Ausgewählte Kapitel der Physik

Ausgewählte Kapitel der Physik
Mechanik
Das Gesetz von Hooke
Mechanik
• Werkstoffprüfung
• Gesetz von Hooke
Die Kraft auf einen Körper kann neben einer
Beschleunigung zu einer Deformation führen.
Der Widerstand gegen eine Deformation bzw.
Formänderung hängt von vielen Parametern ab:
–Vom Werkstoff,
–dessen Vorbehandlung und Form
–Kraftverlauf (örtlich und zeitlich)
Das Hookesche Gesetz formuliert den
Zusammenhang zwischen Kraft und Formänderung
im linear-elastischen Bereich.
Aus der Hookeschen Gerade F = k * Dx lässt sich
der E-Modul als Werkstoffkenngröße bestimmen.
In allgemeiner Formulierung geht man von der Kraft
zur mechanischen Spannung Sigma s=F/So über
und bezieht die Längenänderung auf eine
bestimmte Anfangs-Messlänge : DL / Lo = e
In der Messtechnik wird meist die Deformation e
erfasst und daraus die Kraft bestimmt.
Typisches Spannungs- Dehnungs-Diagramm
einer Stahlprobe.
Die Formel s = E * e gilt für den ersten linearen
Bereich, dort ist die Steigung E=konstant. Der
anschließende plastische Verformungsbereich
und die weitere Festigkeitszunahme bis zum
Bruch benötigt komplexere Formulierungen.
Mechanik
• Werkstoffprüfung
Universal- Zugprüfmaschinen. Rechts steht ein
hydraulisch angetriebenes Modell aus den
Zwischenkriegsjahren und ist mitunter noch im
Einsatz.
Dieses Modell arbeitet mit kontinuierlichem
Druckaufbau (kraftgesteuert).
Die Datenerfassung erfolgt durch Ablesen des
Zeigers und manueller Weiterverarbeitung.
Neuere Zugprüfmaschinen arbeiten weggesteuert
mit gleichmäßiger Dehnung. Die Krafteinleitung
erfolgt bei diesen Maschinen über einen
Spindeltrieb.
Außerdem besitzen Sie elektronische Weg- und
Druckaufnehmer deren Daten online weiter
verarbeitet werden können.
Neuere Weggeber und Dickenmesser arbeiten
berührungslos mit einem Laserscanner .
Mechanik
• Werkstoffprüfung
•
Universal-Zug-Druck-Biege-Prüfmaschine
mit Spindelantrieb (weggesteuert)
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A… Querhaupt
B…Kraftaufnehmer
C…Oberer Prüfraum
D…Kugelumlaufspindel
E…Traverse
F…Kraftaufnehmer
G…Unterer Prüfraum
H…Säule
I…Arbeitsplatte
K…Sockel
L…Untersetzungsgetriebe
M…Tachogenerator
N…Scheibenläufermotor
O…Biegevorrichtung
P…Keilspannzeug
Mechanik
• Werkstoffprüfung
Die Probenformen und das Prüfverfahren sind
weitgehend genormt.
Vor der Prüfung werden auf der Probe Markierungen
angebracht, deren Abstand nach dem Reißen der
Probe wieder ausgemessen wird.
So wird die Bruchdehnung ermittelt.
Wird noch vor dem Reißen der Probe wieder entlastet,
so beobachtet man eine plastische bleibende
Verformung.
Wenn bei einer Belastung 0,2% plastische Verformung
auftritt, dann wird dieser Spannungswert als Rp0,2
registriert. Der maximale Spannungswert heißt Rm.
Der elastische Teil der Verformung bildet sich wieder
zurück.
Mechanik
• Federwaage
Die Federwaage beruht auf dem Hookeschen Gesetz, denn die
Dehnung der Feder bleibt im elastischen, linearen Bereich.
Kraft F und Verlängerung x hängen linear zusammen gemäß:
DF = D . Dx
Die Proportionalitätsfaktor D heißt Federkonstante und
charakterisiert die vorliegende Feder. Je kleiner D ist, desto
weicher und empfindlicher ist die Feder.
z. B.: D=1kN/cm wie weit würde sich die
Feder bei mir (85kg) ausziehen lassen?
Mechanik
• Dehnmessstreifen
Trägerfrequenz-Verstärker für DMS
Linearitätsfehler < 0,005%
● für Druck- und Zugkräfte
geeignet
● für Vollbrücken ≥120Ω
geeignet
● einstellbare
Übertragungsfrequenz
15Hz; 1,3kHz; 3,5kHz
● einstellbarer Ausgang
0…±10V, 0..±20mA,
4…20mA
● Nullpunkt und
Verstärkung einstellbar ,
grob / fein
● Versorgung 24VDC
● Schutzklasse IP65
● Schraubmontage
geeignet
Mechanik
• Federpendel
Ein Zustand wird herausgegriffen:
Die Masse M bewegt sich nach unten mit einer bestimmten Geschwindigkeit.
Wegen der Massenträgheit möchte sich die Masse weiterbewegen, allerdings
nimmt mit zunehmender Dehnung die Rückzugskraft der Feder zu.
Daraus resultiert eine verzögerte Bewegung
F = m.a = -D*x
x ist dabei der Abstand zur Ruhe-Lage der Masse.
Ohne Berücksichtigung einer Reibung ergibt dies die Differentialgleichung:
d²x/dt² + D/m *x = 0
Eine Lösung ist
x(t) = A.sin(w*t)
eingesetzt in die DGL:
-A. w² sin (w.t) + D/m .A.sin(w.t) =0
Dies stimmt, wenn
w² = D/m
Wegen : w=2p.f = 2p/T folgt
T² = (4p²/D) .m
Werden nun verschiedene Massen m an die Feder angehängt und die jeweiligen Schwingungsdauern
gemessen. Die Messwerte müssten auf einer Geraden liegen, wenn auf der Ordinate T² und auf der Abszisse m
aufgetragen wird. Aus der Steigung der Geraden (=4p²/D) kann die Federkonstante ermittelt werden.
Die massebehaftete Feder trägt sie mit einer effektiven Masse von 1/3 der Federmasse zur
Bewegungsgleichung bei. Die Gerade ist daher um diesen Betrag nach links verschoben. (Laborübung)
Mechanik
• Drehpendel
Bei f est st ehender Sc hubst ange lautet die D GL der
Bewegung:
W ink elbes cheunigung = Bremsmoment + Federmoment
JA  
C w  °D 
 heißt Abklingk ons tant e,
W enn auch noch ein periodisc hes Anregungsm oment wo ist die Eigenf requenz des ungedämpf t en
Sy s tems
Ma =Mo *c os (w*t ) dazuk ommt , ergibt s ich f olgende
die Lösung lautet daher
Gleic hung
2
d
  C   °D 
JA 
2
dt
dt
d

