Skript zu Kapitel II - Lehrstuhl für Mathematik II

Mathematik für Physiker,
Informatiker und Ingenieure
(Kapitel II)
Dr. Gunther Dirr
Institut für Mathematik
Universität Würzburg
Skript vom 5. Februar 2014
Inhaltsverzeichnis
Wintersemester
2
II Zahlbereiche
1
Natürliche Zahlen und Induktionsprinzip
2
Ganze und rationale Zahlen . . . . . . .
3
Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
4
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . .
1
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3
3
16
21
32
Wintersemester
2
Kapitel II
Zahlbereiche
Literatur:
• K. Appell & J. Appell „Mengen-Zahlen-Zahlbereiche”, Elsevier,
2005
• Ebbinghaus et al., „Zahlen”, Springer, 1992
1
Natürliche Zahlen und Induktionsprinzip
Zitat: (Kronecker 1823–1891) „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.”
Axiomatische Einführung der natürlichen Zahlen
(nach Peano 1858–1932)
Eigenschaften der natürlichen Zahlen („umgangssprachliche” Variante)
1. Es gibt eine kleinste natürliche Zahl, nämlich 1.
2. Wenn n eine natürliche Zahl ist, so auch n + 1.
3. Wenn n und m verschiedene natürliche Zahlen sind, so auch n + 1 und
m + 1.
4. Für alle natürlichen Zahlen n 6= 1 ist auch n − 1 eine natürliche Zahl.
5. Es gilt das Prinzip der vollständigen Induktion, d.h. jede induktive Menge
von natürlichen Zahlen stimmt schon mit der Menge aller natürlichen Zahlen überein. Dabei heißt eine Teilmenge I der natürlichen Zahlen induktiv,
wenn sie die folgenden Eigenschaften erfüllt:
(IA) 1 ∈ I.
(IS) Für alle natürlichen Zahlen n gilt: n ∈ I =⇒ n + 1 ∈ I.
Formalisierung der obigen Eigenschaften (Peano-Axiome)
3
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
b eine Menge und ν : N
b → N
b eine Abbildung. Das Paar
Definition 1 Sei N
b ν) heißt Peano-Struktur, wenn Folgendes gilt:
(N,
b
(P1) Es existiert ein Element b
1 ∈ N.
b enthalten, also ν(N)
b ⊂ N.
b
(P2) Das Bild1 von ν ist in N
(P3) Die Abbildung ν ist injektiv.
b =N
b \ {b
(P4) Das Bild von ν erfüllt die Identität ν(N)
1}.
b stimmt mit N
b überein. Dabei heißt eine
(P5) Jede ν-induktive Teilmenge von N
b
b
Teilmenge I ⊂ N ν-induktiv, wenn Folgendes gilt:
(IA) b
1 ∈ Ib
b
(IS) Für alle n gilt die Implikation: n ∈ Ib =⇒ ν(n) ∈ I.
Die Abbildung ν bezeichnet man auch als Nachfolger-Abbildung.
b ν) und (N,
e µ) sind
Satz 1 (Isomorphiesatz2 ) Je zwei Peano-Strukturen (N,
b
e
isomoph, d.h. es gibt eine bijektive Abbildung ϕ : N → N mit ϕ(b
1) = e
1 und
ϕ ◦ ν = µ ◦ ϕ.
Beweis. Der interessierte Leser findet einen Beweis des Isomorphiesatzes am
Ende dieses Abschnitts.
Postulat (Axiom3 aus ZFC) Es gibt eine Peano-Struktur. „Diese” (bis auf
Isormorphie eindeutige Peano-Struktur) bezeichnen wir im Weiteren als die
Menge der natürlichen Zahlen und schreiben dafür N. Ihre Nachfolger-Abbildung
ν notieren wir wie üblich mit ν(n) =: n + 1. Ferner setzen wir N0 := N ∪ {0}.
Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Aus den obigen Eigenschaften der natürlichen Zahlen, können wir folgende Beweistechnik ableiten.
Prinzip der vollständigen Induktion: Um zu beweisen, dass eine Aussage
E(n) für alle natürlichen Zahlen n gilt, genügt es zu zeigen, dass die Menge
{n ∈ N | E(n)} induktiv ist, d.h., es genügt zu zeigen, dass E(1) und für alle
natürlichen Zahlen n die Implikation E(n) =⇒ E(n + 1) erfüllt ist.
Beispiele:
1) Behauptung:4 Für alle n ∈ N gilt
1 + 2 + 3 + . . . n =:
n
X
k=1
1 Diese
k=
n(n + 1)
.
2
(∗)
b→N
b erfüllt ist.
Forderung ist eigentlich redundant, da sie schon durch ν : N
Dedekindsche Isomorphiesatz gilt nur für die obige Formulierung der Peano-Axiome
(Prädikatenlogik zweiter Stufe). In anderen Varianten (Prädikatenlogik erster Stufe) können
sogenannte Nicht-Standardmodelle existieren (vgl. H.-D. Ebbinghaus, et al., Einführung
in die mathematische Logik, BI-Wisenschaftsverlag, 1992 oder D. Hoffman, Grenzen der
Mathematik, Springer, 2011.)
3 Genauer gesagt handelt es sich um eine direkte Folge aus dem Axiom des Unendlichen.
P
4 Zur formalen Definition des Summenzeichens
siehe Beispiel 2, Seite 7.
2 Der
4
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Beweis mittels Induktion: Setze I := {n ∈ N | (∗) }. Dann gilt:
(IA) 1 ∈ I, denn
1
P
1(1+1)
.
2
k=1=
k=1
(IS) Sei nun n ∈ I. Dann gilt
n+1
X
k=
k=1
n
X
k + (n + 1) =
(IV)
k=1
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
+n+1=
.
2
2
Daraus folgt n + 1 ∈ I.
Somit ist I induktiv und folglich liefert das Induktionsprinzip die gewünschte Aussage I = N.
2) Behauptung: Sei q ∈ R \ {1}. Dann gilt für alle n ∈ N die Identität
n
X
qk =
k=0
q n+1 − 1
.
q−1
(∗∗)
Beweis mittels Induktion:
1
P
(IA) Die Gleichung (∗∗) gilt für n = 1, denn
k=0
qk = 1 + q =
q 2 −1
q−1 .
(Man
beachte, (∗∗) gilt auch für n = 0.)
(IS) Sei (∗∗) für ein n ∈ N erfüllt. Dann gilt
n+1
X
qk =
k=0
n
X
q k + q n+1 =
(IV)
k=0
q n+1 − 1
q n+2 − 1
+ q n+1 =
.
q−1
q−1
Somit gilt (∗∗) auch für n + 1.
Aus dem Induktionsprinzip folgt nun, dass die Gleichung (∗∗) für alle
n ∈ N gilt.
3) Behauptung: Für alle n ∈ N gilt
n
X
(2k − 1) = n2 + 17.
(∗ ∗ ∗)
k=1
„Beweis” mittels Induktion:
(IS) Sei (∗ ∗ ∗) für ein n ∈ N erfüllt. Dann gilt
n+1
X
k=1
(2k−1) =
n
X
(2k−1)+(2n+1) = n2 +17+2n+1 = (n+1)2 +17.
(IV)
k=1
Somit gilt (∗ ∗ ∗) auch für n + 1.
Daraus folgt wie üblich nach dem Induktionsprinzip, dass (∗ ∗ ∗) für alle
n ∈ N gilt.
Vorsicht: Durch Einsetzen konkreter Werte, wie z.B. n = 1, sieht man
leicht, dass (∗ ∗ ∗) sicher nicht für alle natürlichen Zahlen gilt. Der Leser
finde den Fehler im obigen „Beweis” und ersetze die fehlerhafte Identität
(∗ ∗ ∗) durch eine korrekte Version.
5
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
4) Behauptung I: Für die Potenzmenge jeder endlichen Menge M gilt:
|P(M )| = |2M | = 2|M | .
Beweis: Wir führen einen Induktionsbeweis über die Mächtigkeit der
Menge M . Dazu formulieren wir die Aussage I, wie folgt, um:
Behauptung II: Für alle n ∈ N und alle Mengen M mit |M | = n gilt:
|P(M )| = 2n .
(P)
Beweis mittels Induktion:
(IA) Sei |M | = 1, d.h. M ist eine 1-elementige Menge. Dann gilt P(M ) =
{∅, M } und somit |P(M )| = 2 = 21 , also gilt (P) für n = 1.
(IS) Sei nun n eine natürliche Zahl, so dass (P) für alle Mengen der
Mächtigkeit n erfüllt ist. Ferner sei M eine beliebige Menge mit
|M | = n + 1. Man wähle ein a ∈ M und setze M 0 := M \ {a}.
Dann ist M 0 eine Menge der Mächtigkeit n und somit gilt nach Induktionsannahme |P(M 0 )| = 2n . Weiterhin zeigt man leicht für das
Mengensystem Sa := {N ∪ {a} | N ∈ P(M 0 )} ⊂ P(M ) die folgenden
Aussagen:
(i) |P(M 0 )| = |Sa |, denn N 7→ N ∪ {a} ist eine Bijektion zwischen
P(M 0 ) und Sa .
(ii) P(M ) = P(M 0 ) ∪˙ Sa , wobei der Punkt über dem Vereinigungssymbol besagt, dass die Vereinigung disjunkt ist, also P(M 0 ) ∩
Sa = ∅ gilt.
Nun folgt aus der Induktionsvoraussetzung (IV) in Kombination mit
(i), (ii) und Lemma 3 aus Kapitel I die Gleichungskette:
|P(M )| = |P(M 0 ) ∪˙ Sa | = |P(M 0 )| + |Sa |
= 2|P(M 0 )| = 2 · 2n = 2n+1 .
Also gilt (P) auch für alle Mengen der Mächtigkeit n + 1 und folglich nach
dem Induktionsprinzip für alle endlichen Mengen.
Rekursionssatz und Beweis des Isomorphiesatzes
Der folgende Satz, den wir zum Beweis von Satz 1 benötigen, dient unabhängig
davon als Grundlage zu sogenannten rekursiven Definition.
b ν) eine beliebige Peano-Struktur, M eine beSatz 2 (Rekursionssatz) Sei (N,
liebige nichtleere Menge und a ∈ M . Ferner sei F : M → M eine beliebige
b → M mit folgenden
Abbildung. Dann gibt es genau eine Abbildung ϕ : N
Eigenschaften:
(R1) ϕ(b
1) = a
(R2) ϕ ◦ ν = F ◦ ϕ
Häufig findet man in der Literatur auch die zu (R2) äquivalente Formulierung
6
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
b
(R2’) ϕ(n + b
1) = F ϕ(n) für alle n ∈ N.
Dabei bezeichnet n + b
1 den Wert von ν an der Stelle n, also n + b
1 := ν(n). Bevor
wir Satz 2 beweisen, wollen wir seine Aussage an einem einfachen Anwendungsbeispiel nachvollziehen.
Beispiele:
1) Sei a eine feste reelle Zahl. Wir wollen allgemein die n-te
Potenz von a definieren.
Idee: an+1 := |a · a{z. . . a} = a · an und a1 := a.
(n+1)-mal
Formal korrekte Version: Man betrachte die Abbildung F : R → R,
x 7→ F (x) = ax. Dann gibt es nach Satz 2 eine Abbildung ϕ : N → R
mit ϕ(1) = a und ϕ(n + 1) = a · ϕ(n), also ϕ(2) = a · ϕ(1) = a2 , ϕ(3) =
a · ϕ(2) = a3 und allgemein ϕ(n) = an , oder genauer ϕ(n) =: an .
2) Rekursive Folgen: Unter einer (reellwertigen) Folge verstehen wir eine
Abbildung von N oder N0 in die Menge der reellen Zahlen.
Konvention: Wir bezeichnen im Weiteren Folgen oft mit Kleinbuchstaben
also, x : N → R, y : N0 → R usw. Statt x : N → R ist auch die Notation
xn n∈N weit verbreitet. Ferner schreibt man meistens xn für den Wert
der Folge x : N → R an der Stelle n, also xn := x(n).
Sei nun eine beleibige Abbildung f : R → R und ein a ∈ R gegeben.
Oftmals können „Folgen“ nicht explizit (wie zum Beispiel xn := 3n + 1)
angegeben werden sondern nur rekursiv, d.h. durch ein Bildungsgesetz der
Form
xn+1 = f (xn )
(∗)
und durch die Festlegung eines Anfangswerts x1 := a.
