Grundlagen der Experimentalphysik 3 (Optik, Wellen und Teilchen

Grundlagen der
Experimentalphysik 3
(Optik, Wellen und Teilchen)
WS 2010/11
Prof. Dr. Tilman Pfau
5. Physikalisches Institut
Übungsblatt 6
Besprechung: 1. Dezember 2010
Aufgabe 1:
Allgemeine Unschärferelation
8 (2,2,2,2) Punkte
Die Unschärferelation ist eine der wichtigsten Eigenschaften der Quantenmechanik. Die Unschärferelation besagt, daß die Genauigkeit, mit der zwei konjugierte Größen gleichzeitig gemessen werden
können darauf beschränkt ist, daß das Produkt der Unschärfe der beiden Messungen mindestens
~/2 beträgt.
In dieser Aufgabe soll die Unschärferelation für zwei beliebige Operatoren A und B hergeleitet
werden.
a) Zeigen Sie zunächst, daß für das Skalarprodukt zweier Wellenfunktionen ϕ(x), ψ(x) die Schwarzsche Ungleichung gilt:
Z
2 Z
Z
„
„
ϕ(x) ψ(x) dx ≤ ϕ(x) ϕ(x) dx ψ(x)„ ψ(x) dx
R
Zerlegen Sie hierzu ψ(x) so, daß ψ(x) = zϕ(x) + χ(x) mit ϕ(x)„ χ(x) dx = 0. Was bez indem Sie
Rdeutet „ diese Zerlegung? Bestimmen Sie hieraus den Proportionalitätsfaktor
R
„
ϕ(x) ψ(x) dx berechnen und zeigen Sie durch Auswerten von ψ(x) ψ(x) dx und Abschätzen
die Gültigkeit der Schwarzschen Ungleichung.
b) Betrachten Sie nun die beiden hermiteschen Operatoren X und P sowie einen beliebigen
Zustand ζ(x). Definieren Sie die Operatoren X1 und P1 , indem Sie von X, P den jeweiligen
Mitelwert hXi, hP i im Zustand ζ(x) subtrahieren.
Zeigen Sie, daß die Unschärfe (∆X)2 als positive Quadratwurzel des Schwankungsquadrats
definiert ist:
(∆X)2 = h(X − hXi)2 i
c) Betrachten Sie nun die Schwarzsche Ungleichung für ϕ(x) = X1 ζ(x) und ψ(x) = P1 ζ(x).
Identifizieren Sie den Ausdruck auf der rechten Seite!
Zerlegen Sie den Term X1 P1 durch den Kommutator [X1 , P1 ] = X1 P1 − P1 X1 und den AntiKommutator {X1 , P1 } = X1 P1 + P1 X1 in einen anti-hermiteschen und einen hermiteschen
Teil!
Welche Beziehung gilt zwischen [X1 , P1 ] und [X, P ]? Berechnen Sie nun die linke Seite der
Schwarzschen Ungleichung und und schätzen Sie diese ab. Beachten Sie dabei, daß der Mittelwert eines hermiteschen Operators reell ist!
1
Wie lautet also die allgemeine Unschärferelation? Wie lautet sie, wenn X der Orts- und P
der Impulsoperator ist?
d) Nun soll der Zustand minimaler Unschärfe gefunden werden. Überprüfen Sie hierzu zunächst,
welche Bedingung X1 und P1 erfüllen müssen, daß in der Schwarzschen Ungleichung das
Gleichheitszeichen gilt. Stellen Sie anschließend die Bedingung auf, für die die Abschätzung
in Teil c) exakt ist.
∂
Betrachten Sie nur X = x und P = p = −i~ ∂x
als Orts- und Impulsoperator und nehmen Sie nun zur Vereinfachung an, daß die Erwartungswerte hxi, hpi verschwinden. Welche
Differentialgleichung ergibt sich und wie lautet die Lösung?
2
Aufgabe 2:
Unschärferelation im Kastenpotential
8 (2,2,2,2) Punkte
Für die gebundenen Zustände ϕn des ein-dimensionalen Kastenpotential soll das Unschärfeprodukt
berechnet werden. Betrachten Sie dazu den Hamilton-Operator
H=−
~2 d2
+ V (x)
2m dx2
mit dem Kastenpotential, das gegeben ist durch
(
0, −L/2 ≤ x ≤ +L/2
V (x) =
∞, sonst
a) Stellen Sie die zeitabhängige Schrödingergleichung für H auf und überführen Sie diese in
die stationäre Schrödingergleichung mit Hilfe des Separationsansatzes ψ(x, t) = ϕ(x)e−iEt/~ .
Begründen Sie, warum der Separationsansatz hier erlaubt ist.
Welchen Wert nimmt die Wellenfunktion ϕ(x) außerhalb des Kastens an? Welche Bedingungen stellt dies an die Wellenfunktion im Kasten bei x = ±L/2?
b) Zeigen Sie, daß die allgemeine Lösung der stationären Schrödingergleichung im Kasten gegeben ist durch
ϕ(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
und bestimmen Sie die erlaubten Werte von k, indem Sie die Wellenfunktion im Kasten bei
x = ±L/2 unter Berücksichtigung der Bedingungen aus a) auswerten.
Bestimmen Sie die Parameter A und B aus der Forderung, daß die Eigenfunktionen ϕn
normiert sind!
c) Wie lauten folglich die Eigenfunktionen ϕn (x) des Kastenpotentials und in welche beiden
Klassen ϕ2j und ϕ2j+1 lassen sie sich einteilen? Wie lauten die Eigenenergien En ? Skizzieren
Sie die ersten fünf Eigenfunktionen!
d) Berechnen Sie die Erwartungswerte hxi, hx2 i, hpi und hp2 i für die Eigenfunktionen ϕn !
Bestimmen Sie das Unschärfeprodukt (∆x)(∆p) für die Eigenfunktionen ϕn .
Hinweise:
Rπ 2 2
π3
2π
−π x sin (jx)dx = 3 − (2j)2 .
Rπ 2
π3
2π
2 2j+1
−π x cos ( 2 x)dx = 3 − (2j+1)2 .
3
Aufgabe 3:
Orstmessung durch Streuung
3 (1,1,1) Punkte
a) Zeigen Sie, das für die Streuung einer in y-Richtung propagierenden ebenen Welle ψ mit dem
Impulsübertrag δp in x-Richtung gilt:
δp
ψ 0 = ψei ~ x
b) Betrachten Sie nun ein Doppelspalt-Experiment mit den beiden Spalten bei x = ±a/2. Stellen
Sie die Wellenfunktion des Teilchens hinter dem Doppelspalt auf. Gehen Sie dabei davon aus,
daß es sich bei den Wellen, die von den beiden Spalten ausgehen, um Kugelwellen handelt.
Zeigen Sie mit Hilfe der Darstellung der δ-Distribution, daß die Wellenfunktion für y = 0 die
folgende Form annimmt:
α h
a
a i
ψ(x) = ψA (x) + ψB (x) = √ δ(x − ) + δ(x + )
2
2
2
c) Wie lautet die Wellenfunktion ψ 0 (x) nach einer Streuung mit Impulsübertrag δp = ~kx ?
Drücken Sie |ψ 0 |2 durch ψA und ψB aus. Was bedeutet dieses Ergebnis für einen einzelnen
Messvorgang, was für eine größe Anzahl von Messvorgängen?
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