6 Maxwell`sche Gleichungen

Universität Leipzig, Fakultät für Physik und Geowissenschaften
Vorlesung zur Experimentalphysik III
Wintersemester 2008/2009
Prof. Dr. Josef A. Käs
Vorlesungsmitschrift zur Vorlesung vom 10.11.2008
6
6.1
Maxwell’sche Gleichungen
Die Gleichungen
Farady
=⇒
~ =−
rotE
James Clark Maxwell
~
∂B
∂t
Induktionsgesetz
~
~ = µ0~j + 1 · ∂ E
Verschiebungsdichte
rotB
2
c
∂t
~ = ρ
Coulombsches Gesetz / Elementarladung
divE
ǫ0
~ =0
divB
Ströme sind Quelle des Magnetfeldes
6.2
Elektromagnetische Wellen
I~ = 0
im leeren Raum: ρ = 0
~ =−
rotE
~
∂B
∂t
~ =0
divE
~
1 ∂E
~ =0
·
divB
c2 ∂t
Bastle mir elektromagn. Wellen:
~
E-Feld:
Ex = Ey = 0
E0 y−ct
ct ≤ y ≤ ct + a
a
Ez =
E0 2a−y+ct
ct + a ≤ y ≤ ct + 2a
a
~ =
rotB
~
B-Feld:
By = Bz = 0
B0 y−ct
a
Ex =
B0 2a−y+ct
a
ct ≤ y ≤ ct + a
ct + a ≤ y ≤ ct + 2a
Maxwell-Gleichungen erfüllt?
~ =0
divE
X
∂Ez
=0
∂z
!
~
∂B
∂t
ct ≤ y ≤ ct + a:
~ =−
rotE
~ =
rotE
E0
~ex
a
~ =0
divB
∂Bx
=0
∂x
X
!
~ =
rotB
1 ∂E
·
c2 ∂t
~
∂E
c
= − E0~ez
∂t
a
1
~ =−
rotB
~
∂B
c
= − B0~ex
∂t
a
B0
~ez
a
E0
ex = − − ac B0~ex a ~
B0
− a ~ez = c12 − ac E0~ez
=⇒
=⇒
E0 = cB0
analog für ct + a ≤ y ≤ ct + 2a
elektromagn. Welle:
I. Ausbreitungsgeschwindigkeit c, Wellenform unverändert
~ B
~
~ ×B
~
II. E⊥
Ausbreitungsrichtung E
III. E = cB
6.3
Wellengleichung
~ =−
rotE
~
∂B
∂t
~
~ = rot − ∂ B
rot rotE
∂t
!
2~
~ −∆E
~ =−1 ·∂ E
grad |div
E
{z }
c2 ∂t2
=0
~
∂2E
~ = 1 ∆E
~
= c2 ∆E
2
∂t
µ 0 ǫ0
analog:
~
∂2B
~
= c2 ∆B
∂t2
elektromagn. Wellen, allgemein:
~ =E
~ 0 f (~k~x − ct)
E
für eine beliebige C 2 -Funktion.
Wiederholung:
2
2
1
Homogene Wellengleichung:
· ∂∂tU2 − ∂∂xU2 = 0
(1-dim.)
c2
Lösung:
U = cos(kx − ωt + ϕ) mit ω = |k| c
Komplexe Lösung:
U = ei(kx−ωt+ϕ)
Außerdem wenn f , g Linearkombinationen von Kosinus-Funktionen
sind:
R
i(kx−ωt+ϕ)
Allg. Lösung:
U = f (x + ct) + g(x − ct) = ℜ dkU e
Lösungen der Maxwell-Gleichungen im leeren Raum erfüllen Wellengleichung:
~ = µ 0 ǫ0
∆E
∂2E
∂t2
=⇒
Ausbreitungsgeschwindigkeit:
Welle ohne Trägermedium!
Lichtgeschwindigkeit ist eine Naturkonstante.