M o  co s w a t
 ( t)

durch das Trägheits mom ent div idiert , ergibt dies :
2
2
d
  2     w o  
2
dt
dt
d

Fo  co s w a t
a
wo
2
dabei wurden die Aus drück e:
Fo =Mo / JA eingef ührt .

1

2
2
2

  w a     w a 
1   w     2 w  w 
  o   o o


2
und
C /2JA , °D /J
A =w
Fo

 a co s w a t  


2
2
w w 
a 
 o

arctan
2  w a
Mechanik
• Drehpendel
Angenommen man hätt e die Abk lingkons t ante
 und die E igenf requenzwo aus
aus dem Abklingen einer einmaligen Anregung ermit t elt
   0 .5s
1
w o   2 s
1
wo
<----
1

und die mitwa periodis che Moment einleitung wäre
w a   1 s
a 
Fo   1


2
 k g m 
1
Fo
wo
2
N m

   at an
2
2
2

  w a 
  w a  
1   w     2 w  w 
  o 
 o o

 ( t )    a co s w a t  



 



F( t )   Fo  co s w a t

2
W enn man das f ür alle Frequenzen
mac ht, hier v on
w =1/ 100s
bis
100/s
und die Amplitude über der
Frequenz einträgt, s o gibt dies nebens tehendes
D iagramm:
Fo
H wa  


w 2 w 2
a 
 o
1

p


 l n A k 1
  A
k
 
2  w a
 
t   0  0 .01s  2 0s
 w a 
1  2 j D

wo  wo 
 
wa
 
( t)
F( t )
Fo
Bet rag _H w a  
1
0
 
2
2
  w  2 
wa 
  a  

 1   w     2 D w 
o
  o  



w 2 w 2
a 
 o
P h ase_H w a   at an
1
0
5
10
t
s
15
20
2
2  w a
Mechanik
• Drehpendel
2
wa 
1 1 0
s
2

1 .1 1 0
s
2

10
s
20
0
20
W enn m an das f ür alle Frequenzen
m ac ht, hier v on
w =1/ 100s
bis
100/s
und die Am plitude über der
Frequenz einträgt, s o gibt di es nebens tehendes
D iagram m :
40
60
 
  
20 log H w a
  
arg H w a
H wa 
80
Grad
100
Fo
 w a 
1  2 j  D

 wo 
wo


 
wa
Fo
Bet rag _H w a  
120
2
2
2

wa 
 w a  



 1   w     2 D w 
o

 o 

140
 
180
0.01



w 2 w 2
a 
 o
P h ase_H w a   at an
160
0.1
1
wa
10
100
2
2  w a