Somit stellt sich
die Frage, ob es überhaupt eine (eindeutige) Folge xn n∈N gibt, die diese
Bedingungen erfüllt. Die Antwort liefert der Rekursionssatz, denn für die
Standard-Peano-Struktur N und die Wahl M := R sowie F := f garantiert
Satz 2 gerade die Existenz einer eindeutigen Folge xn n∈N , die (∗) und
x1 = a erfüllt. So generiert z.B. die rekursive Vorschrift
xn+1 =
x2n + 2
,
2xn
x1 := 2 ,
die Zahlenfolge
577
(2, 23 , 17
12 , 408 , . . . ) ,
√
die – wie wir später sehen werden – gegen 2 konvergiert.
3) Summenzeichen: Sei xn n∈N eine beliebige reellwertige Folge. Wir wolPn
len die schon gebrauchte Schreibweise k=1 xk formal korrekt einführen.
Idee:
Pn+1
k=1
xk :=
Pn
k=1
xk + xn+1 und
P1
k=1
xk := x1 .
Formal korrekte Version: Man betrachte die Abbildung F : N × R →
N×R, (n, x) 7→ (n+1, x+xn+1 ). Dann gibt es nach Satz 2 eine Abbildung
7
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
ϕ : N → N × R mit ϕ(1) = (1, x1 ) und ϕ(n + 1) = F ϕ(n) . Somit
erhält man ϕ(2)
(2, x1 + x2 ), ϕ(3) = (3, x1 + x2 + xP
3 ) und allgemein
P=
n
n
ϕ(n) = n + 1, k=1 xk , oder genauer ϕ(n) =: n + 1, k=1 xk .
Bemerkung: Falls (x1 , x2 , . . . , xNP
) mit N ∈ N eine „endliche “ Folge
n
reeller Zahlen ist, so definieren wir k=1 xk für n ≤ N , indem wir formal
die obige Definition auf die „unendlichen “ Folge (x1 , x2 , . . . , xN , 0, 0, . . . )
anwenden.
b ν) eine beliebige
Beweis des Rekursionssatzes. (vgl. Appell & Appell) Sei (N,
Peano-Struktur und bezeichne n+ b
1 den Wert von ν an der Stelle n, also n+ b
1 :=
ν(n). Bevor wir mit dem formalen Beweis beginnen, skizzieren wir zum besseren
Verständnis kurz die entscheidende Idee.
b → M
Bweisidee: Wir „konstruieren” statt der gesuchten Abbildung ϕ : N
ihren Graphen, d.h. wir zeigen, dass es einen eindeutigen Graphen Γ gibt mit
b × M gilt (n, b) ∈
den Eigenschaften:(i) (b
1, a) ∈ Γ und (ii) für alle (n, b) ∈ N
b
Γ =⇒ n + 1, F (b) ∈ Γ. Der Graph Γ definiert dann in eindeutiger Weise die
gesuchte Abbildung ϕ.
b × M heißt rekursiv (bzgl. F ), wenn für alle
Definition: Eine Relation R ⊂ N
b
(n, b) ∈ N × M die Implikation (n, b) ∈ R =⇒ n + b
1, F (b) ∈ R gilt.
b × M,
Man betrachte nun die Gesamtheit R aller rekursiven Relationen auf N
b
die (1, a) enthalten, also
b × M | (b
R := {R ⊂ N
1, a) ∈ R ∧ R rekursiv}
T
und setze Γ := R, d.h. Γ ist die „kleinste” rekursive Relation, die (b
1, a) enthält.
b × M ∈ R.
Man beachte dabei, dass R ein nichtleeres Mengensystem ist, denn N
Im Weiteren zeigen wir, dass Γ die geforderten Eigenschaften besitzt, d.h., wir
müssen Folgendes nachweisen:
(i) Γ ist rekursiv mit (b
1, a) ∈ Γ.
b existiert genau ein b ∈ M mit (n, b) ∈ Γ.
(ii) Γ ist ein Graph, d.h. für alle n ∈ N
(iii) Γ ist eindeutig, d.h. jeder rekursiver Graph, der auch (b
1, a) enthält, stimmt
mit Γ überein.
Zu (i): Nach Konstruktion gilt (b
1, a) ∈ R für alle R ∈ R. Also (b
1, a) ∈ Γ.
Sei
ferner (n, b) ∈ Γ, d.h. (n, b) ∈ R für alle R ∈ R. Daraus folgt n + b
1, F (b) ∈ R
für alle R ∈ R, also n + b
1, F (b) ∈ Γ, d.h. Γ ist rekursiv.
b | ∃! b ∈ M : (n, b) ∈ Γ}. Wir zeigen
Zu (ii): Betrachte die Menge I := {n ∈ N
b Dazu genügt es nachzuweisen, dass I induktiv ist.
I = N.
(IA) b
1 ∈ N , denn (b
1, a) ∈ Γ. Wäre auch (b
1, b) ∈ Γ mit b 6= a, so wäre Γ0 :=
0
Γ \ {(b
1, b)} rekursiv, also Γ ∈ R. Dies widerspricht aber der Eigenschaft,
dass Γ die „kleinste” rekursive Relation mit (b
1, a) ∈ Γ ist.
(IS) Sei nun n ∈ I. Dann existiert
genau ein b ∈ M mit (n, b) ∈ Γ. Da Γ rekursiv
ist, folgt n + b
1, F (b) ∈ Γ. Wir müssen noch zeigen, dass es kein weiteres
8
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Paar (n+b
1, b0 ) ∈ Γ mit b0 6= F (b) gibt. Angenommen, es gäbe ein derartiges
(n + b
1, b0 ) ∈ Γ. Dann wäre aber Γ0 := Γ \ {(n + b
1, b0 )} rekursiv, also Γ0 ∈ R.
Dies liefert wiederum einen Widerspruch zur Definition (Minimalität) von
b
Γ. Somit ist auch n + b
1 ∈ I, also ist I induktiv und folglich gilt I = N.
b ist.
Damit ist gezeigt, dass Γ ein Graph über N
Zu (iii): Sei Γ̃ ein weiterer rekursiver Graph mit (b
1, a) ∈ Γ̃. Dann gilt (per
b sind,
Konstruktion) Γ ⊂ Γ̃. Da aber Γ und Γ̃ Graphen mit Definitionsbereich N
folgt Γ = Γ̃.
Insgesamt haben wir gezeigt, dass ein eindeutiger rekursiver Graph Γ mit (b
1, a) ∈
Γ existiert. Folglich erfüllt die zugehörige Abbildung ϕ die Rekursionsvorschrift
ϕ(n + b
1) = F ϕ(n) ,
denn n, ϕ(n) ∈ Γ impliziert n + b
1, F (ϕ(n) ∈ Γ und aus n + b
1, ϕ(n + b
1) ∈ Γ
folgt ϕ(n + b
1) = F ϕ(n) .
b ν) und (N,
e µ) Peano-Strukturen. Wir
Beweis des Isomorphiesatzes. Seien (N,
b → N
e mit ϕ ◦ ν = µ ◦ ϕ
müssen zeigen, dass eine bijektive Abbildung ϕ : N
und ϕ(b
1) = e
1 existiert.
e → N,
e n 7→ F (n) := µ(n). Dann existiert
Man betrachte die Abbildung F : N
b→N
e mit ϕ(b
nach dem Rekursionssatz 2 eine Abbildung ϕ : N
1) = e
1 und
ϕ ◦ ν = F ◦ ϕ = µ ◦ ϕ.
(∗)
Somit müssen wir nur noch zeigen, dass ϕ ist bijektiv. Analog zu (∗) erhalten
e→N
b mit ψ(e
wir eine Abbildung ψ : N
1) = b
1 und
ψ ◦ µ = ν ◦ ψ.
(∗∗)
Aus (∗) und (∗∗) folgt ψ ◦ ϕ ◦ ν = ψ ◦ µ ◦ ϕ = ν ◦ ψ ◦ ϕ, d.h. η := ψ ◦ ϕ ist eine
Lösungen der Rekursionsgleichung
η◦ν =ν◦η
und ψ(b
1) = b
1,
(∗ ∗ ∗)
die man durch die Wahl F := ν im Rekursionssatz erhält. Andererseits ist auch
die Identität idb
eine Lösung von (∗ ∗ ∗) und somit folgt aus der EindeutigkeitsN
aussage in Satz 2 die Gleichung ψ ◦ ϕ = idb
. Analog zeigt man ϕ ◦ ψ = idÑ und
N
folglich ist ϕ nach Satz 9 aus Kapitel I bijektiv.
Weiter Anwendungsbeispiele des Rekursionssatzes
Sei k ∈ N fest. Wir wollen „k + n” und „k · n” definieren.
Idee: k + (n + 1) := (k + n) + 1 und k · (n + 1) = k + k · n
Formal korrekte Version:
Zur Addition: Setze F : N → N, n 7→ F (n) = n+1. Dann existiert ein ϕ : N → N
mit ϕ(1) = k + 1 und ϕ(n + 1) = F (ϕ(n)) = ϕ(n) + 1, also ϕ(n) =: k + n.
Zur Multiplikation: Setze F : N → N, n 7→ k + n. Dann existiert ein ϕ : N → N
mit ϕ(1) = k und ϕ(n + 1) = F (ϕ(n)) = ϕ(n) + k, also ϕ(n) =: k · n.
9
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Satz 3 Die so definierten Operatoren + und · auf N × N genügen den üblichen
Rechenregeln, d.h. für alle n, m, k ∈ N gelten:
(a)
n + (m + k) = (n + m) + k
)
n · (m · k) = (n · m) · k
(Assoziativität)
(b)
n+m=m+n
)
n·m=m·n
(Kommutativität)
(c)
k · (n + m) = k · n + k · m
(Distributivität)
Beweis. Die obigen Aussagen können alle mittels Induktionen über n bzw. m
gezeigt werden. Wir verzichten hier auf die einfachen, aber etwas länglichen
Beweise.
Der Wohlordnungssatz
Definition 2 Eine Ordungsrelation auf einer Menge M heißt Wohlordnung,
wenn eine Totalordnung auf M definiert und jede nichtleere Teilmenge N
von M ein kleinstes Element (Minimum) besitzt, d.h. wenn für jede nichtleere
Teilmenge N ein n∗ ∈ N existiert mit n∗ n für alle n ∈ N .
b ν) eine beliebige Peano-Struktur, dann exisSatz 4 (Wohlordnungsatz) Sei (N,
b die mit ν verträglich ist, d.h. die folgende
tiert eine eindeutige Ordnung auf N,
Eigenschaften besitzt:
b gilt b
(V1) Für alle n ∈ N
1 n.
b gilt die Implikation n m =⇒ ν(n) ν(m).
(V2) Für alle n, m ∈ N
b
Insbesondere liefert eine Wohlordnung auf N.
Beweis. Wie im Beweis des Rekursionsatzes definieren wir uns ein geeignetes
b dessen Schnittmenge die gesuchte Wohlordnung auf
System von Relation auf N,
b
N ergibt.
b ×N
b heißt monoton, wenn für alle (n, m) ∈
Definition: Eine Relation R ⊂ N
b
b
N × N die Implikation (n, m) ∈ R =⇒ ν(n), ν(m) ∈ R gilt.
b welche
Man betrachte nun das System M aller monotonen Relationen auf N,
b
b
die Teilmenge {1} × N enthalten, also
b × M | {b
b ⊂ R ∧ R monoton}
M := {R ⊂ N
1} × N
T
und setze R := M, d.h. R oder kurz ist die „kleinste” monotone Relab enthält. Man beachte dabei, dass M ein nichtleeres Mengention, die {b
1} × N
b ×N
b ∈ M gilt. Der restliche Beweis beschränkt sich nun
system ist, da R := N
10
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
darauf, die geforderten Eigenschaften und die Eindeutigkeit von nachzuweisen. Da die Argumente ähnlich wie in Satz 2 sind, verzichten wir auf die meisten
Details und skizzieren nur den Beweis der Wohlordnungseigenschaft unter der
Annahme, dass aller weiteren Eigenschaften schon gezeigt wurden:
b die kein kleinstest EleAngenommen, N wäre eine nichtleere Teilmenge von N,
b
ment besitzt. Dann können wir o.B.d.A. 1 6∈ N voraussetzen, da ansonsten b
1
offensichtlich das kleinste Element von N wäre. Man betrachte nun die Menge
b die „echt kleiner“ als alle k ∈ N sind, d.h.