Lösung:
~ =E
~ 0 f (~k~x − ct)
E
2
c=
1
µ 0 ǫ0
Lichtgeschwindigkeit
zusätzliche Forderungen aus Maxwell-Gleichungen:
~ = ~kE
~ 0 f ′ (~k~x − ct) = 0
∇E
=⇒
=⇒
~ ~k = 0
E
~
E-Feld
steht senkrecht zur Propagationsrichtung, Transversalwelle.
~ = ~k × E
~ 0 f ′ (~k~x − ct) = −
∇×E
~
∂B
∂t
~ = 1 ~k × E
~
B
c
magn. Feld ⊥ elektr. Feld ⊥ Ausbreitungsrichtung
=⇒
E0 = cB0
Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
1
ǫ0 E 2 + c2 B 2
2
1 2
ωEM = ǫ0 E 2 =
B
µ0
ω=
Poynting-Vektor
~ =E
~ ×H
~
S
Energiestromdichte
~
I = S
Intensität
W
m2
Polarisation
Eine Transversalwelle ist durch 2 Richtungen charakterisiert: Den wellenvektor (Ausbreitung)
und den darauf senkrecht stehenden Feldvektor des elektrischen Feldes. Dies läßt jedoch noch
einen Rotationsfreiheitsgrad offen:
[I] =
• lineare Polarisation: Feldvektor zeigt immer in eine feste Richtung
• zirkulare Polarisation: Feldvektor dreht sich beim Voranschreiten der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und ändert seinen Betrag nicht
• elliptische Polarisation: Feldvektor rotiert um den Wellenvektor und ändert dabei periodisch den Betrag. Die Spitze des Feldvektors beschreibt dabei eine Elipse.
6.4
Elektromagnetische Felder in Materie
Permittivität ǫ:
elektromagn. Felder verschieben Ladungen in Materie und bauen somit selbst ein Feld auf
ǫ ist die Permittivität oder dielktrische Leitfähigkeit. Sie beschreibt die Durchlässigkeit eines
Materials für elektrische Felder
ohne Matrier:
elektr. Feldkonstante
ǫ0 =
1
AS
= 8, 85 · 10−12
2
µ0 c
VM
3
in Dielektrika:
In isolierenden Stoffen orientieren sich die Ladungsträger des Isolationsmaterials am elektr.
Feldvektor und bilden ein Polarisationsfeld, das dem äußeren Feld entgegenwirkt.
~
~
~ =D = D
E
ǫ
ǫr ǫ0
ǫr =
ǫ
ǫ0
rel. Permittivität
D : elektr. Erregung
ǫ
ǫr =
=1+χ
χ : elektr. Suzeptibilität
ǫ0
In kristallinen Strukturen mit anisotroper Ordnung wird ǫr zum Tensor.
Dispersion:
Bei Wechselfeldern bilden sich Potensationsfelder, die gegebenenfalls der angelegten äußeren
Feldgröße um einen gewissen Phasenwinkel nacheilen und frequenzabhängig reagieren.
ǫr (ω) = ǫ′r (ω) + iǫ′′r (ω)
Permeabilität µ:
Durchlässigkeit von Materie für magnetische Felder.
~ = µH
~
B
~ : magn. Flußdichte
B
~ : magn Feldstärke
H
im Vakuum: µ0 magn. Feldkonstante
µ
µr =
=1+χ
µ0
µr : relative Permeabilität
χ : magn. Suzeptibilität
Diamagnetische Stoffe: z. B. Stickstoff, Kupfer, Wasser
0 ≤ µr < 1
Wegen Lenz’scher Regel geringfügig kleiner als im Vakuum
Supraleiter: µr = 0
Paramagnetische Stoffe: z. B. Luft, Platin
µr > 1
In paramagnetischen Stoffen richten sich die atomaren magnetischen Momente in externen Magnetfeldern aus und verstärken damit das Magnetfeld
Ferromagnetische Stoff: z. B. Eisen, Cobalt, Nickel
µr ≫ 1
4