Kurzfassung Vorlesung 2
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Theoretische Physik III (Elektrodynamik)
Prof. Dr. Th. Feldmann
April 12, 2013
Kurzzusammenfassung – Vorlesung 2 vom 12.4.2013
Magnetische Felder und Kräfte
~ umgeben.
• elektrischer Strom (I = dQ/dt) von Magnetfeld B
• Kraft auf (bewegte) Probeladung in elektr. und magn. Feld:
~
v
~ + ×B
~
F~ = q E
c
(1)
– Relativgeschwindigkeit ~v auf Lichtgeschwindigkeit c normiert
⇒ elektr. und magn. Feld haben gleiche Einheiten (per Konvention!)
~
– elektr. Feld: Coulomb-Kraft parallel zu E
~ und ~v (wegen Vektor-Kreuzprodukt)
– magn. Feld: “Lorentz-Kraft” senkrecht zu B
• elektrische Stromdichte (bewegte Ladungsdichte) Ursache für magn. Felder
~ x) = 1
B(~
c
Z
0
~x − ~x
d x j(~x ) ×
|~x − ~x 0 |3
3 0~
0
(2)
“Biot-Savart–Gesetz”
– Einheiten: [j] = [ρ v] = [esu cm−2 s−1 ]
– 1/r2 –Abfall, Superpositionsprinzip
0
– senkrecht auf ~j und ~r = ~x − ~x
• Magnetfelder sind stets quellenfrei (im Gegensatz zum elektr. Feld)
~ x) ≡ 0
divB(~
1
(3)
~
• Andererseits gilt für die Rotation (wenn ∂∂tE = 0; im Gauß-System)
∂
∂
4π ~
∂
~
~
~
,
,
× (B1 , B2 , B3 ) =
rotB ≡ ∇ × B ≡
j
∂x1 ∂x2 ∂x3
c
(Gauß) (4)
aber
~ x) ≡ 0
rotE(~
(für
~
∂B
∂t
= 0) ,
(5)
d.h. “elektro-statisches Feld ist wirbelfrei” (vgl. weiter unten).
Maxwell-Gesetze und Kontinuitätsgleichung
• Gesetzmäßigkeiten werden durch die Maxwell-Gleichungen zusammengefasst und
ergänzt. Im Vakuum gilt:
~ x, t) = 4π ρ(~x, t) ,
divE(~
~ x, t) ≡ 0 ,
divB(~
(6)
(7)
und
1
c
1
~ x, t) −
rotB(~
c
~ x, t) +
rotE(~
∂ ~
B(~x, t) = 0 ,
∂t
∂ ~
4π ~
E(~x, t) =
j(~x, t) ,
∂t
c
(8)
(9)
Die Terme mit expliziter Zeitabhängigkeit entsprechen dem Induktionsgesetz nach
Faraday (1831) bzw. dem Verschiebestrom nach Maxwell (1864).
~ und B)
~
– gekoppelte Differentialgleichungen (ergibt Bewegungsgleichungen für E
– Modifikation in Anwesenheit von (z.B. elektrisch polarisierbaren) Medien
– Superpositionsprinzip durch Quanteneffekte gebrochen.
• Aus Maxwell folgt unmittelbar Kontinuitätsgleichung
∂
ρ(~x, t) + div~j(~x, t) = 0
∂t
(10)
(Beziehung zwischen zeitlicher Änderung der Ladung und Quelle für Stromfluss)
2. Mathematische Grundlagen (Vektoranalysis)
Skalare und Vektoren
• “Skalare”: Invariant unter Drehungen im Raum (hier 3-dim. phys. Raum; allgemein
Vektorraum). Beispiel: Betrag des Abstandvektors.
2
• “räumliche Vektoren”: Transformation in kartesischen Koordinaten gemäß
0
x1
x1
0
x2
x02 = D ~x
~x =
−→ ~x =
x3
x03
(11)
mit orthogonaler Drehmatrix, DT D = 1. Beispiel: Kraftvektor, elektrisches Feld.