I aller n ∈ N,
b | ∀k ∈ N : n k ∧ n 6= k} ,
I := {n ∈ N
und zeige, dass I induktiv ist. Dazu benötigt man, die folgenden Hilfsaussagen,
die man leicht mittels Induktion beweisen kann:
b gilt: n ν(n) ∧ n 6= ν(n)
• Für alle n ∈ N
b gilt: n k ν(n) =⇒ k = n ∨ k = ν(n).
• Für alle n, k ∈ N
b Dies steht aber im Widerspruch zu
Aus der Induktivität von I folgt nun I = N.
b ein
der Annahme, dass N nichtleer ist. Somit hat jede nichtleer Teilmege von N
kleinstes Element, d.h. definiert eine Wohlordnung.
Bemerkung: Alternativ kann man die Wohlordnung aus Satz 4 auch wie
folgt einführen:
b : n + k = m)
n m :⇐⇒ (n = m ∨ ∃k ∈ N
(∗)
Die Definition mittels (∗) hat jedoch den Nachteil, dass man zuvor eine „Adb×N
b mit Hilfe des Rekursionsatzes 2 einführen muss, vgl. auch
dition” auf N
Satz 3.
Modifizierte Induktionsprinzipen∗
Im Weiteren wollen wir zwei modifizierte Induktionprinzipen und ihre Beziehungen zum klasischen Induktionsprinzip sowie zum Wohlordnungssatz exakt
formulieren bzw. untersuchen. Dazu benötigen wir die folgenden Begriffe.
b ν), das die Eigenschaften (P1)–(P4) einer
Definition 3
(a) Ein Paar (N,
Peano-Struktur erfüllt, bezeichnen wir als Prä-Peano-Struktur.
b ν) eine Prä-Peano-Struktur. Dann heißt eine Teilmenge I von N
b
(b) Sei (N,
stark ν-induktiv, wenn Folgendes gilt:
(IA) b
1∈I
b gilt die Implikation: N ⊆ I =⇒ ν(N ) ∈ I
(IS∗ ) Für alle N ⊆ N
b ν) eine Prä-Peano-Struktur. Eine Ordnung auf N
b heißt ν-ver(c) Sei (N,
träglich, wenn folgende Eigenschaften gelten:
b gilt b
(V1) Für alle n ∈ N
1 n.
∗ ergänzendes
Material
11
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
b gilt die Implikation: n m =⇒ ν(n) ν(m).
(V2) Für alle n, m ∈ N
(d) Sei (N, ν) eine Prä-Peano-Struktur und sei eine ν-verträglich Ordnung
b Dann heißt eine Teilmenge I von N
b schwach ν-induktiv, wenn Folauf N.
gendes gilt:
(IA) b
1∈I
b gilt die Implikation: {k ∈ N
b | k n} ⊆ I =⇒ ν(n) ∈ I
(IS∗ ) Für alle n ∈ N
b ν) minimal, wenn (N,
b ν) keine echte
(e) Eine Prä-Peano-Struktur heißt (N,
Prä-Peano-Struktur enthält, d.h., wenn jede Prä-Peano-Struktur der Form
e ν| ) mit b
e⊂N
b unmittelbar mit (N,
b ν) übereinstimmt. Eine Prä(N,
1∈N
e
N
b
b
Peano-Struktur heißt (N, ν) fixpunktfrei, wenn ν(n) 6= n für alle n ∈ N.
Bemerkung: Offensichtlich gelten die folgenden Implikationen:
I ist stark ν-induktiv5 =⇒ I ist ν-induktiv =⇒ I ist schwach ν-induktiv6
Beispiele:
b und ν : N
b →N
b wie folgt definiert:
1) Seien N
b := N × {0} ∪ Z × {1} ⊂ Z × {0, 1}
• N
• ν(n, a) := (n + 1, a)
b ν) eine echte Prä-Peano-Struktur ist, d.h.
Dann zeigt man leicht, dass (N,
b
(N, ν) ist zwar eine Prä-Peano-Struktur, aber keine Peano-Struktur. Insb ν) keine ν-verträgliche Wohlordnung, vgl. Satz 5.
besondere besitzt (N,
b und ν : N
b →N
b wie folgt definiert:
2) Seien N
b := N ∪ {∞}
• N
(
n+1
• ν(n) :=
∞
falls n 6= ∞
falls n = ∞
b ν) eine echte Prä-PeanoAuch in diesem Fall zeigt man leicht, dass (N,
b
Struktur ist. Jedoch besitzt (N, ν) die folgende ν-verträgliche Wohlordnung:
(
m, n ∈ N und m ≤ n,
• m n :⇐⇒
n = ∞ und m beliebig,
wobei ≤ die gewöhnliche Kleiner-Gleich-Relation auf N bezeichne (vgl. Wohlordnungssatz 4). Man beachte im Hinblick auf Satz 5, dass ν nicht fixpunktfrei ist.
b ν) eine Prä-Peano-Struktur.
Satz 5 (modifizierte Induktionsprinzipen) Sei (N,
Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
5 siehe
6 Die
auch Lemma 1
Implikation gilt für jede ν-verträgliche Ordnung.
12
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
b ν) erfüllt das klassische Induktionsprinzip (IP), d.h. jede ν-induktive
(a) (N,
b überein.
Teilmenge stimmt mit N
b ν) besitzt eine ν-verträgliche Ordnung und erfüllt das modifizierte In(b) (N,
duktionsprinzip (IP∗ ), d.h. jede schwach ν-induktive Teilmenge stimmt
b überein.
mit N
b ν) erfüllt das modifizierte Induktionsprinzip (IP∗ ), d.h. jede stark ν(c) (N,
b überein.
induktive Teilmenge stimmt mit N
b ν) ist fixpunktfrei und besitzt eine ν-verträgliche Wohlordnung.
(d) (N,
b ν) ist minimal.
(e) (N,
b ν), die eine (und somit alle) der
Insbesondere ist jede Prä-Peano-Struktur (N,
obigen Eigenschaften (a) – (e) erfüllt eine Peano-Struktur im Sinne von Definition 1.
b Dann benutzen wir in Weiteren die
Notation: Sei eine Ordnung auf N.
folgende Kurzschreibweise:
k ≺ n :⇐⇒ k n ∧ k 6= n
b ν) eine Prä-Peano-Struktur, die das klassische InBeweis. (a) ⇐⇒ (b): Sei (N,
b ν) eine
duktionsprinzip erfüllt. Dann folgt aus dem Wohlordnugssatz 4, dass (N,
eindeutige ν-verträgliche Ordnung besitzt, die unmittelbar eine Wohlordnug
b definiert. Sei nun I eine schwach ν-induktive Teilmenge von N.
b Angeauf N
∗
b
b
nommen, I 6= N. Dann gäbe es ein minimales Element n ∈ N \ I und es wäre
b | k ≺ n∗ } ⊂ I erfüllt. Da n∗ 6= b
die Inklusion {k ∈ N
1, gäbe es einen Vorb können wir
gänger n∗ zu n∗ . Aus der Eigenschaft7 n ≺ ν(n) für alle n ∈ N
b
{k ∈ N | k n∗ } ⊂ I folgern und somit erhalten wir einen Widerspruch zur
b d.h. (N,
b ν) erfüllt (bzgl. ) das
schwach ν-Induktivität von I. Also I = N,
modifizierte Induktionprinzip (IP∗ ).
Die Umkehrung, d.h. die Implikation (b) =⇒ (a), erhält man unmittelbar aus
der Tatsache, dass jede ν-induktive Menge auch schwach ν-induktiv ist.
(a) ⇐⇒ (c): Die Behauptung folgt aus Lemma 1 (siehe unten), das besagt, dass
die Begriffe stark ν-induktiv und ν-induktive äquivalent sind.
(a) ⇐⇒ (d): Da man leicht zeigen kann, dass jede klassische Peano-Struktur
fixpunktfrei ist, folgt die Implikation (a) =⇒ (d) unmittelbar aus dem Wohlordnugssatz 4.
Die Rückrichtung erhält man wie folgt. Sei eine ν-verträgliche Wohlordnung
b und sei I eine induktive Teilmenge von N.
b Angenommen I würde nicht
auf N
b übereinstimmen. Dann wäre N\I
b
mit N
nichtleer und somit gäbe es ein kleinstes
b \ I mit n∗ 6= b
1. Folglich besitzt n∗ einen Vorgänger n∗ , also
Element n∗ ∈ N
∗
ν(n∗ ) = n . Dann folgt aus Lemma 2 die Abschätzung n∗ ≺ ν(n∗ ) = n∗ und
b \ I.
somit gilt n∗ ∈ I, denn ansonsten wäre n∗ nicht das kleinstes Element in N
7 siehe Beweis des Wohlordnugssatz 4 und beachte, dass jede klassische Peano-Struktur
fixpunktfrei ist (vgl. auch Lemma 2).
13
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Dies liefert aber einen Widerspruch zur Induktivität von I, denn n∗ ∈ I implib d.h. (N,
b ν) erfüllt das klassische
ziert ν(n∗ ) = n∗ ∈ I. Insgesamt folgt I = N,
Induktionsprinzip.
b ν) das klassische Induktionsprinzip und sei N
e eine Teil(a) ⇐⇒ (e): Erfülle (N,
b
e
e
e
menge von N, so dass (N, ν|e
) ein Prä-Peano-Struktur b
1 ∈ N ist. Dann ist N
N
b und somit gilt N
b = N,
b d.h. (N,
b ν)
offensichtlich eine ν-induktive Teilmenge von N
ist eine minimale Prä-Peano-Struktur.
b ν) eine minimale Prä-Peano-Struktur und I eine νSei nun umgekehrt (N,
b Dann betrachte man die kleinste ν-induktive Teilinduktive Teilmenge von N.
menge I0 , die in I enthalten ist, d.h.
\
I0 :=
{I 0 ⊂ I | I 0 ν-induktiv} .
Dann gilt offensichtlich b
1 ∈ I0 und n ∈ I0 impliziert ν(n) ∈ I0 . Somit definiert
ν|I0 ein injektive Abbildung von I0 nach I0 . Zum Beweis, dass (I0 , ν|I0 ) eine
Prä-Peano-Struktur ist, müssen wir noch ν(I0 ) = I0 \ {b
1} zeigen. Angenommen,
n0 6= b
1 und n0 6∈ ν(I0 ). Dann wäre auch I0 \ {n0 } ν-induktiv und folglich wäre
I0 nicht die kleinste ν-induktive Teilmenge von I. Daher gilt ν(I0 ) = I0 \ {b
1}
b ν) enthalten ist.
und somit ist (I0 , ν|I0 ) eine Prä-Peano-Struktur, die in (N,
b ν) folgt die gewünschte Identität I0 = N,
b also
Aufgrund der Minimalität von (N,
b
b
auch I = N, d.h. (N, ν) erfüllt das klassische Induktionsprinzip.
Lemma 1 Jede stark ν-induktive Menge ist auch ν-induktiv und umgekehrt.
Beweis. Da jede stark ν-induktive Menge offensichtlich auch ν-induktiv ist, beweisen wir nur die Umkehrung. Sei also I nicht stark ν-induktiv. Dann existiert
eine Teilmenge N ⊆ I mit ν(N ) 6⊆ I. Somit gibt es ein n ∈ N ⊆ I mit ν(n) 6∈ I
und folglich ist I auch nicht induktiv.
b ν) eine fixpunktfreie Prä-Peano-Struktur mit ν-verträglicher
Lemma 2 Sei (N,
Wohlordnung . Dann sind die folgenden Aussagen8 erfüllt:
b gilt die Abschätzung n ≺ ν(n), d.h. n ν(n) und n 6= ν(n).
(a) Für alle n ∈ N
b mit n k ν(n) folgt n = k oder k = ν(n).
(b) Für alle k, n ∈ N
Beweis. Zu (a): Man betrachte die Menge
b | ν(n) ≺ n .
I := n ∈ N
Wir zeigen im Weiteren I = ∅. Denn angenommen, I wäre nicht leer. So gäbe es
ein Minimum n∗ ∈ I mit ν(n∗ ) ≺ n∗ . Aus der Fixpunktfreiheit und Monotonie
von ν bzgl. würde dann ν ν(n∗ ) ≺ ν(n∗ ) folgen und somit wären für n∗ :=
ν(n∗ ) die Abschätzungen n∗ ≺ n∗ und ν(n∗ ) ≺ n∗ erfüllt. Dies würde aber ein
Widerspruch zur Minimalität von n∗ liefern. Folglich gilt I = ∅ und damit ergibt
b Man beachte, dass der Fall ν(n) = n aufgrund der
sich n ≺ ν(n) für alle n ∈ N.
b
Fixpunktfreiheit von (N, ν) ausgeschlossen ist.
