Grundwissenskatalog Mathematik 8. Klasse - Klenze

Klenze-Gymnasium
Grundwissen Mathematik
Klasse 8 (G8)
Stand: August 2007
Grundwissenskatalog Mathematik 8. Klasse
1. Funktionen und Zuordnungen
1.1 Proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnung
Bei einer proportionalen Zuordnung gehört zum 2-, 3-, 4-...r-fachen der einen Größe das
2-, 3-, 4-….r-fache der anderen Größe.
y
Ist x y eine proportionale Zuordnung, so gilt: y = q ⋅ x bzw. x = q = „konstant“.
Der konstante Quotient q heißt Proportionalitätsfaktor.
Bei einer umgekehrt proportionalen Zuordnung gehört zum 2-, 3-, 4-….r-fachen der einen
− ...., 1r − fache der anderen Größe.
y eine umgekehrt proportionale Zuordnung, so gilt: y =
Größe das
Ist x
1 −, 1 −, 1
2
3
4
1.2 Funktion und Term
Eine Zuordnung f: x
y, die jedem x aus
dem Definitionsbereich genau ein y aus
dem Wertebereich zuordnet, heißt Funktion.
Graphen von Funktionen werden von jeder
Parallelen zur y-Achse höchstens einmal
geschnitten.
p
x
bzw. y ⋅ x = p = „konstant“.
Funktionsgraph
kein Funktionsgraph
Jeder Term f(x) legt eine Funktion f: x f(x) mit x ∈ D f fest.
Die Definitionsmenge Df ist die Menge aller Zahlen x,
für die ein Funktionswert berechnet werden soll.
Die Wertemenge Wf ist die Menge der Ergebnisse, die
man erhält, wenn man die Zahlen aus Df einsetzt.
Beispiel:
f: x
x2 − 4
Df = Q ; Wf = [ − 4 ; + ∞ [
1.3 Lineare Funktion
f: x
y = mx + t mit Df = Q
Der Graph ist eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt t.
z.B.: f : x
2
3
x – 1 mit Df = Q
y-Achsenabschnitt t = – 1
∆y y 2 − y1
2
Steigung m =
=
= ;
∆x x 2 − x1
3
Bemerkungen zur Steigung von Geraden:
•
Je größer |m| ist, desto steiler ist die Gerade.
•
Für m < 0 fällt, für m > 0 steigt die Gerade;
für m = 0 verläuft sie parallel zur x-Achse
•
Alle Geraden mit gleicher Steigung m sind parallel.
Bestimmung der Funktionsgleichung, wenn zwei Geradenpunkte A(xA ; yA) und B(xB ; yB)
gegeben sind:
∆y y B − y A
1. Schritt: m =
=
ausrechnen
∆x x B − x A
2. Schritt: die Gleichung yB = m ⋅ x B + t oder yA = m ⋅ x A + t nach t auflösen
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1.4 Gebrochen rationale Funktionen
Funktionen, bei denen x im Nenner vorkommt, heißen gebrochen rationale Funktionen.
2
3 − 2x
3 − 2x
Beispiele: f(x) =
+ 1 ; g(x) =
; h(x) =
3− x
2x − 1
2x 2 + 1
Zur Definitionsmenge können nur solche Zahlen gehören, für die der Nenner nicht Null wird.
Ein wichtiges Kennzeichen der Graphen gebrochen
rationaler Funktionen sind die „Asymptoten“.
Eine Gerade heißt Asymptote des Graphen einer
Funktion, wenn sie sich dem Funktionsgraphen
beliebig genau annähert.
Auch senkrechte Geraden können Asymptoten sein,
sie treten an den Lücken von Df auf.
2
+ 1 ; Df = Q\{3}
Beispiel: f(x) =
3− x
2. Gleichungen und Gleichungssysteme
2.1 Lineare Gleichungen und Ungleichungen
Gleichungen der Art mx + t = c heißen lineare Gleichungen.
Sie lassen sich rechnerisch durch Äquivalenzumformungen
lösen oder zeichnerisch durch Zeichnen des Graphen zu
f(x) = mx + t und Suchen der y-Werte mit y = c.
Beispiel: − 23 x + 4 = 1 (Skizze rechts)
Für die Lösung der Gleichung gilt: x = 4,5.
