schwerkraft entlang der
Gleichgewichtsbedingung: F
⃗ g = −mg cos α⃗e z , ⃗e r ⃗e r = −mg sin α Steigung ⃗e r muss also durch eine gleich
schiefen Ebene F
⃗ zo = −F
⃗ g kompensiert werden, damit sich das System im
große, entgegengesetzte Zugkraft F
⃗ z1 > F
⃗ zo ausgeübt, so bewegt sich der Körper
Gleichgewicht befindet. Wird also eine Zugkraft F
⃗
⃗
h
mit ⃗
a = F z1m−F zo über die Schiefe Ebene hinauf, wobei die zurückzulegende Strecke l = sin α Steigung
⃗ z1 − F
⃗ zo → 0 ist die geleistete Arbeit somit W = mgh, ansonsten ist sie um die
beträgt. Für F
Beschleunigungsarbeit, die sich als W kin wiederfindet, höher.
Anwendungen für
Hebel einarmig:
∑ M⃗
i
=0:
zweiarmig:
Formal für beide Fälle gleich, unterscheiden sich durch r 1 ≶ 0
⃗ i = F i⃗e z , ⃗r i = r ⃗e y , M i = ⃗r i × F
⃗ i = r i F i ⃗e y × ⃗e z  = r i F i⃗e x in dieser Anordnung
F
i
⃗ 1 = mg⃗ = −mge⃗z
F
⃗ i = −r 1 mg + r 2 F 2 = 0
M
∑

⃗2 =
F
r1
r2
mge⃗z
Flaschenzug:
Differentialflaschenzug:
Die jeweils erforderlichen Kräfte lassen sich - besonders bei komplizierten Maschinen - vorteilhaft
mit dem Satz von der Erhaltung der Gesamtenergie nach dem Prinzip der virtuellen
Verschiebung berechnen: dabei wird angenommen, daß das System unter den wirkenden Kräften
eine kleine Verschiebung δ⃗r erfährt, wobei von aussen keine Arbeit geleistet wird. Dann ist
δW ges = 0, d.h. δW pot + δW kin = 0.
Im Gleichgewichtszustand: δW kin = 0, δW pot ges =
δW pot i = 0
⃗
z.B. ein- oder zweiarmiger Hebel mit Last bei r 1 , Gegenkraft bei ⃗r 2
(Koordinaten-Ursprung bei ⃗r i = 0 angenommen, ⃗r i = r i ⃗e y , also z.B. r 1 < 0, r 2 > 0,
⃗ i = F i⃗e z , also kann F i ≶ 0 sein, und δ⃗r i = δr i⃗e z mit δr i = r i δϕ, und δϕ
⃗ = δϕ ⃗e ϕ (hier
analog F
wird z.B. ⃗e ϕ = ⃗e x angenommen, δϕ kann dabei je nach Drehsinn wieder ≶ 0 sein), dann bekommt
δr i = r i δϕ für den ein- und den zweiarmigen Hebel das richtige Vorzeichen)
⃗ i δ⃗r i
⃗ 1 = −m 1 ge⃗z
δW pot i = −F
F
⃗
δ⃗r 1 = δr 1⃗e z = r 1 δϕ⃗e z (also z.B. > 0 am zweiarmigen Hebel für δϕ
im Gegen-Uhrzeigersinn)
δW pot 1 = m 1 gδr 1 = m 1 gr 1 δϕ
⃗ 2 = F 2⃗e z
F
δ⃗r 2 = δr 2⃗e z = r 2 δϕ⃗e z
δW pot 2 = −F 2 δr 2 = −F 2 r 2 δϕ
δW pot i = m 1 gr 1 δϕ − F 2 r 2 δϕ = 0
F 2 = m 1 g rr 12 und damit schliesslich
∑