8 Im Beweis des Wohlordnungssatz 4 wird eine analoge Hilfsaussage für klassische PeanoStrukturen bewiesen.
14
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
b mit n ≺ k ≺ ν(n). Dann erhielte
Zu (b): Angenommen, es existierten n, k ∈ N
man aufgrund der Monotonie von ν bzgl. die Abschätzung n∗ ≺ k∗ ≺ ν(n∗ ),
wobei n∗ und k∗ die Vorgänger von n bzw. k bezeichnen, und könnte mit Hilfe
der Abschätzung n∗ ≺ ν(n∗ ) = n aus Teil (a) zeigen, dass die Menge
b | ∃k ∈ N
b : n ≺ k ≺ ν(n)
I := n ∈ N
b aus der Abkein Minimum besitzt, also leer ist. Somit folgt für alle n, k ∈ N
schätzung n k ν(n) die Aussage n = k oder k = ν(n).
Da N eine Peano-Struktur ist, also das klassische Induktionsprinzip (IP) erfüllt,
erhalten wir aus Satz 5 das folgende Resultat.
Folgerung 1 In N gelten auch die modifizierten Induktionsprinzipen (IP∗ )
und (IP∗ ), wobei (IP∗ ) die Wohlordnung aus Satz 4 zugrunde liegt.
Prinzip der vollständigen Induktion∗ für „N × N“
Wir betrachten einen Satz der Form: Für alle natürlichen Zahlen n, m gilt
E(n, m). Können wir eine derartige Aussagen auch mittels „Induktion” beweisen? – Ja, indem wir sie formal als „iterierte” All-Aussage, also als
∀n ∈ N ∀m ∈ N : E(n, m)
schreiben, und sie dann mit Hilfe des Prädikats F (n) := ∀m ∈ N : E(n, m)
umformuliert in
∀n ∈ N : F (n).
Man beachte, dass die Reihenfolge der All-Quantoren ∀n und ∀m vertauscht
werden kann und sich der Beweisansatz dadurch ändert. Im Allgemeinen sind
aber in beiden Fällen zwei „iterierte” Induktion — einmal über n und einmal
über m – nötig.
Beispiel: Wir führen die obige Vorgehensweis an einem einfachen Beispiel vor.
Behauptung: Für alle natürlichen Zahlen n, m gilt (1 + 2m )n ≥ 1 + mn.
Beweis mittels Induktion: Wir definieren uns die Eigenschaft/das Prädikat
F (n) := ∀m ∈ N : (1 + 2m )n ≥ 1 + mn
und zeigen mittels Induktion über n, dass F (n) für alle n ∈ N gilt.
(IA) Wir müssen zeigen, dass F (1) gilt, also dass (1 + 2m ) ≥ 1 + m für alle
m ∈ N erfüllt ist. Dies beweist man leicht mittels Induktion über m. Wir
verzichten hier auf diesen Teilbeweis.
(IS) Sei nun F (n) für ein n ∈ N erfüllt. Dann gilt
(1 + 2m )n+1 = (1 + 2m )n (1 + 2m ) ≥ (1 + mn)(1 + 2m )
(IV)
≥ (1 + mn)(1 + m) = 1 + m(n + 1) + m2 n
(IA)
≥ 1 + m(n + 1)
∗ ergänzendes
Material
15
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
und somit ist F (n) für n + 1, also nach dem Induktionsprinzip für alle n ∈ N
erfüllt.
2
Ganze und rationale Zahlen
Mittels geeigneter Äquivalenzklassenbildung kann man aus den natürlichen Zahlen sowohl die ganzen als auch die rationalen Zahlen „konstruieren”. Wir führen
diese Konstruktion hier nicht explizit durch, sondern verweisen den interessierten Leser auf die zitierte Literatur (z.B. Ebbinghaus et al.). Vielmehr wollen
wir uns in diesem Abschnitt darauf beschränken, die algebraische Strukture von
Z und Q genauer zu untersuchen.
Algebraische Strukture von Z und Q
Definition 4 Eine nichtleere Menge G, versehen mit einer Verknüpfung ◦ :
G × G → G, heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
(a) Die Verknüpfung ◦ ist assoziativ, d.h. für alle a, b, c ∈ G gilt a ◦ (b ◦ c) =
(a ◦ b) ◦ c.
(b) Es gibt ein eindeutiges neutrales Element e ∈ G, d.h. für alle a ∈ G gilt
e ◦ a = a ◦ e = a.
(c) Für alle a ∈ G existiert ein eindeutiges inverses Element a−1 ∈ G, d.h.
für alle a ∈ G gilt a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = e.
Falls ◦ zusätzlich kommutativ ist, also a ◦ b = b ◦ a für alle a, b ∈ G gilt, so heißt
G kommutativ oder abelsch.
Bemerkung: Da man die Eindeutigkeit des neutralen Elements bzw. der inversen Elemente aus den anderen Gruppeneigenschaften folgern kann (vgl. Übung),
müsste man diese eigentlich nicht explizit fordern.
Beispiele:
1) (Z, +), (Q, +) und (R, +) sind abelsche Gruppen.
2) (Rn , +) ist eine abelsche Gruppe, wobei die Verknüpfung + wie folgt definiert ist:
(x1 , . . . xn ) + (y1 , . . . yn ) := (x1 + y1 , . . . xn + yn ) .
b ˆ◦ ) beliebige Gruppen. Dann ist (G × G,
b •)
3) Seien allgemein (G, ◦) und (G,
mittels der Definition
b
(a, â) • (b, b̂) := (a ◦ b, â ˆ◦ b̂) für alle a, b ∈ G und alle â, b̂ ∈ G
eine Gruppe.
4) Sei M eine beliebige nichtleere Menge und bezeichne SM die Menge aller
bijektiven Abbildungen von M nach M , d.h.
SM := {ϕ : M → M | ϕ bijektiv} .
16
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Dann definiert die Komposition9 ◦ von Abbildungen eine Verknüpfung auf
SM , so dass eine Gruppen entsteht. Für den Spezielfall M := {1, . . . , n}
schreiben wir Sn := S{1,...,n} . Die Gruppen Sn liefern für n ≥ 3 Beispiele
endlicher, nicht abelscher Gruppen.
Lemma 3 Sei (G, ◦) eine Gruppe und seien a, b ∈ G. Dann besitzen die Gleichungen a ◦ x = b und x ◦ a = b die eindeutigen Lösungen x = a−1 ◦ b bzw.
x = b ◦ a−1 .
∗
Beweis. Wir betrachten zuerst die Gleichung
a ◦ x = b.
(∗)
Offensichtlich gilt
a ◦ (a−1 ◦ b) = (a ◦ a−1 ) ◦ b = e ◦ b = b ,
d.h. x = a−1 ◦ b ist eine Lösung von (∗). Sei umgekehrt x eine Lösung von (∗).
Dann gilt
x = (a−1 ◦ a) ◦ x = a−1 ◦ (a ◦ x) = a−1 ◦ b ,
also x = a−1 ◦ b. Somit ist x = a−1 ◦ b die eindeutige Lösung von (∗). Analog
zeigt man, dass x ◦ a = b die eindeutige Lösung x = b ◦ a−1 besitzt.
Definition 5 Eine nichtleere Menge R versehen mit zwei Verknüpfungen +, ∗ :
R × R → R heißt Ring mit Eins, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
(a) Das Paar (R, +) ist eine abelsche Gruppe.
(b) Die Verknüpfung ∗ ist assoziativ.
(c) Es gibt ein eindeutiges Eins-Element 1 ∈ R mit 1 6= 0, d.h. für alle a ∈ R
gilt 1 ∗ a = a ∗ 1 = a. Dabei bezeichne 0 ∈ R das eindeutige neutrale
Element bezüglich +.
(d) Die Verknüpfungen + und ∗ erfüllen die Distributivgesetze, d.h. für alle
a, b, c ∈ R gilt
a ∗ (b + c) = (a ∗ b) + (a ∗ c)
(b + c) ∗ a = (b ∗ a) + (c ∗ a)
Falls ∗ zusätzlich kommutativ ist, also falls a ∗ b = b ∗ a für alle a, b ∈ G, so heißt
R kommutativ. Ferner bezeichnet man die Verknüpfungen + und ∗ als Addition
bzw. Multiplikation auf R.
Satz 6 Die Menge der ganzen Zahlen (Z, +, ·), versehen mit der üblichen Addition und Multiplikation, bildet einen kommutativen Ring mit Eins.
9 Hier bezeichnet ◦ nicht eine beliebige Gruppenoperation wie in Definition 4, sondern
speziell die Komposition von Abbildungen, vgl. Definition ?? Kapitel I
17
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Beweis. Da die Menge der ganzen Zahlen im Allgemeinen aus der Menge der
natürlichen Zahlen konstruiert wird, kann der Beweis der obigen Aussage leicht
auf die Eigenschaften der Addition und Multiplikation der natürlichen Zahlen zurückgeführt werden. Nachdem wir aber diese Konstruktion nicht explizit
durchgeführt haben, müssen wir an der Stelle auf einen Beweis verzichten.
Beispiele:
1) Sei p eine beliebige natürliche Zahl. Die Äquivalenzklassen
[n]p := {k ∈ Z | p teilt k − n}, die man durch die Äquivalenzrelation
k ∼p n :⇐⇒ p teilt k − n erhält, bilden mittels der folgenden Addition
und Multiplikation
[n]p + [n0 ]p := [n + n0 ]p
bzw. [n]p · [n0 ]p := [n · n0 ]p
einen endlichen, kommutativen Ring mit Eins, den wir im Weiteren mit
Zp bezeichnen (vgl. Übungen).
2) Ein Funktion f : R → R heißt reelle Polynomfunktionen oder kurz reelles
Polynom, wenn es ein n ∈ N und reelle
P Zahlen a0 , . . . , an gibt, so dass
für alle x ∈ R die Identität f (x) = k=0n ak xk gilt. Dann ist die Menge P (R) aller reellen Polynome, versehen mit der üblichen Addition und
Multiplikation von Polynomen, ein kommutativer Ring mit Eins.
3) Seien allgemein (R1 , +, ∗) und (R2 , +, ∗) beliebige Ringe mit Eins. Dann
ist auch (R1 × R2 , +, ∗) mittels der Definitionen
(a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) := (a1 + b1 , a2 + b2 )
(a1 , a2 ) ∗ (b1 , b2 ) := (a1 ∗ b1 , a2 ∗ b2 )
für alle a1 , b1 ∈ R1 und alle a2 , b2 ∈ R2 ein Ring mit Eins.
Weitere Beispiele (nicht kommutativer) Ring folgen im Kapitel ??, „Lineare
Algebra“, Abschnitt ??.
Definition 6 Eine nichtleere Menge K, versehen mit zwei Verknüpfungen
+, ∗ : K × K → K, heißt Körper, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
(a) (K, +, ∗) ist ein kommutativer Ring mit Eins.
(b) (K \ {0}, ∗) ist eine abelsche Gruppe, wobei 0 ∈ K das eindeutige neutrale
Element bzgl. + bezeichne.
Lemma 4
In jedem Körper (K, +, ∗) gelten die folgenden Rechenregeln:
(a) Für alle a ∈ K gilt 0 ∗ a = a ∗ 0 = 0.
(b) Für alle a ∈ K gilt (−1) ∗ a = a ∗ (−1) = −a, wobei −a das eindeutige
inverse Element zu a bzgl. + bezeichne. Insbesondere gilt (−1) ∗ (−1) = 1.
(c) Für alle a, b ∈ K gilt die Implikation: a ∗ b = 0 =⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Beweis. Da die Multiplikation ∗ auf K kommutativ ist, genügt es bei (a) und
(b) jeweils eine die beiden Gleichungen zu zeigen.
18
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Zu (a): Sei a ∈ K beliebig und setze b := 0 ∗ a. Somit müssen wir b = 0 zeigen.
Offensichtlich gilt
0 ∗ a = (0 + 0) ∗ a = 0 ∗ a + 0 ∗ a ,
also b = b + b. Indem man −b auf beiden Seiten der letzten Gleichung addiert,
erhält man, wie gewünscht, 0 = b.
Zu (b): Sei a ∈ K beliebig. Dann gilt
a + (−1) ∗ a = 1 + (−1) ∗ a = 0 ∗ a = 0 .
Somit ist (−1) ∗ a das eindeutige inverse Element zu a bzgl. der Addition, also
(−1) ∗ a = −a.
