6 - Institut für Theoretische Physik

Institut für Theoretische Physik
O. Lauscher, C. Mayrhofer
Dozent: T. Weigand
Universität Heidelberg
Sommersemester 2011
6. Übungsblatt zur Quantenmechanik
Abgabe der schriftlichen Aufgaben: 19/20.05.20111
Aufgabe 6.1 (4 Punkte):
Ein nichtrelativistisches zeitunabhängiges quantenmechanisches Einteilchensystem in einer Dimension kann durch die Schrödingergleichung
1 2
∂
P + V (X) |α, t0 , ti
(1)
i~ |α, t0 , ti = H|α, t0 , ti =
∂t
2m
beschrieben werden, wobei P und X der Impuls- bzw. der Ortsoperator sind. V (x) ist das
noch nicht näher spezifizierte Potential.
(a) Geben Sie die Schrödingergleichung in Ortsdarstellung an, und leiten Sie mit Hilfe des
Separationsansatzes (ψ(x, t) = u(x) exp(− ~i Et)) die zeitunabhängige Schrödingergleichung
für u(x) her.
(b) Sei nun das Potential V (x) gegeben durch
X
X
V (x) = f (x) +
bj Θ(x − xbj ) +
ai δ(x − xai ) x ∈ R ,
j
(2)
i
mit f (x) ∈ C(R) (d.h. stetig), Θ die Heaviside-Funktion2 und δ die Deltadistribution.
Zeigen Sie durch Umschreiben der zeitunabhängigen Schrödingergleichung auf eine
Integralgleichung, dass die Wellenfunktion u(x), mit |u(x)| < ∞, auf ganz R stetig
ist.
(c) Weiters zeigen Sie, dass u(x) ∈ C 2 (R\{xai } ∪ {xbj }) (d.h. 2 mal stetig differenzierbar)
ist.
(d) Für {xai }∩{xbj } = ∅ zeigen Sie, dass sich an den Stellen xai die linksseitige Ableitung
um 2~m
2 ai u(xai ) von der rechtsseitigen unterscheidet und an den Punkten xbj nur die
zweite Ableitung einen Sprung (um 2~m
2 bi u(xbj )) erfährt. Wie sieht die Stetigkeitsbedingung an einem Punkt aus, an dem die Stufe einer Theta-Funktion und der Peak
einer Delta-Funktion zusammenfallen?
Aufgabe 6.2 (10 Punkte):
Gegeben sei ein unendlich hoher eindimensionaler Potentialtopf der Breite 2a, siehe Abbildung 1:
(a) Nehmen Sie zuerst an, dass der Potentialtopf nur eine endliche Höhe V0 besitzt und
zeigen Sie, dass für Energieeigenzustände mit V0 > E > 0 die Wellenfunktion im
Bereich (−∞, −a] ∪ [a, ∞) exponentiell anwächst oder verschwindet. Welche Lösung
entspricht einem normierbaren Zustand? Welche Randbedingung ergibt sich im Limes
V0 → ∞?
1
2
Startend von dieser Übung können die Lösungen in Zweiergruppen abgegeben werden.
0 für − ∞ < x − x0 < 0
Θ(x − x0 ) :=
1 für 0 ≤ x − x0 < ∞
1
(3)
6
V
∞
∞
-
a
a
x
Abbildung 1: Unendlich hoher Potentialtopf
(b) Zeigen Sie, dass der Paritätsoperator P (P 2 = 1, PPP = −P und PXP = −X) mit
H vertauscht.
(c) Geben Sie die Schrödingergleichung in Ortsdarstellung im Bereich (−a, a) an, und
bestimmen Sie mit den unter (a) abgeleiteten Randbedingungen die Energieeigenzustände.
(d) Was ist der Energie- und Paritätseigenwert des Grundzustands? Gibt es eine Entartung der Energieeigenzustände, und wird diese gegebenen Falls durch die Parität
aufgehoben?
Aufgabe 6.3 (6 Punkte):
Gegeben sei eine eindimensionale Potentialstufe der Höhe V0 , siehe Abbildung 2. Geben Sie
6V
V0
-
x
Abbildung 2: Eindimensionale Potentialstufe
die Schrödingergleichung in Ortsdarstellung an und bestimmen Sie (mit den in Aufgabe 6.1
abgeleiteten Randbedingungen) die Energieeigenzustände.
Aufgabe 6.4 (Präsenzübung - besprochen am 19./20.5. - nicht schriftlich abzugeben):
Zum Zeitpunkt t = 0 sei gegeben ein Gaußsches Wellenpaket wie in Aufgabe 5.1 von
Übungsblatt 5. Führen Sie für diesen Zustand |ψ(t = 0)i die Zeitentwicklung (Annahme
eines freien Teilchens der Masse m) durch und berechnen Sie die Unschärferelation in
2
Abhängigkeit von t. Für die Zeitentwicklung von |ψ(t)i zeigen Sie, dass für einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator H
i
U(t) = exp(− H t)
~
(4)
die Differenzialgleichung (7) von Übungsblatt 5 (d.h. die Schrödingergleichung) erfüllt,
und geben Sie H für ein freies Teilchen an. Des weiteren berechnen Sie die Kommutatoren
[X, H] und [P, H] und zeigen Sie mit deren Hilfe, dass für das freie Teilchen nur ∆x
zeitabhängig ist. Geben Sie die Orts-Impuls-Unschärfe an.
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