Lineare Algebra I - Mathematik, TU Dortmund

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Detlev Hoffmann
Sven Wagner
Wintersemester 2013/14
Übungsblatt 14
04.02.2014
Lineare Algebra I
Aufgabe 14.1:
Sei V ein Vektorraum, und seien U1 und U2 Untervektorräume von V . Zeigen Sie, dass die
folgenden Aussagen äquivalent sind.
(i) V = U1 ⊕ U2 , d.h. V = U1 + U2 und U1 ∩ U2 = {0}.
(ii) V = U1 + U2 und für alle x1 ∈ U1 und alle x2 ∈ U2 gilt: x1 + x2 = 0 ⇒ x1 = x2 = 0.
(iii) V = U1 + U2 und für alle x1 , y1 ∈ U1 und alle x2 , y2 ∈ U2 gilt:
x1 + x2 = y1 + y2 ⇒ x1 = y1 und x2 = y2 .
Aufgabe 14.2:
Wir wollen die folgende Verallgemeinerung eines Satzes aus der Vorlesung zeigen.
Sei K ein Körper, seien V, W K–Vektorräume, und sei f : V → W eine lineare Abbildung. Weiter
sei U ⊆ Kern(f ) ein Untervektorraum von V . Mit V /U bezeichnen wir den Quotientenraum von
V bzgl. U . Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(a) Die Zuordnung
f˜: V /U −→ W,
[x]U 7−→ f (x),
ist eine lineare Abbildung (also wohldefiniert und linear).
(b) Es gilt Bild(f˜) = Bild(f ).
(c) f˜ ist genau dann injektiv, wenn U = Kern(f ) gilt.
Aufgabe 14.3:
Sei K ein Körper, und sei V ein endlich–dimensionaler K–Vektorraum. Weiter sei f : V → V
ein Vektorraumhomomorphismus. Wir bezeichnen für n ∈ N mit f n : V → V die Komposition
f n := f ◦ f ◦ · · · ◦ f . Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
|
{z
}
n–mal
(a) Es existiert ein N ∈ N, sodass für alle natürlichen Zahlen m ≥ N gilt:
(i) Kern(f N ) = Kern(f m ),
(ii) Bild(f N ) = Bild(f m ).
(b) Es gilt V = Kern(f N ) ⊕ Bild(f N ).
Aufgabe 14.4:
Sei K ein Körper, und sei V ein K–Vektorraum. Desweiteren seien U1 , U2 ⊆ V Untervektorräume
von V . Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(a) Die Abbildung
f : U1 −→ (U1 + U2 )/U2 ,
x 7−→ [x]U2 ,
ist linear.
(b) f ist surjektiv und Kern(f ) = U1 ∩ U2 .
(c) Die Quotientenräume U1 /(U1 ∩ U2 ) und (U1 + U2 )/U2 sind isomorph.
Aufgabe 14.5:
(a) Finden Sie einen Vektorraum V
und f i 6= 0 für 0 ≤ i < 8257.
a
(b) Finden Sie eine Matrix A =
c
1
I2 die 2 × 2–Einheitsmatrix
0
sowie eine eine lineare Abbildung f : V → V mit f 8257 = 0
b
∈ M2 (Q) mit a, b, c, d ∈ Z, A2 6= I2 und A3 = I2 , wobei
d
0
bezeichne.
1
Aufgabe 14.6:
Wir betrachten den R–Vektorraum R4 und die Untervektorräume
(a)


 
5 
−2




  −32 
14

 
U1 := Lin 
 0  ,  −6  ,





−20
8


15 





−110
 ,
U2 := Lin 

15 





−30


−10 





64

U3 := Lin 
 12  .





40
(b)


1 





−3

U1 := Lin 
 −2  ,





6

 
4
−4



  −10
10
,
U2 := Lin 

7   −8



20
−15
Zeigen Sie oder widerlegen Sie jeweils: R4 = U1 ⊕ U2 ⊕ U3 .
Keine Abgabe möglich.




 ,





10 





−24

U3 := Lin 
 −19  .





48