Zu (c): Seien a, b ∈ K mit a ∗ b = 0 und sei a 6= 0. Somit müssen wir b = 0
zeigen. Da a 6= 0 gilt, existiert ein eindeutiges inverses Element a−1 zu a bzgl. ∗
und folglich erhalten wir aus Teil (a) und der Voraussetzung a ∗ b = 0 die
Gleichungskette
b = (a−1 ∗ a) ∗ b = a−1 ∗ (a ∗ b) = a−1 ∗ 0 = 0 ,
also b = 0.
Satz 7 Die Menge der rationalen Zahlen (Q, +, ·), versehen mit der üblichen
Addition und Multiplikation, bildet einen Körper.
Beweis. Wie im Fall von Satz 6 verzichten wir auch hier auf einen Beweis, da
wir die notwendige Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen
nicht explizit durchgeführt haben.
Beispiele:
1) Seien K1 und K2 beliebige Körper. Begründen Sie, warum im
Fall von Körpern im Gegensatz zu Ringen die komponentenweise Addition
und Multiplkation (vgl. Beispiel 3, Seite 18) auf dem kartesischen Produkt
K1 × K2 keine Körperstruktur liefert .
√
√
2) Die Menge Q[√ 2] := {a+b 2 | a, b ∈ Q} ist ein (Teil-) Körper (der reellen
Zahlen), der 2 enthält aber nicht mit R übereinstimmt.
3) Beispiele für endliche Körper erhält man durch die Äquivalenzklassenringe
Zp (siehe Seite 18) für den Fall, dass p eine Primzahl ist.
Konvention: Sei (K, +, ∗) ein beliebiger Körper. Dann definieren wir um Klammern zu sparen wie üblich die „Punkt-von-Strich“–Regel, d.h.
a ∗ b + c := (a ∗ b) + c und a + b ∗ c := a + (b ∗ c).
für alle a, b, c ∈ K. Ferner unterdrücken wir in vielen Fällen das Multiplikationssymbol „∗”, d.h. wir schreiben einfach ab statt a ∗ b.
Angeordnete Körper
Definition 7 Sei (K, +, ∗) ein Körper und sei ≤ eine Totalordnung auf K.
Dann heißt (K, +, ∗, ≤) angeordneter Körper, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
19
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
(i) Für alle a, b, c ∈ K gilt a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c.
(ii) Für alle a, b, c ∈ K mit 0 ≤ c gilt a ≤ b =⇒ ac ≤ bc.
Notation: Sei K ein angeordneter Körper. Dann definieren wir für a, b ∈ K die
Schreibweisen:
(i) a ≥ b :⇐⇒ b ≤ a
(ii) a < b :⇐⇒ (a ≤ b ∧ a 6= b)
(iii) a > b :⇐⇒ (a ≥ b ∧ a 6= b).
Folgerung 2 Sei (K, +, ∗, ≤) ein angeordneter Körper. Dann gelten für alle
a, b, c ∈ K die folgenden Rechenregeln:
(a) a ≤ b ⇐⇒ −b ≤ −a
(b) a ≤ b ∧ c ≤ 0 =⇒ ac ≥ bc
(c) a ≤ b ∧ c ≤ d =⇒ a + c ≤ b + d
(d) 0 ≤ a ≤ b ∧ 0 ≤ c ≤ d =⇒ 0 ≤ ac ≤ bd
Falls in (c) und (d) eine der beiden Abschätzungen auf der linken Seite strikt ist
und falls in (d) zusätzlich 0 < a und 0 < c gilt, so sind auch die entsprechenden
Abschätzungen auf der rechten Seite strikt. Ferner gilt für alle a ∈ K die Aussage
a2 ≥ 0 und a2 = 0 ⇐⇒ a = 0, d.h. Quadrate sind immer größer gleich null.
Insbesondere gilt also 1 > 0.
Beweis. Zu (a): Sei also a ≤ b. Nach Eigenschaft (i) aus Definition 7 gilt dann
a − (a + b) ≤ b − (a + b), also −b ≤ −a. Die Umkehrung folgt analog.
Zu (b): Sei also a ≤ b und c ≤ 0. Dann folgt aus Teil (a) die Abschätzung
0 ≤ −c und somit impliziert die Eigenschaft (ii) aus Definition 7 die Ungleichung
−ac ≤ −bc. Nochmalige Anwendung von Teil (a) liefert die Behauptung.
Zu (c): Aus a ≤ b und c ≤ d folgt mittels (i) aus Definition 7, a + c ≤ b + c und
b + c ≤ b + d, also a + c ≤ b + d.
Zu (d): Aus 0 ≤ a ≤ b und 0 ≤ c ≤ d folgt mittels (ii) aus Definition 7,
0 ≤ ac ≤ bc und 0 ≤ bc ≤ bd, also 0 ≤ ca ≤ bd.
Wir zeigen noch, dass Quadrate immer größer gleich null sind:
1. Fall a ≥ 0: Dann folgt aus Eigenschaft (ii) der Definition 7 die Abschätzung
a2 ≥ 0.
2. Fall a ≤ 0: Dann erhalten wir aus Teil (b) die Abschätzung a2 ≥ 0.
Also gilt in jedem Fall a2 ≥ 0 und mittels Lemma 4 (c) erhält man die Äquivalenz
a2 = 0 ⇐⇒ a = 0. Insbesondere folgt aus den obigen Abschätzung 1 > 0,
denn 1 = 12 und somit ist 1 ein Quadrat. Der Fall 1 6= 0 ist per definitionem
ausgeschlossen. Die obigen Zusatzaussagen über strikte Abschätzungen zeigt
man leicht mit Hilfe des folgenden Lemmas.
Lemma 5
Seien x, y ∈ K. Dann gilt:
(a) 0 < x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 < x + y
20
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
(b) 1 < x ∧ 1 ≤ y =⇒ 1 < xy
Beweis. Zu (a): Aufgrund von Folgerung 2 (c) müssen wir nur den Fall 0 = x+y
ausschließen. Angenommen, es gälte 0 = x + y, also x = −y. Dann wäre nach
Folgerung 2 (a) x ≤ 0 im Widerspruch zur Voraussetzung 0 < x. Somit erhalten
wir 0 < x + y.
Zu (b): Aufgrund von Folgerung 2 (d) müssen wir nur den Fall 1 = xy ausschließen. Angenommen, es gälte 1 = xy, also x = y −1 . Dann wäre x ≤ 1, denn
aus 1 ≤ y folgt y −1 ≤ 1 (Man beachte, dass Folgerung 2 (b) die Abschätzung
0 < y −1 impliziert, falls y > 0 gilt), und somit erhält man einen Widerspruch
zur Voraussetzung 1 < x. Damit ergibt sich insgesamt 1 < xy.
Definition 8 Ein angeordneter Körper (K, +, ∗, ≤) heißt archimedisch, falls
zu allen a, b ∈ K mit 0 < a ≤ b ein n ∈ N existiert, so dass
b < n · a := a + . . . + a .
| {z }
n-mal
Satz 8 Die Menge der rationalen Zahlen (Q, +, ·, ≤), vershen mit den üblichen
Rechenoperationen und der von N „vererbten” Totalordnung, ist ein archimedisch angeordneter Körper.
Beweis. Die in Satz 4 auf N konstruierte Ordnung läßt sich auf Q übertragen.
Dabei verliert sie zwar ihre Wohlordnungseigenschaft, „vererbt“ aber ihre Totalordnung. Da wir diese Konstruktion nicht explizit durchgeführt haben, benutzen
wir im Weiteren (ohne Beweis), dass Q bzgl. ≤ ein angeordneter Körper ist. Wir
zeigen hier nur, dass Q archimedisch ist. Sei also 0 < a ≤ b mit a = pq , b = rs und
p, q, r, s ∈ N. Diese Wahl von p, q, r und s ist möglich, da nach Voraussetzung
a > 0 und b > 0 gilt. Dann erhalten wir für n := qr + 1 die Abschätzung
n · a = (qr + 1) ·
p
p
r p
r
= pr + ≥ p + > = b ,
q
q
s q
s
d.h. Q ist archimedisch.
3
Reelle Zahlen
Warum reelle Zahlen?
Wichtige Gleichungen und geometrische Größen lassen sich nicht durch rationale
Zahlen ausdrücken. So hat z.B. die Gleichung x2 = 2 keine rationale Lösung (siehe Satz 9) und das Verhältnis zwischen Durchmesser und Umfang eines Kreises
keinen rationalen Wert. Durch eine geeignete Erweiterung unseres Zahlenbereichs, d.h. durch die reellen Zahlen, kann man die genannten „Löcher“ in der
Menge der rationalen Zahlen „stopfen“.
Im Weiteren beschäftigen wir uns mit der Konstruktion und den wichtigsten
Eigenschaften der reellen Zahlen. Zuvor wollen wir aber an einem einfachen
Beispiel zeigen, dass derartige „Löcher“ wirklich existieren.
Satz 9
Die Gleichung x2 = 2 besitzt keine rationale Lösung.
21
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Widerspruchsbeweis. Sei x = pq mit p, q ∈ Z \ {0} eine Lösung der Gleichung
x2 = 2. Dann können wir annehmen, dass pq „vollständig” gekürzt ist, d.h.
ggT(p, q) = 1. Aus der Identität
p2
q2
= 2 folgt offensichtlich
p2 = 2 · q 2 .
(∗)
Somit ist p2 durch 2 teilbar. Da 2 aber eine Primzahl10 ist, muss auch p durch
2 teilbar sein. Also gilt p = 2 · p0 mit p0 ∈ Z. Wenn man dies in (∗) einsetzt, so
erhält man 4 · (p0 )2 = 2 · q 2 , also 2 · (p0 )2 = q 2 . Damit ist analog auch q durch 2
teilbar. Dies ist aber ein Widerspruch zu Annahme ggT(p, q) = 1. Also gibt es
keine rationale Zahl x mit x2 = 2.
Axiomatische Einführung der reellen Zahlen
Definition 9
Sei M eine beliebige Menge und sei ≤ eine Ordnung auf M .
(a) Eine Teilmenge N ⊂ M heißt von oben (unten) beschränkt, wenn es ein
m ∈ M gibt, so dass für alle n ∈ N die Ungleichung n ≤ m (bzw. n ≥
m) erfüllt ist. Jedes derartige m ∈ M bezeichnen wir als obere (untere)
Schranke von M . Falls N von oben und von unten beschränkt ist, so heißt
N beschränkt.
(b) Eine obere Schranke m∗ von N ⊂ M , die in N enthalten ist, wird Maximum von N genannt. Analog heißt eine untere Schranke m∗ von N , die
in N enthalten ist, Minimum von N .
Notation:11 max N (Maximum von N ) bzw. min N (Minimum von N ),
falls dieses existiert.
(c) Sei N ⊂ M eine von oben beschränkte Menge. Ein Element s ∈ M heißt
Supremum von N , wenn s kleinste obere Schranke von N ist, d.h., wenn
s = min{m∗ ∈ M | m∗ obere Schranke von N } .
Analog definiert man das Infimum i ∈ M einer von unten beschränkten
Menge N ⊂ M als die größte untere Schranke von N , d.h.
i = max{m∗ ∈ M | m∗ untere Schranke von N } .
Notation:11 sup N (Supremum von N ) bzw. inf N (Infimum von N ), falls
dieses existiert.
Bemerkung: Somit ist s ∈ M Supremum von N ⊂ M , wenn folgende Bedingungen erfüllt:
(i) s ist eine obere Schranke von N .
10 Man kann hier auch problemlos auf das Primzahlargument verzichten, jedoch lässt sich
der obige Beweis dadurch leicht auf jede Gleichung der Form xn = s, wobei n ≥ 2 eine
natürliche Zahl und s eine beliebige Primzahl bezeichnet, übertragen.
11 Die Notation wird durch die Eindeutigkeit von Maximum/Supremum bzw. Minimum/infimum (siehe Lemma 6) gerechtfertigt.
22
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
(ii) s ≤ m∗ für alle oberen Schranken m∗ von N .
Lemma 6
Sei M eine beliebige Menge und sei ≤ eine Ordnung auf M .
(a) Falls N ⊂ M ein Maximum (Minimum) besitzt, so ist dieses eindeutig.
(b) Falls N ⊂ M ein Supremum (Infimum) besitzt, so ist dieses eindeutig.
(c) Falls N ⊂ M ein Maximum (Minimum) besitzt, so ist dieses auch Supremum (Infimum) von N .
