Grundkonzepte der Optik, SS 2014 Übungsserie 4

Institut Für Angewandte Physik
Friedrich-Schiller Universität Jena
Grundkonzepte der Optik, SS 2014
Übungsserie 4
1.) Dispersion von Gläsern
4P
Gläser weisen normalerweise eine schwache Dispersion im sichtbaren Spektralbereich auf, da die
Resonanzen spektral separiert auftreten. Als ein einfaches Beispiel soll ein Dielektrikum angenommen werden, das durch zwei Lorentz-artige Resonanzen charakterisiert werden kann. Die erste
Resonanz liege im Infraroten (Phononen), die zweite sei im Ultravioletten (Elektronen) angesiedelt.
Dann kann die relative Permittivität approximativ gegeben werden durch
ε(ω) = 1 +
ωp2
fe
fp
+ 2
.
2
−ω
ωe − ω 2
1. Schreiben Sie den elektronischen Beitrag als Funktion der Wellenlänge λ. Approximieren sie
diesen unter der Annahme λe = 2πc/ωe λ in 1/λ bis zur vierten Ordnung.
2. Wiederholen sie die Vorgehensweise nun für den phononischen Beitrag. Da hier jedoch λp =
2πc/ωp λ gelten soll, entwickeln Sie nun in λ, ebenfalls bis zur vierten Ordnung.
3. Zeigen Sie, dass die Permittivität im sichtbaren Spektralbereich (λe λ λp ) approximativ
geschrieben werden kann als
ε (λ) ' A − Bλ2 +
C
D
+ 4.
λ2
λ
Bestimmen sie die empirischen Koeffizienten A, B, C und D als Funktion der Parameter fe,p
und λe,p . Skizzieren Sie den Verlauf von ε (λ) im sichtbaren Spektralbereich.
2.) Poyntingvektor und Poyntingscher Satz
5P
Für den stationären Fall können wir das elektrische Feld in isotropen Medien angeben als
E (r, t)
=
1
E (r) e−iω0 t + k.k. ,
2
(1)
wobei k.k. komplex konjugiert bedeutet und eine entsprechende Schreibweise für das Magnetfeld
auch gilt.
1. Leiten Sie ausgehend von Glg. 1 einen Ausdrück für den Poyntingvektor S (r, t) her. Erklären
´
−1 t+Tm /2
Sie, welcher Anteil der Terme für den gemittelten Poyntingvektor hS (r, t)i = Tm
S (r, τ ) dτ
t−Tm /2
(Tm 1/ω0 ) relevant ist und geben sie hS (r, t)i an.
2. Benennen Sie kurz den Zusammenhang zwischen elektrischem Feld E (r, t), Polarisationsladungsdichte ρpol (r, t), Polarisationsdichte P (r, t) und dielektrischer Verschiebung D (r, t).
Welchen Zusammenhang haben Polarisationsdichte P (r, ω) und E (r, ω) für ein lineares,
isotropes Medium?
3. Leiten Sie für P (r, t) 6= 0 den Poyntingschen Satz im Zeitraum allgemein her.
4. Zusatz: Nehmen Sie stationäre Felder und die Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes an und
leiten Sie unter Benutzung der generalisierten komplexwertigen Permittivität
ε (ω0 )
=
1 + χ (ω0 ) + i
einen Ausdruck für h∇ · S (r, t)i her.
1
σ (ω0 )
ω0 ε0
3.) Verlustbehaftete Zylinderwellen
5P
Eine Zylinderwelle ist eine Näherungslösung der Helmholtzgleichung in Zylinderkoordinaten, gültig
für ρ λ. Betrachten Sie eine z-polarisierte Zylinderwelle mit Wellenzahl k (ω) = k 0 (ω) + ik 00 (ω)
für die das elektrische Feld gegeben sei als
!#
"
exp [ik (ω) ρ]
exp [ik (ω) ρ]
+O
δ (ω − ω0 ) ez .
E (ρ, ω) = E0
√
√ 3
ρ
ρ
1. Nehmen sie ein nichtmagnetisches Medium an und finden Sie das zu E (r, ω) gehörige Mag√
netfeld H (r, ω) bis zur Ordnung exp(ik (ω) ρ)/ ρ.
2. Bestimmen Sie den zeitlich gemittelten Poynting-Vektor hS (r, ω)i zur führenden Ordnung.
Was ist die Richtung des Energieflusses?
3. Nehmen sie ein schwach absorbierendes Medium mit relativer Permittivität ε(ω) =pε0 (ω) +
iε00 (ω) und ε00 (ω) ε0 (ω) an. Zeigen Sie, dass in diesem Fall die Wellenzahl k = ω ε (ω)/c
durch
k 0 (ω) =
ωp 0
ε (ω)
c
und
k 00 (ω) =
ω ε00 (ω)
√
c 2 ε0
genähert werden kann. Erläutern Sie, was dies für Ihr Ergebnis aus Teilaufgabe 2 bedeutet.
h
i
h
i
h
i
∂Fϕ
∂Fρ
∂Fρ
∂Fz
1
∂
z
Hinweis: ∇ × F (r) = ρ1 ∂F
−
e
+
−
e
+
(ρ
·
F
)
−
ρ
ϕ
ϕ
∂ϕ
∂z
∂z
∂ρ
ρ ∂ρ
∂ϕ ez .
Abgabetermin: Mittwoch, 30. 04. 2014, Raum 111 im Helmholtzweg 4 bis 16.30 Uhr. Bitte
mit Hinweis auf die Übungsgruppe.
2