Aufgabenblatt - TU Darmstadt

Theoretische Physik II:
Quantenmechanik
Hans-Werner Hammer
Marcel Schmidt ([email protected])
Wintersemester 2016/17
6. Übung
1./2. Dezember 2016
Aufgabe 1 Orts- und Impuls-Eigenzustände
In dieser Aufgabe soll der rechnerische Umgang mit bra- und ket-Vektoren geübt werden. Wir betrachten
dabei H = L 2 (R3 ) .
a) Was bedeutet es physikalisch, wenn sich ein Teilchen im Zustand |~x ⟩ oder im Zustand ~p befindet?
b) Sei ψ ∈ H . Was versteht man unter dem bra-Vektor ψ ?
c) Ein Teilchen befinde sich nun im Zustand ψ ∈ H . Welchen Wert nimmt die Wellenfunktion am
Ort ~x an? Welchen Wert hat ihre zugehörige
Spektralfunktion bei ~p? Drücken Sie beide Ausdrücke
mithilfe der Bra-Vektoren ⟨~x | bzw. ~p aus.
Geben Sie Transformationen an, die die beiden Ausdrücke ineinander überführen. Nutzen Sie diese
Transformationen, um mithilfe der Vollständigkeitsrelationen
Z
Z
d3 p ~p ~p = 1̂ =
d3 x |~x ⟩ ⟨~x | ,
3
(2πħ
h
)
3
3
R
R
¬ ¶
¬ ¶
Ausdrücke für ~p ~x bzw. ~x ~p zu bestimmen.
¬ ¶
¬ ¶
d) Was ist ~x ~x 0 und ~p ~p0 ?
e) Sei Ô ein Operator und |λ⟩ ein Eigenzustand von Ô mit Ô |λ⟩ = λ |λ⟩ . Eine Funktion f (x) habe
die Taylor-Entwicklung
∞
X
f (n) (0) n
f (x) =
x .
n!
n=0
Dann ist f (Ô) durch
f (Ô) ≡
∞
X
f (n) (0)
n=0
n!
Ô n
definiert. Zeigen Sie, dass f (Ô) |λ⟩ = f (λ) |λ⟩ .
¬ ¶
f) Die Paritätsoperation P̂ ist durch P̂ |~x ⟩ ≡ |−~x ⟩ definiert. Was ist ~x 0 P̂ ~x ? Bestimmen Sie außer¬ ¶
¬ ¶
dem ~x 0 P̂ ψ und ~p P̂ ψ .
¬ ¶
~ ~x ψ(~x ) .
g) Zeigen Sie ~x ~ˆ
p ψ = −iħ
h∇
¬ ¶
h) Der Translationsoperator sei gegeben durch T̂ (~a) |~x ⟩ ≡ |~x + ~a⟩,. Was ist ~x 0 T̂ (~a) ~x ? Leiten Sie
¬ ¶ ¬
¶
ab, dass ~x T̂ (~a) ψ = ~x − ~a ψ = ψ(~x − ~a) .
1
2. Hausübung
Abgabe: Donnerstag, 1. Dezember 2016 in Vorlesung
Regelung:
• 4 Hausübungen, jeweils eine Woche Bearbeitungszeit, Abgabe in Donnerstag-Vorlesung
• keine Besprechung, Lösungsvorschläge nach Abgabe online verfügbar
• Notenbonus von 0, 3/0, 4 ab 50 % der Gesamtpunktzahl
Aufgabe 1 Eigenschaften der Pauli-Matrizen (4 Punkte)
Wie bereits in Übung 5 diskutiert, können die Spin-1/2-Operatoren Ŝi , i ∈ {x, y, z} durch die PauliMatrizen
σx =
0 1
,
1 0
σy =
0 −i
,
i 0
σz =
1 0
0 −1
dargestellt werden, wobei Ŝi = ħ
h/2 σi . Dabei legen wir wiederum die übliche Darstellung
1
|↑⟩ ≡
0
und
0
|↓⟩ ≡
1
der Eigenzustände von Ŝz zugrunde.
Eine erste
P2 wichtige Eigenschaft der Pauli-Matrizen ist, dass sie keine Spur besitzen, d. h. es gilt
Tr σi = j=1 (σi ) j j = 0 ∀i ∈ {x, y, z} . Dies folgt unmittelbar aus der Tatsache, dass sich die möglichen
Messwerte der Spin-Komponenten stets zu 0 addieren (hier (−ħ
h/2) + (+ħ
h/2) = 0).
Wir wollen nun weitere Eigenschaften der Pauli-Matrizen untersuchen.
a) Beweisen Sie, dass die Pauli-Matrizen die Relationen
σi σ j = δi j 1̂ + i εi j k σk
und
”
—
σi , σ j = 2i εi j k σk
erfüllen, wobei 1̂ die Identitätsmatrix sei.
b) Zeigen Sie, dass σ y (wie alle Pauli-Matrizen) die Eigenwerte λ1 = −1, λ2 = +1 besitzt und
bestimmen Sie die zugehörigen normierten Eigenvektoren |i⟩. Verifizieren Sie ihr Resultat, indem
Sie die Spektraldarstellung
σy =
2
X
λi |i⟩ ⟨i|
i=1
explizit überprüfen.
Aufgabe 2 Impulsraumdarstellung der stationären Schrödinger-Gleichung (6 Punkte)
Gegeben sei der Hamiltonoperator
Ĥ =
p̂2
2m
+ V̂ ≡ T̂ + V̂ .
2
a) Beweisen Sie, dass das Skalarprodukt zweier Impuls-Eigenzustände gegeben ist durch
¬ ¶
p0 p = 2πħ
h δ(p − p0 ) .
Zeigen Sie damit, dass der Operator T̂ im Impulsraum die folgende Gestalt annimmt:
¶
p2
T̃ (p, p ) ≡ p T̂ p =
2πħ
h δ(p − p0 )
2m
¬
0
0
HINWEIS: Nutzen Sie die Eigenwertrelation p̂ p = p p sowie die Vollständigkeitsrelation
∞
Z
dp p p = 1̂ .
2πħ
h
−∞
b) Zeigen Sie ausgehend von der letzten Teilaufgabe, dass die stationäre Schrödinger-Gleichung im
Impulsraum eine Integralgleichung der Form
E ψ̃(p) =
p2
2m
ψ̃(p) +
Z
∞
d p0
2πħ
h
−∞
Ṽ (p0 , p) ψ̃(p0 )
¬ ¶
ist. Dabei sei Ṽ (p, p0 ) = p0 V̂ p die Impulsraumdarstellung des Potentials.
c) Nehmen Sie an, das Potential besitze die separable Form
Ṽ (p, p0 ) ≡ 2πħ
h λ g(p0 ) g(p) .
Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion für E < 0 gegeben ist durch
ψ̃(p) = C
wobei C ≡
R∞
−∞
λ g(p)
p2
,
E − 2m
d p0 g(p0 ) ψ̃(p0 ) .
d) Benutzen Sie die Definition von C , um eine Bestimmungsgleichung für E zu finden. Warum muss
C 6= 0 gelten? Setzen Sie dann
p
, a>0
g(p) ≡ 2
p + a2
und drücken Sie das gesuchte E durch eine Bindungsenergie EB ≡ −E ≡ γ2 /(2m) > 0 mit zugehörigem Bindungsimpuls γ aus. Bestimmen Sie γ. Welche Bedingung muss λ erfüllen, damit eine
Lösung E < 0 existiert?
HINWEIS: Benutzen Sie
Z
∞
−∞
d p0
p02 + a
p02
2 2
π
1
=
.
2 γ+a 2a
p02 + γ2
3