Beweis. Zu (a): Seien m∗ und m0 Maxima von N . Dann gilt m∗ ≤ m0 , da
m∗ ∈ N und m0 Maximum von N ist. Analog erhält man m0 ≤ m∗ . Daraus
folgt m∗ = m0 .
Zu (b): Die Aussage folgt unmittelbar aus Teil (a) und der Charakterisierung
des Supremums (Infimums) als Minimum (Maximum) aller oberen (unteren)
Schranken.
Zu (c): Sei m∗ Maximum von N und sei m eine beliebige obere Schranke von
N . Dann gilt m∗ ≤ m, da m∗ ∈ N und m obere Schranke von N ist. Folglich
ist m∗ die kleinste obere Schranke von N , also das Supremum von N .
Beispiele:
1) Sei M := Q versehen mit der gewöhnlichen Kleiner-Gleich-Relation ≤.
(a) Sei N := {0, 1, 2}. Dann gilt max N = sup N = 2 und min N =
inf N = 0.
(b) Sei N := {x ∈ Q | x > 0}. Hier existieren weder Maximum, Supremum noch Minimum von N , aber inf N = 0.
(c) Sei N := { n1 | n ∈ N}. Dann gilt max N = sup N = 1 und inf N = 0.
Das Minimum von N existiert nicht.
x2 +2
n
(d) Sei N := {an | n ∈ N} mit xn+1 := 2·x
und x1 = 2, also N =
n
3 17 577
2, 2 , 12 , 408 . . . . Dann gilt max N = sup N = 2. Ferner kann man
zeigen, dass in Q weder Minimum noch Infimum von N existieren.
Dieses Beispiel werden wir im Folgenden noch genauer untersuchen.
2) Sei M := P {1, 2, 3, 4} ,versehen mit der ⊆-Relation als Ordnung und sei
N := {2}, {1, 2}, {2, 3} . Dann sind {1, 2, 3} und {1, 2, 3, 4} obere sowie
∅ und {2} untere Schranken von N . Ferner gilt sup N = {1, 2, 3} und
inf N = min N = {2}. Das Maximum von N existiert nicht.
Definition 10 Ein angeordneter Körper (K, +, ∗, ≤) heißt vollständig angeordnet, wenn jede nichtleere, von oben beschränkte Menge ein Supremum besitzt.
Folgerung 3
(a) In einem vollständig angeordneten Körper besitzt jede nichtleere, von unten beschränkte Menge ein Infimum.
(b) Jeder vollständig angeordnete Körper ist archimedisch.
23
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Beweis. Zu (a): Sei K ein vollständig angeordneter Körper und sei N 6= ∅ nach
unten beschränkt, z.B. durch b ∈ K, d.h. b ≤ a für alle a ∈ N . Daraus folgt,
dass N 0 := {−a | a ∈ N } durch −b nach oben beschränkt ist, vgl. Folgerung 2.
Somit besitzt N 0 ein Supremum. Setze s := sup N 0 . Dann ist −s das Infimum
von N , denn es gilt:
(i) −a ≤ s für alle a ∈ N , also −s ≤ a für alle a ∈ N .
(ii) Für jede untere Schranke b von N ist −b obere Schranke von N 0 , also
s ≤ −b und somit b ≤ −s.
Zu (b): Sei K ein vollständig angeordneter Körper. Angenommen, K wäre nicht
archimedisch. Dann gäbe es a, b ∈ K mit 0 < a ≤ b und n · a ≤ b für alle n ∈ N,
d.h. die Menge N := {n · a ∈ K | n ∈ N} wäre durch b nach oben beschränkt.
Somit würde N ein Supremum s := sup N besitzen und s − a wäre folglich keine
obere Schranke von N , d.h. es gäbe ein n∗ ∈ N mit n∗ · a > s − a. Daraus würde
aber
(n∗ + 1) · a = (n∗ · a) + a > s − a + a = s
im Widerspruch zur Definition von s folgen. Daher existiert kein Supremum von
N und folglich gibt es ein n0 ∈ N mit b < n0 · a.
Satz 10 Die Menge {x ∈ Q | 0 ≤ x2 ≤ 2} ist noch oben beschränkt und
besitzt kein Supremum in Q.
Folgerung 4 Der Körper (Q, +, ·, ≤) der rationalen Zahlen ist nicht vollständig angeordnet.
Beweis der Folgerung. Die Behauptung folgt unmittelbar aus Satz 10.
Beweis von Satz 10. Setze N := {x ∈ Q | 0 ≤ x2 ≤ 2}. Angenommen, es gäbe
ein Supremum s := sup N in Q. Wir wollen dies im Weiteren zum Widerspruch
führen. Da 1 ∈ N , können wir o.B.d.A s > 0 annehmen, da 0 ∈ N .
2
1. Fall: Angenommen, s2 < 2. Setze ∆ := min s, 2−s
. Dann gilt
3s
(s + ∆)2 = s2 + 2s∆ + ∆2 ≤ s2 + 2s∆ + s∆ = s2 + 3s∆ ≤ 2
↑
∆≤s
und daraus folgt s + ∆ ∈ N . Dies ist aber ein Widerspruch zur Supremumseigenschaft von s.
2 −2 2. Fall: Angenommen, s2 > 2. Setze ∆ := min s, s 2s
> 0. Dann gilt s−∆ ≥ 0
und somit erhält man für x > s − ∆ die Abschätzung
x2 > (s − ∆)2 = s2 − 2s∆ + ∆2 ≥ s2 − 2s∆ ≥ s2 − 2s ·
s2 − 2
= 2,
2s
d.h. x 6∈ N . Folglich gilt für alle x ∈ N die Abschätzung x ≤ s − ∆, d.h. s − ∆
ist eine obere Schranke von N . Da s − ∆ aber echt kleiner als s ist, steht dies
im Widerspruch zur Supremumseigenschaft von s.
3. Fall: Angenommen, s2 = 2. Dies widerspricht unmittelbar Satz 9.
Somit haben wir insgesamt gezeigt, dass N kein Supremum in Q besitzt.
24
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Satz 11 (Isomorphiesatz) Es gibt einen (bis auf Isomorphie) eindeutigen, vollständig angeordneten Körper. Dieser enthält in eindeutiger Weise12 die Menge
der rationalen Zahlen als Teilkörper.
Beweis. Einen vollständigen Beweis der obigen Aussage kann man z.B. in Ebbinghaus et al., „Zahlen“, Springer, 1992 finden.
Definition 11 Diesen (bis auf Isomorphie) eindeutigen Körper aus Satz 11
bezeichnen wir im Weiteren als den Körper der reellen Zahlen und schreiben
dafür R.
Bemerkungen zu Konstruktion von R
In der Standardliteratur findet man gewöhnlich drei verschieden Konstruktionsverfahren der Menge der reellen Zahlen (vgl. auch Ebbinghaus et al., „Zahlen“,
Springer, 1992):
Dedekindsche Schnitte (Dedekind 1831–1916) Die Grundidee Dedekinds besteht darin, rationale Zahlen q mit Mengen der From Sq := {p ∈ Q | p >
q} ⊂ Q zu identifizieren und eine Addition bzw. Multiplikation für diesen Menge so zu definieren, dass die Gleichungen Sq + Sq0 = Sq+q0 und
Sq · Sq0 = Sq·q0 für alle q, q 0 ∈ Q erfüllt sind. Beim genaueren Studium
dieser „Konstruktion“ zeigt sich, dass die wesentlichen Eigenschaften der
Mengen Sq die folgenden sind:
(i) Sq ist nichtleer und nach unten beschränkt.
(ii) Für alle r, s ∈ Q gilt die Implikation (s ∈ S ∧ r ≥ s) =⇒ r ∈ Sq .
(ii) Sq besitzt kein Minimum.
Davon ausgehend bezeichnet man jede Teilmenge S ⊂ Q, die (i)–(iii) erfüllt, als Dedekindschen Schnitt. Man kann nun auf die Menge aller Dedekindschen Schnitte die obige Addition bzw. Multiplikation so fortsetzen,
dass ein vollständig angeordneter Körper entsteht. Den rationalen Zahlen entsprechen dann gerade die Schnitten der From Sq mit q ∈ Q, alle
anderen Schnitte heißen irrational.
Intervallschachtelungen (Weierstraß 1815- -1897, Bolzano 1781–1848) Die
Grundidee dieses Konstruktionsverfahrens besteht darin, eine reelle Zahl
mit „einer“ Intervallschachtelung in Q, die sich auf diese reelle Zahl „zusammenzieht“, zu identifizieren. Die Schwierigkeit besteht darin, dass eine
derartige Intervallschachtelung nicht eindeutig ist. Daher muss man durch
geeignete Äquivalenzklassenbildung Intervallschachtelungen, die sich auf
denselben Punkt zusammenziehen, miteinander identifizeiren.
Cauchy-Folgen (Cantor 1845–1918, Cauchy 1789–1857) Die Konstruktion mittels Cauchy-Folgen ist der obigen Konstruktion mittels Intervallschachtelungen sehr ähnlich. Statt Intervallschachtelungen betrachtet man hier
Cauchy-Folgen von rationalen Zahlen (vgl. Kapitel ??), die sich auf die
12 vgl.
Satz 9
25
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
zu konstruierende reelle Zahl zusammenziehen. Ähnlich wie bei Intervallschachtelungen besteht auch hier das Problem, dass verschieden CauchyFolgen dieselbe reelle Zahl repräsentieren können. Daher ist wiederum eine
geeignete Äquivalenzklassenbildung nötig, um Cauchy-Folgen, die dieseble
reelle Zahl repräsentieren, miteinander identifizieren zu können.
Weitere grundlegende Eigenschaften von R
Lemma 7 (Binomischer Lehrsatz)
(a + b)n =
n X
n
k=0
k
Sei n ∈ N0 und seien a, b ∈ R. Dann gilt
ak bn−k =
n X
n
k=0
k
ak bn−k ,
(∗)
wobei die Binomialkoeffizienten nk für n, k ∈ N0 und n ≥ k wie folgt definiert
sind:
n
n!
:=
k!(n − k)!
k
Pn
Insbesondere gilt die Identität k=0 nk = 2n .
Beweis. Zum Beweis von (∗) siehe Übung; die zweite Identität folgt unmittelbar
aus (∗) angewandt auf a = b = 1.
Satz 12 (Existenz n-ter Wurzeln) Für jede nicht negative reelle Zahl y ≥ 0
und für jedes n ∈ N existiert genau eine nicht negative reelle Zahl x ≥ 0 mit
xn = y. Diese eindeutige, nicht negative reelle Zahl x ≥ 0 bezeichnen wir im
√
Weiteren mit n y.
Beweis. Seien n ∈ N und y ≥ 0 gegeben.
Zur Eindeutigkeit: Seien x1 ≥ 0 und x2 ≥ 0 Lösungen der Gleichung xn = y.
Angenommen, x1 6= x2 , also o.B.d.A. 0 ≤ x1 < x2 . Dann erhält man mittels
Induktion aus Folgerung 2 die Abschätzung 0 ≤ xk1 < xk2 für alle k ∈ N. Dies
liefert aber einen Widerspruch13 zur Annahme xn1 = xn2 = y und somit existiert
höchstens eine nicht negative Lösung der Gleichung xn = y.
Zur Existenz: Falls y = 0, so ist x = 0 offensichtlich die gesuchte (eindeutige)
nicht negative Lösung der Gleichung xn = y. Sei also y > 0 und Ny := {x ∈
R | 0 ≤ xn ≤ y}. Dann ist Ny nach oben beschränkt (z.B. durch m = 1 falls
y ≤ 1, oder durch m = y falls y ≥ 1) und somit besitzt Ny ein Supremum
s := sup Ny . Wir zeigen im Weiteren, dass s die gesuchte Lösung der Gleichung
xn = y ist. Dazu beachte man, dass s > 0 gilt, denn 1 ∈ Ny für y ≥ 1 bzw. y ∈
Ny füry ≤ 1.
n 1. Fall: Angenommen, sn < y: Setze ∆ := min s, 2y−s
> 0. Damit erhält
n sn−1
13 Alternative kann man die Eindeutigkeit x = x auch mit Hilfe der Identität xn − xn =
1
2
1
2
(x1 − x2 )(xn−1
+ xn−2
x2 + · · · + x2n−1 ) zeigen. Man beachte dabei die Abschätzung x1n−1 +
1
1
xn−2
x2 + · · · + xn−1
> 0 für x2 > x1 ≥ 0 oder x1 > x2 ≥ 0.
