2. Hausübung zur Quantenmechanik WS 16/17

2. Hausübung zur Quantenmechanik
WS 16/17
Abgabe Dienstag 8.11.16 in der Vorlesung
Aufgabe 4: Zeitentwicklung des freien Teilchens
Die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung für ein freies Teilchen, das
zur Zeit t = 0 durch die Wellenfunktion ψ(~x, 0) beschrieben wird, lässt sich wie
folgt schreiben:
Z
1 3/2
p2
i
ψ(~x, t) =
p~ · ~x −
f (~
p) exp
t
d3 p.
2π~
~
2m
(i) Wie lässt sich f (~
p) durch ψ(~x, 0) ausdrücken?
(ii) Alternativ kann man ψ(~x, t) als
Z
ψ(~x, t) = U (~x, ~x 0 , t) ψ(~x 0 , 0) d3 x0
schreiben. Berechne U (~x, ~x 0 , t)!
(6 Punkte)
Aufgabe 5: Parität und Eigenzustände des Harmonischen Oszillators
(i) Untersuche das Verhalten der aus der Vorlesung bekannten Oszillatoreigenzustände unter Raumspiegelungen. Dazu empfiehlt es sich, dimensionslose
n
Größen zu verwenden, also den Operator a† in ψn = √1n! a† ψ0 durch die
in der Vorlesung eingeführten Operatoren ξ und ∂ξ auszudrücken.
(ii) Der Operator der Raumspiegelungen P , definiert durch P ψ(ξ) = ψ(−ξ), heißt
in der Physik Paritätsoperator. Zeige, dass sich P darstellen lässt als
R
(a) P ψ(ξ) = K(ξ, η)ψ(η)dη mit geeignetem K(ξ, η),
(b) P = exp(iπa† a),
(c) P = −i exp iπ/2(ξ 2 − ∂ξ2 ) .
(6 Punkte)
Aufgabe 6: Feldeffekt-Transistor
(i) Ein Elektron sei einem konstanten elektrischen Feld ausgesetzt, V (x) = eEx,
eE > 0. Bestimme die normierten Eigenfunktionen ϕε (p) in Impulsdarstellung. Normierung bedeutet hier, im Falle eines kontinuierlichen Spektrums,
dass hϕε , ϕε0 i = δ(ε − ε0 ) ist.
(ii) Drücke die Eigenfunktionen in Ortsdarstellung durch die Airyfunktion
Z ∞
1
Ai(z) = √
dx cos xz + 13 x3
π 0
aus!
(iii) Benutze nun das Ergebnis aus (ii), um die Energieniveaus eines Elektrons im
Potential
(
∞
für x < 0 ,
V (x) =
(1)
eEx für x ≥ 0
zu bestimmen. Das unendlich repulsive Potential führt hier dazu, dass sich
bei x < 0 kein Teilchen aufhalten kann. Die Wellenfunktion muss bei x = 0
stetig verschwinden. Das Potential (1) ist das Potential eines auf Durchlass
geschalteten Feldeffekttransistors oder auch das Potential des Schwerefeldes
in Erdnähe.
Hinweis: Eigenwerte und Eigenfunktionen lassen sich durch die Nullstellen
der Airyfunktion parametrisieren.
(6 Punkte)