Die „Nullstelle“ der Funktion f ist die Lösung der
Gleichung − 23 x + 4 = 0 . Im Beispiel gilt xN = 6.
Lineare Ungleichungen, wie z.B. 3x ≥ 2 oder − 23 x + 4 < 1 lassen sich ebenfalls durch
Äquialenzumformungen lösen. Beim Multiplizieren (entsprechend auch beim Dividieren) beider
Seiten mit einer negativen Zahl muss jedoch das Ungleichheitszeichen umgedreht werden.
|−4
Beispiel: − 23 x + 4 < 1
− 23 x < −3
x > +4,5
| ⋅ (− 32 ) Multiplikation mit einer negativen Zahl
L = [ 4,5 ; + ∞ [
2.2 Lineare Gleichungssysteme
Beispiel:
I −5 x + 9 y = −8
II 10 x − 3 y = 6
Graphische Lösung
Beide Gleichungen nach y auflösen, zugehörige Geraden einzeichnen; Schnittpunkt bestimmen.
Einsetzungsverfahren
aus I
x = 95 y + 85
in II
10 ⋅ ( 95 y + 85 ) − 3 y = 6
ausrechnen:
18 y + 16 − 3 y = 6; y = − 23
in I (oder II)
x=
2
5
also:
(also I nach x aufgelöst!)
= {( 25 | − 23 )}
Additionsverfahren
Falls nötig, die Gleichungen erst mit geeignetem Faktor multiplizieren, so dass bei beiden
Gleichungen die Koeffizienten der selben Variablen den gleichen Betrag haben,
z.B. I mit 2 multiplizieren:
I −10 x + 18 y = −16
II 10 x − 3 y = 6
I+II : 0 + 15 y = −10 y = − 10
= − 23
15
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y = − 23 in I. eingesetzt
x=
2
5
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, also: ={( 52 | − 32 )}
Anzahl der Lösungen:
• Genau eine Lösung (Die Geraden schneiden sich)
• Keine Lösung (Die Geraden sind echt parallel)
• Unendlich viele Lösungen (Die Geraden sind identisch)
3. Bruchterme und Bruchgleichungen
3.1 Rechnen mit Bruchtermen
3 x − 4 3 x 2 −9
6( x +3) ; x −5
Bruchterme sind z.B.:
; z32−+z3
Kürzen und Erweitern
Zähler und Nenner werden jeweils durch denselben Term dividiert, bzw. mit demselben Term
multipliziert.
Beispiel für das Kürzen:
3x 2 −3 x
6 x 2 ( x +3)
3x ( x −1)
= 3x⋅x ( x +3) = x (xx−+13)
(zuerst in Faktoren zerlegen! )
Addieren und Subtrahieren
Bruchterme mit gleichem Nenner werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert
bzw. subtrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält. Bruchterme mit verschiedenen
Nennern müssen zunächst auf den gleichen Nenner („Hauptnenner“) gebracht werden.
Zahlenbeispiel:
1 + 3
6 x 2 x −4
10 x −2
3⋅2 x ⋅( x −2)
1 ⋅ ( x − 2)
3 ⋅ 3x
1 ⋅ ( x − 2) + 3 ⋅ 3x
x − 2+ 9 x
= 3⋅12 x + 2⋅( x3−2) = 3⋅2 x ⋅( x −2) + 2⋅( x −2) ⋅3x = 3⋅2 x ⋅( x −2)
= 3⋅2 x ⋅( x −2) =
2 ⋅ (5x −1)
5x −1
= 2 ⋅ 3x ⋅( x −2) = 3x ⋅( x −2)
Multiplizieren und Dividieren
Bruchterme werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit
Nenner multipliziert. Durch einen Bruchterm wird dividiert, indem man mit seinem Kehrbruch
multipliziert.
Zahlenbeispiele:
( x −3)⋅2
(1) x x−3 ⋅ x 2−3 = x ⋅( x −3) = x2
( x +1)⋅4⋅2
( x +1)⋅2
(2) x4+x1 : x8−3 = x4+x1 ⋅ x8−3 = 4⋅x ⋅( x −3) = x ⋅( x −3) = x2⋅(xx+−23)
3.2 negative Exponenten
Mit der Definition x − n = x1n können auch negative Exponenten erlaubt werden.