1
2
26
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
man für s + ∆ die Abschätzung
n X
n n−1
n
n
n
n−1
(s + ∆) = s +
s
∆ + ...∆ ≤ s + s
∆
1
k
k=1
n y − sn X n
y − sn n
≤ sn +
2 ≤ y,
≤ sn +
n
2
k
2n
n
n
k=1
wobei die vorletzte Ungleichung aus Lemma 7 folgt, und somit gilt s + ∆ ∈ Ny .
Dies widerspricht aber der Supremumseigenschaft von s.
n
2. Fall: Angenommen, y < sn . Setze ∆ := min s, 2sn s−y
> 0. Dann folgt
n−1
s − ∆ ≥ 0 und somit erhält man für x > s − ∆ die Abschätzung
n n−1
n n−2 2
xn > (s − ∆)n = sn −
s
∆+
s
∆ ± . . . (−1)n ∆n
1
2
n n X
n
sn − y X n
n
n−1
n
≥s −s
∆
≥s −
≥ y,
k
2n
k
k=1
k=1
wobei sich die letzte Ungleichung wiederum aus Lemma 7 ergibt. Folglich ist
s − ∆ im Widerspruch zur Supremumseigenschaft s eine obere Schranke von
Ny .
3. Fall: Da R vollständig angeordnet ist, muss Ny ein Supremum s ∈ R besitzen
und somit bleibt nur noch die Möglichkeit sn = y.
Seien y1 , y2 ≥ 0. Dann gilt:
q
√
√ √
1
(a) n y1 y2 = n y1 n y2 und n y11 = √
n y , falls y1 6= 0.
1
Folgerung 5
(b) y1 ≤ y2 ⇐⇒
√
n
y1 ≤
√
n
y2
Beweis. Zu (a): siehe Übung
√
√
Zu (b): „⇐=“: Aus n y1 ≤ n y2 und Folgerung 2 folgt unmittelbar die Abschät√
√
zung ( n y1 )n ≤ ( n y2 )n , also y1 ≤ y2 .
„⇐=“: Sei o.B.d.A. y2 > 0. Dann erhält man aus 0 ≤ y1 ≤ y2 dieqAbschätzung
0 ≤ yy12 ≤ 1. Nun zeigt ein einfacher Widerspruchsbeweis 0 ≤ n yy12 ≤ 1 und
√
√
somit folgt aus Teil (a) die Abschätzung 0 ≤ n y1 ≤ n y2 .
Definition 12 Seien x, y ∈ R. Dann definieren wir den Betrag von x wie folgt
(
x
falls x ≥ 0
|x| :=
−x falls x < 0.
Ferner definieren wir den Abstand zwischen y und y durch d(x, y) := |x − y|.
Folgerung 6 Die Funktionen | · | : R → R, x 7→ |x| und d : R × R → R,
(x, y) 7→ d(x, y) besitzen die folgenden Eigenschaften:
(a) |x| ≥ 0 und |x| = 0 ⇐⇒ x = 0,
(positive Definitheit)
27
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
(b) |x · y| = |x| · |y|,
(c) |x + y| ≤ |x| + |y|,
(Dreiecksungleichung)
(d) d(x, y) ≥ 0 und d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,
(e) d(x, y) = d(y, x),
(Symmetrie)
(f) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z),
(Dreiecksungleichung)
wobei x, y, z ∈ R beliebige reelle Zahlen bezeichnen.
Bemerkung: Die Eigenschaften (a)–(c) definieren eine Norm auf R; die Eigenschaften (d)–(f) eine Metrik.
Beweis. Wir beweisen exemplarisch nur die Eigenschaften (b), (c) und (f).
Zu (b):
1. Fall: x ≥ 0, y ≥ 0. Dann gilt x · y ≥ 0. Daraus folgt |x · y| = x · y = |x| · |y|.
2. Fall: x < 0, y < 0. Dann gilt x·y > 0, also |x·y| = x·y = (−x)·(−y) = |x|·|y|.
3. Fall: x < 0, y ≥ 0. Dann gilt x·y ≤ 0, also |x·y| = −(x·y) = (−x)·y = |x|·|y|.
4. Fall: x ≥ 0, y < 0. Analog zu Fall 3.
Zu (c):
1. Fall: x ≥ 0, y ≥ 0. Dann gilt x + y ≥ 0, also |x + y| = x + y = |x| + |y|.
2. Fall: x < 0, y < 0. Dann gilt x+y < 0, also |x+y| = −(x+y) = (−x)+(−y) =
|x| + |y|.
3. Fall:
(i) x < 0, y ≥ 0 und x + y ≥ 0. Dann gilt |x + y| = x + y ≤ −x + y = |x| + |y|.
(ii) x < 0, y ≥ 0 und x + y < 0. Dann gilt |x + y| = −(x + y) = −x + (−y) ≤
−x + y = |x| + |y|.
4. Fall: x ≥ 0, y < 0. Analog zu Fall 3.
Zu (f): Für beliebige x, y, z ∈ R gilt
Teil (c)
d(x, z) = |x − z| = | x − y + y − z |
| {z } | {z }
=:a
≤
|a| + |b|
=:b
= |x − y| + |y − z| = d(x, y) + d(y, z).
Definition 13 Seien a, b ∈ R. Wir definieren die folgenden Kategorien beschränkter Intervalle:
[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
(abgeschlossenes/kompaktes Intervall)
[a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b}
(halboffenes Intervall)
(a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}
(halboffenes Intervall)
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b}
(offenes Intervall)
28
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Für unbeschränkte Intervalle benutzen wir die Notation:
(−∞, b] := {x ∈ R | x ≤ b} ,
(−∞, b) := {x ∈ R | x < b}
[a, +∞) := {x ∈ R | a ≤ x} ,
(a, +∞) := {x ∈ R | a < x}
und insbesondere
R−
0 := (−∞, 0] ,
R− := (−∞, 0] ,
R+
0 := (−∞, 0] ,
R+ := (−∞, 0] .
Zusätzlich definieren wir die offene bzw. abgeschlossene Kugel um a ∈ R mit
Radius r ≥ 0 wie folgt:
Br (a) := {x ∈ R | d(a, x) < r}
(offene Kugel)
Kr (a) := {x ∈ R | d(a, x) ≤ r}
(abgeschlossene Kugel)
und
Lemma 8
Für r ≥ 0 gelten die folgenden Identitäten:
Br (a) = (a − r, a + r) und Kr (a) = [a − r, a + r] .
Beweis. Wir zeigen zuerst die Inklusion Br (a) ⊂ (a−r, a+r). Sei also x ∈ Br (a),
also |a − x| < r. Daraus folgt
x = a + x − a ≤ a + |x − a| < a + r
und
a = x + a − x ≤ x + |a − x| < x + r ,
also x < a − r und a − r < x, d.h. x ∈ (a − r, a + r).
Sei nun x ∈ (a − r, a + r). Dann gilt
|a − x| = max{a − x, x − a} ≤ max{a − (a − r), (a + r) − a} = r ,
also x ∈ Br (a) und somit gilt auch die Inklusion (a − r, a + r) ⊂ Br (a).
Die Identität Kr (a) = [a − r, a + r] zeigt man völlig analog.
Definition 14 Eine Teilmenge D ⊂ R heißt dicht in R, wenn sie mit jeder
echten14 , offenen Kugel Br (x) einen nichtleere Durchschnitt besitzt, d.h., wenn
D ∩ Br (x) 6= ∅ für alle x ∈ R und alle r > 0 gilt.
Satz 13
Lemma 9
Der Körper Q der rationalen Zahlen ist dicht in R.
(a) Zu jedem ε > 0 existiert ein n ∈ N mit 0 <
1
n
< ε.
(b) Seien a, b ∈ R mit a < b. Dann existiert ein q ∈ Q mit a < q < b.
14 Eine
Kugel heißt echt oder nicht trivial, wenn ihre Radius echt größer null ist.
29
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Beweis des Lemmas. Zu (a): Sei ε > 0. Falls ε > 1, so ist die Aussage offensichtlich für n = 1 erfüllt. Falls ε ≤ 1, so gilt 0 < 1 ≤ 1ε . Da R nach Folgerung
3 archimedisch ist, existiert somit ein n ∈ N mit 0 < 1ε < n, also 0 < n1 < ε.
Zu (b): Sei o.B.d.A. a ≥ 0. Setze ε := b − a > 0. Dann existiert nach Teil (a)
ein n ∈ N mit 0 < n1 < ε. Da R archimedisch ist, ist die Menge
N := {k ∈ N | k ·
1
n
> a}
nichtleer und besitzt nach dem Wohlordnungssatz 4 ein Minimum. Setze k0 :=
min N . Dann gilt offensichtlich a < kn0 , aber auch kn0 < b. Denn wäre b ≤ kn0 , so
würde dies die Abschätzung
a = b − (b − a) < b −
1
k0 − 1
≤
.
n
n
im Widerspruch zur Definition von k0 implizieren. Damit ist q :=
nale Zahl mit der gewünschten Eigenschaft.
k0
n
eine ratio-
Beweis des Satzes. Sei x ∈ R und ε > 0 gegeben. Dann existiert nach obigem
Lemma ein q ∈ Q mit x − ε < q < x + ε, also q ∈ Q ∩ Br (x).
Definition 15 Eine Folge (In )n∈N nichtleerer Intervalle mit In+1 ⊂ In für
n ∈ N heißt Intervallschachtelung in R.
Beispiele: Setze In := − n1 , n1 und Jn := [n, ∞) für n ∈ N. Dann sind
(In )n∈N und (Jn )n∈N Intervallschachtelungen in R mit
\
\
In = {0} und
Jn = ∅ .
n∈N
n∈N
Satz 14 Sei (In )n∈N eine Intervallschachtelung kompakter, nichtleerer Intervalle in R, d.h. für alle n ∈ N existieren geeignete reelle Zahlen an ≤ bn mit
In = [an , bn ]. Dann gilt
\
In 6= ∅ .
n∈N
Kurzversion: Der Durchschnitt jede kompakten Intervallschachtelung in R ist
nichtleer.
Falls zusätzlich die Folge der Durchmesser dn := |bn − an | beliebig klein wird
für große15 n ∈ N, so existiert genau eine reelle Zahl x ∈ R mit
\
In = {x} .
n∈N
Beweis. Sei In = [an , bn ] mit an ≤ bn . Dann folgt aus In+1 ⊂ In , die Abschätzung an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn für alle n ∈ N. Somit sind die Mengen
N := {an | n ∈ N} und N 0 := {bn | n ∈ N} von oben (z.B. durch m := b1 ) bzw.
von unten (z.B. durch m0 := a1 ) beschränkt. Im Weiteren zeigen wir:
\
In = [sup N, inf N 0 ] 6= ∅ .
(∗)
n∈N
1. Schritt: Wir zeigen zuerst sup N ≤ inf N 0 , also [sup N, inf N 0 ] 6= ∅.
15 Eine
exakte Definition dieser etwas vagen Formulierung liefert Definition ?? in Kapitel
??.
30
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
1. Fall: Sei n ≤ k. Dann gilt an ≤ ak ≤ bk .
2. Fall: Sei n ≥ k. Dann gilt an ≤ bn ≤ bk .
Daraus folgt an ≤ bk für alle n, k ∈ N und somit
sup N ≤ bk .
(∗∗)
Da aber (∗∗) für alle k ∈ N erfüllt ist, erhalten wir weiterhin sup N ≤ inf N 0 .
2. Schritt: Als Nächstes zeigen wir
\
In ⊆ [sup N, inf N 0 ] .
n∈N
T
Sei x ∈ n∈N In . Dann gilt offensichtlich an ≤ x ≤ bn für alle n ∈ N, also
ist x eine obere Schranke für N und eine untere Schranke für N 0 . Somit gilt
sup N ≤ x ≤ inf N 0 .
3. Schritt: Abschließend zeigen wir
\
In ⊇ [sup N, inf N 0 ] .
n∈N
T
Sei x ∈
/ n∈N In , d.h. es existiert ein n ∈ N mit x ∈
/ [an , bn ]. Sei o.B.d.A. x < an .
Daraus folgt x < sup N , also x ∈
/ [sup N, inf N 0 ].
Somit erhalten wir insgeamt aus Schritt 1–3 die Behauptung (∗) und folglich ist
der Durchschnitt der Intervallschachtelung (In )n∈N insbesondere nicht leer.
Zur Zusatzbehauptung: Aus der Abschätzung 0 ≤ inf N 0 − sup N ≤ bn − an
für alle n ∈ N folgt inf N 0 = sup N , falls bn − an beliebig klein wird für große
n ∈ N.
