Aufgabenblatt 6

Übungen zur Linearen Algebra 2, SS 2017
Blatt 6 .
Thema: Faktorräume
Aufgabe 25. Gegeben sind die Gerade U und die zwei Vektoren v1 , v2 ∈ R2 :
x
0
−2
U = { 1 ∈ R2 | x2 = αx1 } mit α ∈ R , v1 =
, v2 =
.
x2
1
3
Wir betrachten den Faktorraum R2 /U . Bestimmen Sie die Mengen [v1 ]U , [v2 ]U und
stellen Sie diese graphisch dar.
Aufgabe 26. Gegeben sei die Matrix

4 5 3
A = 1 4 3
3 1 0

3
1 ∈ R3×4 .
2
Bestimmen Sie
(a) eine Basis des Spaltenraumes rg(A),
(b) eine Basis des Faktorraumes R4 / ker(A).
Aufgabe 27. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, W ⊂ V ein Unterraum mit
Basis (w1 , · · · , wm ). Nach dem Basiserweiterungssatz gibt es Vektoren u1 , · · · , un−m ,
sodass (w1 , · · · , wm , u1 , · · · , un−m ) eine Basis von V ist.
Zeigen Sie: Das System der Klassen ([u1 ], · · · , [un−m ]) ist eine Basis des Faktorraumes V /W .
Aufgabe 28. Sei V ein Vektorraum über einem Körper K, und seien U ,W Unterräume von V , sodass V die direkte Summe V = U + W ist.
Zeigen Sie: U ist isomorph zu V /W .
Aufgabe 29. Sei V ein Vektorraum über R und p : V → R eine Halbnorm, das ist
eine Abbildung mit den Eigenschaften
• (∀x ∈ V ) p(x) ≥ 0,
• (∀x ∈ V, λ ∈ R) p(λx) = |λ|p(x),
• (∀x, y ∈ V ) p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
Sei W = {x ∈ V | p(x) = 0}. Zeigen Sie:
(a) W ist ein Unterraum von V .
(b) Durch die folgende Definition wird eine Abbildung definiert:
(
V /W → R
k·k:
.
k [x] k := p(x)
(c) k · k ist eine Norm auf V /W .
1