∑
⃗ 2 = m 1 g r1 ⃗e z
F
r2
∑ M⃗
i
wieder für ein-und zweiarmiger Hebel, wie ja schon zuvor aus der Bedingung
= 0 abgeleitet wurde.
Daß das Prinzip der virtuellen Verschiebung aber ein mächtiger Formalismus ist, sieht man schon
besser, wenn man es auf Bewegungsvorgänge anwendet. Dann wird die bei einer kleinen
Verschiebung um δ⃗r in ein System hineingesteckte Arbeit als Beschleunigungsarbeit für eine
Veränderung der Bewegungsenergie des Systems verwendet .
δW pot ges = −δW kin ges
Es war ja: ΔW kin i = −ΔW pot i = ΔW i =
⃗ i δ⃗r i = m i r̈ i δ⃗r i
δ 2i i = F
[Zur Erinnerung: mit va, r =
∫
⃗r 2
⃗r 1
⃗ i dr⃗i = Δ
F
m i v 2i
2

m v2
m i v 2i
d
 2 
dr i
= miai 
⃗
= m i a i dr i = F i dr⃗i , das skalare Produkt sorgt dabei mit seinem Vorzeichen dafür, dass die
Bewegung z.B. verlangsamt wird, wenn auf einen in Richtung ⃗r bewegten Körper eine
2ar folgt
m v2
d 2i i 
entgegengesetzt gerichtete Kraft wirkt etc.]
δ
W pot i =
δW pot i =
= − δW kin i = −
∑
∑
∑ ∑
 ∑ −F⃗ δ⃗r + m ⃗a δ⃗r = 0 (*)

i
i
i i
=
d m i 2a i r i


2
dr
∑δ
m i v 2i
2
=−
∑ m ⃗a δ⃗r
i i
i
i
Als simples Beispiel dazu wieder den 2-armigen Hebel mit 2 Massen m 1 und m 2 im Schwerefeld,
der sich nicht im Gleichgewicht befindet, also rotieren wird:
Skizze!
⃗ = δϕ ⃗e x , ⃗a i = a i,⃗e z , a i = r i ϕ̈ etc.,
wie oben: δ⃗r i = δr i⃗e z mit δr i = r i δϕ, und δϕ
⃗
⃗
− F i δr i  =
δW pot i = m i gr i δϕ
⃗
⃗
m i a i δr i =
m i r i ϕ̈ δr i⃗e z⃗e z =
m i r i ϕ̈ r i δϕ =
m i r 2i ϕ̈ δϕ
2̈
Damit folgt aus (*): m i gr i δϕ = − m i r i ϕ δϕ = −ϕ̈ δϕ m i r 2i und weiter:
∑
∑
∑
ϕ̈ = −
∑
∑
∑
gm i r i
m i r 2i
∑
∑
=−
Mi
J
∑
∑
∑
∑
∑
⃗ i = M i⃗e x = ⃗r i × m i ⃗g Drehmoment der Masse m i bezüglich
mit M
∑
r i = 0 im Schwerefeld und
J=
m i r 2i Trägheitsmoment der beiden Massen bezüglich
r i = 0.
(Überwiegt z.B. Masse m 1 mit r 1 < 0, dann ist m 1 r 1 < 0, daher ϕ̈ > 0, entsprechend der
⃗ des Systems im Uhrzeigersinn etc.). .
tatsächlich auftretenden Winkelbeschleunigung α
α⃗ = −
∑
J
Mi
⃗e x
wie ja schon bei der Besprechung des Drehmoments abgeleitet wurde.
Weiteres Beispiel:
Gewicht m hängt an über eine Rolle aufgewickeltem Seil. Welche Beschleunigung erfährt die
Masse im Schwerefeld?
Ofensichtlich widersetzen sich hier die träge Masse des Gewichts und das Trägheitsmoment J der
Rolle der Bechleunigung!
⃗ i δ⃗r i  = δW
− F
pot i = mgδz
Bechleunigungsarbeit an der Masse: W a,m = mz̈ δz, an der Rolle: W a,r = Jϕ̈ δϕ = Jϕ̈ δrz = Jz̈ δr 2z
an einzelner in r rotierender Masse veranschaulicht:
W = Fδr = rF δrr = Mδϕ = Jϕ̈ δϕ
∑
∑
Damit nach (*): mgδz = −mz̈ δz + Jz̈ δr 2z  = −z̈ δz m +
J
 
r2
z̈ = −
mg
m+J/r 2
also so wie eine einzelne Masse m = J/r 2 , die in z-Richtung beschleunigt wird.
Die Rolle wirkt