Satz 15 Die Menge R der reellen Zahlen ist überabzählbar, d.h. es gibt keine
surjektive Abbildung von N nach R.
Beweis. Angenommen, R wäre abzählbar. Dann gäbe es eine surjektive Abbildung ϕ : N → R, mit deren Hilfe wir rekursiv eine Intervallschachtelung (In )n∈N
mit den folgenden Eigenschaften konstruieren könnten:
(i) In ist komapt und nichtleer.
(ii) Für alle n ∈ N gilt ϕ(n) ∈
/ In .
Dies ist z.B. wie folgt möglich:
1. Schritt: Setze I1 := [a1 , b1 ] mit a1 = ϕ(1) + 1 und b1 = ϕ(1) + 2.
2. Schritt: Man bezeichne mit I11 das erste Drittel des Intervalls I1 , mit I12 das
zweite Drittel und mit I13 das dritte Drittel, also
I11 : = [a1 , a1 + 13 ] ,
I12 : = [a1 + 13 , a1 + 23 ] ,
I13 : = [a1 + 23 , b1 ] .
31
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Wähle nun α ∈ {1, 2, 3}, so dass ϕ(2) ∈
/ I1α , und setze I2 := I1α .
Allgemein ergibt sich In+1 aus In = [an , bn ], indem man wie zuvor In drittelt
und aus den Teilintervalle
bn −an
],
3
bn −an
, an + 2(bn3−an ) ] ,
3
2(bn −an )
, bn ]
3
In1 : = [an , an +
In2 : = [an +
In3 : = [an +
ein Inα =: In+1 , α ∈ {1, 2, 3} so aus wählt, dass ϕ(n + 1) ∈
/ Inα . Damit erhält man
rekursive eine Intervallschachtelung (In )n∈N mit den gewünschten Eigenschaften
(i) und (ii).
T
Nun Tfolgt aus Satz 14, dass der Durchschnitt n∈N In nicht leer ist. Sei also
x ∈ n∈N In . Dann existiert ein n ∈ NTmit ϕ(n) = x. Andererseits gilt jedoch
nach Konstruktion ϕ(n) ∈
/ In , also x ∈
/ n∈N In . Dieser Widerspruch zeigt, dass
es derartige Abbildung ϕ nicht geben kann, d.h., dass R ist überabzählbar.
4
Komplexe Zahlen
Warum auch noch komplexe Zahlen?
Obwohl die Konstruktion der reellen Zahlen eine Vielzahl von algebraiaschen
und geometrischen Problemen gelöst hat, gibt es weitere „einfache“ algebraische Gleichungen, wie z.B. x2 + 1 = 0, die keine reelle Lösung besitzen. Die
Einführung der komplexen Zahlen diente in erster Linie der Konstruktion von
Quadratwurzeln negativer Zahlen. Überraschender Weise zeigte sich im Nachhinein, dass nun „jede“ algebraische Gleichung (über den komplexen Zahlen)
eine Lösung hat. Genauer gesagt gilt der folgende tiefliegende Satz der Algebra,
dessen Beweis hier zu weit führen würde.
Pn
Satz (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom p(z) := k=0 ak z k mit
komplexen Koeffizienten a0 , . . . , an und an 6= 0 zerfällt in genau n Linearfaktoren, d.h. es gibt komplexe Zahlen z1 , . . . , zn mit
p(z) = an (z − z1 ) · (z − z2 ) · · · (z − zn ) ,
wobei die Zahlen z1 , . . . , zn nicht notwendigerweise verschieden sein müssen.
Zählt man also Nullstellen eines Polynoms entsprechend ihrer Vielfachheit16 , so
besitzt jedes komplexe Polymon vom Grad n genau n Nullstellen.
Konstruktion der komplexen Zahlen
(nach Wessel 1745–1818 und Gauß 1777–1855)
Wir definieren auf R2 eine Addition bzw. Multiplikation wie folgt
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc)
16 d.h. entsprechend ihrer Häufigkeit in der Folge z , . . . , z . Man spricht also von einer
n
1
Nullstelle der Vielfachheit k oder kurz von einer k-fachen Nullstelle, wenn die Zahl zi genau
k-mal in der Folge z1 , . . . , zn auftaucht.
32
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Satz 16
(R2 , +, ·) ist ein Körper.
Beweis. Zur Addition: Offensichtlich bildet R2 bzgl. + eine kommutative Gruppe mit neutralem Element (0, 0).
Neutrales Element der Multiplikation: Das Paar (1, 0) ist das eindeutige neutrale
Element der Multiplikation, denn es gilt:
(a, b) · (1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b) ,
(1, 0) · (a, b) = (1 · a − 0 · b, 1 · b + 0 · a) = (a, b) .
Inverse Elemente der Multiplikation: Die folgende einfache Rechnung zeigt, dass a
−b
das eindeutige multiplikativ inverse Element zu (a, b) 6= (0, 0) durch a2 +b
2 , a2 +b2
gegeben ist:
a
−b
a · a − b · (−b) a · (−b) + b · a
(a, b) ·
,
,
=
= (1, 0)
a2 + b2 a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2
−b
a
a · a − (−b) · b b · a + a · (−b)
,
,
·
(a,
b)
=
= (1, 0) .
a2 + b2 a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2
Der „Rest“ ist offensichtlich!
Definition 16 Den Körper (R2 , +, ·) aus Satz 16 bezeichnen wir im Weiteren
als den Körper der komplexen Zahlen und schreiben dafür kurz C.
Konvention: Sei (a, b) ∈ C und sei i := (0, 1). Dann gilt
(a, b) = (a, 0) + i(b, 0)
(∗)
Identifizieren17 wir ferner die reellen Zahlen a, b mit den Paaren (a, 0) und (b, 0),
so können wir (∗) wie folgt schreiben
(a, b) = a + ib .
Bemerkung: Die komplexe Zahl i wird in der Literatur oft imaginäre Einheit genannt.√Wegen ihrer Eigenschaft i2 = −1 findet man teilweise auch die
Schreibweise −1. Es ist nicht vollständig geklärt, auf wen die die Bezeichnung
„imaginär“ (= unwirklich/eingebildet) zurückgeht. Manche Quellen schreiben
sie Descartes (1596–1650) zu, der die Verwendung von komplexen Zahlen
noch ablehnte. Andere hingegen nennen in diesem Zusammenhang Cardano
(1501–1576), der mit Hilfe komplexer Zahlen – ähnlich der Lösungsformel18 für
quadratische Gleichungen – Lösungsformeln für Polynome 3. und 4. Gardes entwickelte (vgl. Ebbinghaus et al., „Zahlen“, Springer, 1992).
Kuriosum: Wir möchten uns an dieser Stelle für die Verletzung deutscher Industrienormen entschuldigen, denn in der Elektrotechnik wird gemäß DIN 1302
und DIN 5483-3 das Symbol j statt i benutzt, um eine Verwechslung mit andern Größen (Stromstärke) zu vermeiden.
17 Die
Abbildung a 7→ (a, 0) ist ein Körperisomorphismus von R nach C.
18 Lösungsformel
für quadratische Gleichungen ax2 + bx + c = 0:
33
x1/2 =
√
−b±
b2 −4ac
2a
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Definition 17 Sei z := a + ib eine beliebige komplexe Zahl mit a, b ∈ R. Dann
ist der Realteil bzw. der Imaginärteil von z wie folgt definiert
Re z := a
und
Im z := b .
Eine komplexe Zahl z heißt rein reell, falls Im z = 0, und rein imaginär, falls
Re z = 0. Ferner bezeichnet man die komplexe Zahl z̄ := a − ib als die zu
z := a + ib komplex konjugierte Zahl, also
z̄ := Re z − i Im z.
Eine Betrags- bzw. Abstandsfunktion für komplexe Zahlen erhält man mittels
p
p
|z| := (Re z)2 + (Im z)2 = a2 + b2
und
d(z, x) := |z − w| .
Folgerung 7
Seien z, w und v beliebige komplexe Zahlen. Dann gilt:
(a) z + w = z̄ + w̄, Re z = 12 (z + z̄) und Im z =
1
2i (z
− z̄).
(b) z · w = z̄ · w̄ und |z|2 = z · z̄.
Ferner sind die nachfolgenden Norm- bzw. Metrikeigenschaften erfüllt:
(N1) |z| ≥ 0 und |z| = 0 ⇐⇒ z = 0
(N2) |z · w| = |z| · |w|
(N3) |z + w| ≤ |z| + |w|
und
(M1) d(z, w) ≥ 0 und d(z, w) = 0 ⇐⇒ z = w
(M2) d(z, w) = d(w, z)
(M3) d(z, w) ≤ d(z, v) + d(v, w).
Beweis. Wir zeigen hier nur die Eigenschaften (b), (N2) und (N3). Der Beweis
der übrigen Aussagen erfolgt in den Übungen.
Zu (b): Sei z := a + ib und w := c + id mit a, b, c, d ∈ R. Dann gilt
z̄ · w̄ = (a − ib)(c − id) = ac − bd − i(ad + bc) = z · w
und
z · z̄ = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 = |z|2 .
Zu (N2): Seien z, w ∈ C beliebig. Dann folgt aus Teil (b) die Identität
|z · w|2 = zw · zw = (z · z̄) · (w · w̄) = |z|2 · |w|2 ,
also |z · w| = |z| · |w|.
34
KAPITEL II. ZAHLBEREICHE
Zu (N3): Seien z, w ∈ C beliebig. Dann folgt mittels Teil (b) die Abschätzung
|z + w|2 = (z + w) · (z̄ + w̄) = z · z̄ + w · w̄ + z · w̄ + z̄ · w
= |z|2 + |w|2 + 2 · Re(z · w̄) ≤ |z|2 + |w|2 + 2 · |z · w̄|
2
= |z|2 + |w|2 + 2 · |z| · |w| = |z| + |w| .
Da |z + w| ≥ 0 und |z| + |w| ≥ 0, folgt aus der obigen Rechnung die gewünschte
Abschätzung |z + w| ≤ |z| + |w|.
Definition 18
(a) Wir definieren analog zu Definition 13 die offene bzw. abgeschlossene Kugel um z ∈ C mit Radius r ≥ 0 wie folgt
Br (z) := {w ∈ C | d(z, w) < r}
(offene Kugel)
Kr (z) := {w ∈ C | d(z, w) ≤ r}.
(abgeschlossene Kugel)
und
(b) Eine Teilmenge M der komplexen Zahlen heißt beschränkt, wenn es eine
abgeschlossene Kugel Kr (z) gibt, so dass die Inklusion M ⊂ Kr (z) gilt.
Bemerkung:
1) Man beachte, dass die Begriffe „nach oben“ bzw. „nach
unten beschränkt“ im Komplexen sinnlos sind.
2) Aufgrund der Dreiecksungleichung kann man in Definition 18(b) ohne Einschränkung z = 0 wählen.
Satz 17
Der Teilkörper Q + iQ := {a + ib ∈ C | a, b ∈ Q} liegt dicht in C.
Beweis. X
Graphische Veranschaulichung
Abbildung II.1: Addition
Abbildung II.2: Multiplikation
Polardarstellung: z = a+ib = r ·(cos ϕ+i sin ϕ) (siehe Kapitel ??, Abschnitt
??).
35
Stichwortverzeichnis
Kapitel II
abelsch, 16
Abstand, 27
Abstandsfunktion, 33
angeordneter Körper, 19
archimedisch, 21
assoziativ, 16
beschränkt, 22, 34
Betrag, 27
Betrags-, 33
Binomialkoeffizienten, 26
Dedekindschen Schnitt, 25
dicht, 29
Gruppe, 16
Imaginärteil, 33
induktiv, 3
Infimum, 22
Intervallschachtelung, 29
inverses Element, 16
Körper, 18
kleinstes Element, 10
kommutativ, 16, 17
komplex konjugierte, 33
Körper der komplexen Zahlen, 32
Körper der reellen Zahlen, 25
Maximum, 22
Menge der natürlichen Zahlen, 4
Metrik, 27
Minimum, 10, 22
Nachfolger-Abbildung, 4
neutrales Element, 16
Norm, 27
obere (untere) Schranke, 22
Peano-Struktur, 4
Prinzip der vollständigen Induktion, 3
Realteil, 33
rein imaginär, 33
rein reell, 33
Ring mit Eins, 17
Supremum, 22
36
vollständig angeordnet, 23
von oben (unten) beschränkt, 22
Wohlordnung, 10