¨Ubungen zur Theoretischen Physik II Quantenmechanik I SS 2004
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Übungen zur Theoretischen Physik II Quantenmechanik I SS 2004 Prof. H. Büttner Blatt 4 Abgabe: Montag, 17. Mai 2004, bis 14 Uhr vor Zi. 01.504 Bitte Namen des Übungsleiters auf der Abgabe angeben! (6 Punkte) Aufgabe 13: Forminvarianz Ein Inertialsystem Σ′ (Koordinaten x′ und t′ ) bewege sich bezüglich eines Inertialsystems Σ (Koordinaten x und t) mit der konstanten Geschwindigkeit v. Die Koordinaten eines Raum-Zeit-Punktes sind über die Galilei-Transformation ′ x − vt x x = → t′ t t verknüpft. Zeigen Sie, dass die freie eindimensionale Schrödinger-Gleichung forminvariant unter der Galilei-Transformation ist, dass also aus der Gültigkeit von ~2 ∂ 2 ′ ′ ′ ∂ ′ ′ ′ ψ (x , t ) = − ψ (x , t ) ∂t′ 2m ∂x′2 im Inertialsystem Σ′ auch die Gültigkeit von i~ ∂ ~2 ∂ 2 ψ(x, t) = − ψ(x, t) ∂t 2m ