Potenz-Wurzel-Logarithmenrechnung

Prof.Dr. Neuber (em.)
11.01.09
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Grundformeln
Potenzen:
, n>1 natürliche Z. (P1)
(P2)
(P3)
Insbesondere gilt:
, für n > m. (P4)
(P5)
1,
0; 0
.;
Wurzeln: m,n=1,2,3,… und a,b 0 gilt:
(W1)
√
√ ·√
√
:√ =
√
· √
;
0 (W2)
√
(W3)
√
√ (W4)
√
(W4a), Kürzen des Wurzelexponenten
√
(W5), speziell:
√
√
√
√
·√
(W6)
√
Der Zusammenhang zwischen den Potenz-u. Wurzelgesetzen wird durch die
Definitionsgleichung
√
Wurzelgesetze nachweisen.
,
(W7) gegeben. Damit lassen sich alle
Hinweis 1 : Es ist stets √
0 für beliebiges n.
| | ! (wird oft falsch gemacht).
Daher ist √
Wird
0 vorausgesetzt, so ist √
.
Z.B. √4 2 , nicht -2, obwohl
2
4.
Löst man die quadratische Gleichung
4 0
4
| | 2
2.
√
√4
,
0
Betragsdefinition: | |
. .| |
,
,
0
geometrische Interpretation: |a| Abstand der Zahl a vom Nullpunkt.
|
|
,
.
|
Z.B.
1| 1 bedeutet: alle Zahlen a, die von +1 den Abstand 1 haben,
also a=0 und a=2.
|
Die Ungleichung |
bedeutet: alle Zahlen a, deren Abstand von
kleiner oder gleich
ist, d.h. alle Zahlen a, die im Intervall
liegen.
Logarithmen: Gegeben sei ,
Exponenten schreibt man auch
, gesucht: , mit
. Für den gesuchten
: Logarithmus von c zur Basis a, etwa
2
8
8 3,
2
8.
In der höheren Mathematik verwendet man überwiegend die Basis a=e (transz. Zahl):
ln (natürlicher Logarithmus).
ln
ln
·
ln
ln (L1)
ln a ln b (L2)
ln
ln √
· ln (L3)
· ln (L4)
Sie müssen alle Gleichungen von „links nach rechts“ und umgekehrt lesen!
1 . ( −3a 2 ) 3 =
2. Bringe unter eine Wurzel:
x x x =?
Zeigen Sie mithilfe obiger Rechenregeln folgende Gleichungen:
3.
4.
5.
1
1
1
6.
7. Durch Ausklammern in ein Produkt verwandeln:
3
.
8. Soweit wie möglich vereinfachen:
.
9. Gegeben sei der Ausdruck
, ,
0.
a) Wie lautet die Bedingung für den Radikanden, damit der Wurzelwert existiert?
b) Bringen Sie „x“ vor die Wurzel, so dass das Produkt
· √… entsteht.
10. Welche der folgenden Aussagen sind falsch?
3 , b)
3
| 3| 3 , c) √ 27
a)
3
d) √ 27
, f) √
√27 = -3 , e)
3 ,
| |
| |.
11. Rationalmachen des Nenners: Tritt im Nenner eines Bruches ein Wurzelausdruck
auf, so muss man den häufig beseitigen, d.h. aus dem irrationalen Ausdruck wird ein
rationaler Ausdruck (wurzelfrei).
Beispiel :
√
√
√ √
√
, erweitern mit √ , da √ √
, vgl. (W1).
Machen Sie folgende Ausdrücke in diesem Sinne rational:
a)
b)
c)
√
√
Lösungen
Hinweis 2: a)
q.
soll z.B. heißen: Mit Regel (P5) folgt aus Ausdruck p der Ausdruck
b)
soll heißen: Mit Regel (P5) folgt die Äquivalenz der Ausdrücke p und q, die
Ausdrücke sind gleichwertig. Die Ausdrücke können beliebige Terme oder Aussagen sein.
1 ( −3a 2 ) 3 = (−3) 3 (a 2 ) 3 = −27 a 6 , mehrfache Anwendung von ( P5).
2.
2
3
4
4
x4 x3 = 8 x7 ,
x x x = x x x = x x =
schrittweise Anwendung von (W 6) − von innen nach außen.
(vgl. (P5))
3.
.
(vgl. (P3))
4. .
.
.
Insbesondere ist
5.
1
1
1 folgt aus der 3. Binomischen Formel
, wobei
,
1.
6.
, gekürzt 8 gegen 4 u. Anwendung der 3. Bin.F. im
Nenner, so folgt
=
7. Formen Sie in ein Produkt um:
3
. Wir klammern die Potenz
aus, d.h., es wird jeder Summand durch diesen Term mithilfe (P4) dividiert.
Etwa
, also folgt insgesamt
. Durch Ausmultiplizieren macht man die Probe!
8.
0 sein. Daraus folgt die Bedingung umformuliert:
9. a) Es muss
√
| |
| |.
| |
1
b)
1
, obigen Hinweis beachten √
| |.
10. Welche der folgenden Aussagen sind falsch bzw. richtig?
3 ist falsch, da das Ergebnis eines Wurzelausdrucks nie negativ ist (Hinweis
3
a)
1) .
b)
3
|
3|
3 ist richtig.Oder )
Aber nicht
3
die Gleichung nicht.
c) √ 27
3
3
3
√9
3.
3 : Verstoß gegen (W7), bei negativer Basis gilt
3 ist falsch (analog a)).
d) √ 27
√27 = -3 ist richtig, da das Wurzelsysmbol nur für positiven Radikanden
verwendet werden darf. Mit dieser Schreibweise kommt man zum gewünschten
Ergebnis, da eben
3
27 ist, und zwar eindeutig.
ist falsch, da a+b auch negativ sein kann, also richtig: |a+b|.
e)
| |
f) √
| | ist falsch, da es kein Wurzelgesetz der Art gibt:
√
11. a)
b)
√
√
√
√
√
.
.
(im Nenner 3. Bin. Formel)
= x + y.
√
√
; der Nenner ist rational, wir vereinfachen weiter:
·
·
·
·
,Wurzelexponent erweitern (W4a)
,
geeignet zerlegen
√
√
Mittels Potenzgesetze:
.
√
.
Geht sicher schneller. Betrachten Sie den vorigen Rechenweg als Übung der
Wurzelgesetze, was auch notwendig ist.