• Kompakte Notation:
x0i =
X
Dij xj ≡ Dij xj
(Summenkonvention)
j
• Skalarprodukte bleiben invariant,
0
0
~x · ~y ≡ ~x T ~y ≡ xi yi −→ ~x · ~y = ~x T DT D~y = ~x · ~y .
Betrag eines Vektors: r2 = |~x|2 = ~x · ~x.
• Kartesische Koordinaten aus xi = ~x·~ei mit 3 orthogonalen Einheitsvektoren {~e1 , ~e2 , ~e3 },
so dass ~ei · ~ej = δij mit “Kronecker-δ”–Symbol,
1 , i=j
δij =
0 , i 6= j
• Kreuzprodukt für 3-dim. Vektoren ergibt wieder (Pseudo-)Vektor:
x2 y 3 − x3 y 2
~x × ~y ≡ x3 y1 − x1 y3 = −~y × ~x ,
bzw. (~x × ~y )i = ijk xj xk ,
x1 y 2 − x2 y 1
mit antisymmetrischen Levi-Cività–Tensor
ijk zyklisch
+1 ,
−1 ,
ijk anti-zyklisch
ijk = −kji =
0 , mind. 2 gleiche Indizes
• Eigenschaften des Kreuzproduktes lassen sich auf
ijk ilm = δjl δkm − δjm δkl
zurück führen (vgl. Übung).
Räumliche Ableitungen auf Feldern
In der Elektrodynamik haben wir es mit feldwertigen Funktionen zu tun, d.h. der Wert von
~ = E(~
~ x). Daz.B. dem elektrischen Feld ist eine Funktion des betrachten Ortspunktes, E
raus resultieren verschiedene Möglichkeiten, Ableitungsoperatoren zu definieren, die wieder
auf skalare oder vektorielle Größen führen.
3
(a) Gradient/Gradientenvektor eines skalaren Feldes
Betrachte skalare Feldfunktion
f : ~x ∈ R3 7→ f (~x) ∈ R (oder auch C)
(12)
Dann
~ (~x) ≡
gradf (~x) ≡ ∇f
∂f
∂x1
∂f
∂x2
∂f
∂x3
∂1 f
∂2 f ≡ ~ei ∂i f ∈ R3
≡
∂3 f
(13)
~ = ~ei ∂i .
mit “Nabla-”(Differential-)Operator ∇
• Das totale Differential der Funktion f ist demnach
df =
∂f
∂f
∂f
dx1 +
dx2 +
dx3 ≡ (gradf ) · d~x = (∂i f ) dxi
∂x1
∂x2
∂x3
(14)
• Produkt-/ und Kettenregel (f, g skalare Felder, F skalare Funktion)
~ (f (~x) g(~x)) = g(~x) ∇f
~ (~x) + f (~x) ∇g(~
~ x) ,
∇
~ (g(~x)) = F 0 (g(~x)) ∇g(~
~ x) .
∇F
(15)
(16)
~ selbst transformiert wie Vektor unter Drehungen.
• gradf = ∇f
(b) Divergenz eines Vektorfeldes
Betrachte vektorwertige Feldfunktion
A1
~ = A2 : ~x ∈ R3 7→ A(~
~ x) ∈ R3
A
A3
(oder auch C3 )
(17)
Dann
~ · A(~
~ x) ≡
divA(~x) ≡ ∇
∂A1 ∂A2 ∂A3
+
+
= ∂i Ai (~x) ∈ R
∂x1
∂x2
∂x3
(18)
• Divergenz eines Vektorfeldes ist selbst eine skalare Feldfunktion von ~x.
~ T = ~e T ∂i .
• Die Divergenz entspricht gerade dem transponierten Nabla-Operator, ∇
i
• Es gelten wieder entsprechende Produkt- und Kettenregeln (siehe Übung).
(c) Rotation eines Vektorfeldes
Für Vektorfelder können wir durch Ableiten auch eine vektorwertige Feldfunktion definieren,
~ x) ≡ ∇
~ × A(~
~ x) ≡ ijk ~ei ∂j Ak ∈ R3
rotA(~
4
(19)