Die Potenzgesetze x m ⋅ x n = x m + n und x m : x n = x m − n gelten für alle ganzen Zahlen m,n.
−1
3 −4
3−4
Beispiel: 3 ⋅−32 = 3 −2 = 3−2 = 3−1− ( −2) = 31 = 3
3
3
3
3 −4
3−4
oder 3 ⋅−32 = 3 −2 = 3−1 ⋅ 32 = 3−1+ 2 = 31 = 3
3
3
3.3 Bruchgleichungen
Bruchgleichungen werden durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der vorkommenden
Nenner in nennerfreie Gleichungen umgeformt.
Zahlenbeispiel:
2
1
Definitionsmenge D = Q \ {0;6}; Hauptnenner HN = x ⋅ (6 − x )
x = 6− x
2⋅x ⋅(6 − x )
1⋅x⋅(6 − x )
= 6− x
x
2 ⋅ (6 − x ) = x
Ausrechnen
beide Seiten wurden mit dem HN multipliziert
nach dem Kürzen
x = 4 ( 4 ist in der Definitionsmenge enthalten! )
- evtl. noch Probe durchführen
4. Geometrie
4.1 Der Kreis
Ein Kreis mit dem Radius r hat den Umfang U = 2πr und den Flächeninhalt A = πr2.
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4.2 Der Strahlensatz
Wenn zwei sich in einem Punkt Z schneidende Geraden (g1 und g2) von zwei zueinander
parallelen Geraden geschnitten werden, gilt:
(1) Je zwei Abschnitte auf g1 verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf g2.
(2) Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die von Z aus gemessenen entsprechenden Abschnitte auf g1 (bzw. auf g2).
a c
a
c
=
oder
=
oder …
b d
a+b c+d
f a+b c+d
(2) =
=
e
a
c
(1)
a
=
b
f
(2) =
e
(1)
c
a
c
oder
=
oder…
d
a+b c+d
a c
=
b d
4.3 Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
Dreiecke sind bereits dann ähnlich, wenn sie
• in zwei (und damit in allen drei) Winkeln übereinstimmen (WW-Satz)
oder
• im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen (S:S:S-Satz).
5. Wahrscheinlichkeitsrechnung
5.1 Ergebnis und Ergebnisraum
Ein Experiment, dessen Ausgang man nicht voraussagen kann, nennt man Zufallsexperiment.
Den Ausgang des Experiments nennt man Ergebnis. Die Menge aller möglichen Ergebnisse
nennt man Ergebnismenge oder Ergebnisraum Ω.
Beispiel: Werfen eines Würfels: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ;
Ω hat 6 Elemente: | Ω | = 6.
5.2 Ereignisse
Kein, ein oder mehrere Ergebnisse fasst man zu einem Ereignis E zusammen.
Ein Ereignis ist also eine Teilmenge von Ω.
Das Gegenereignis E tritt genau dann ein, wenn E nicht eintritt: E = Ω \ E
Beispiel: Werfen eines Würfels: Ereignis Ε= { 2; 4; 6} d.h. „gerade Augenzahl“
Gegenereignis E ={1; 3; 5} d.h. „keine gerade Augenzahl“
5.3 Laplace-Wahrscheinlichkeit
Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, heißen
Laplace-Experimente. Für Laplace-Experimente gilt:
Ist |A| die Anzahl der Elemente von A und |Ω| die Anzahl der Elemente von Ω, so gilt für die
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A:
A
Anzahl der für A günstigen Ergebnisse “
P(A) = Ω = „
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Zählprinzip: Zieht man aus k verschiedenen Mengen mit m1, m2, …mk Elementen jeweils ein
Element, so gibt es insgesamt m1 ⋅ m 2 ⋅...⋅ m k Möglichkeiten.
Beispiele:
1) In den drei achten Klassen (8a 27 Schüler ; 8b 25 Schüler ; 8c 29 Schüler) wird jeweils ein Klassensprecher gewählt
es gibt 27 ⋅ 25 ⋅ 29 Möglichkeiten.
2) Drei von 13 Wettbewerbsteilnehmern erreichen Platz 1, Platz 2, Platz 3
13 ⋅ 12 ⋅ 11 Möglichkeiten.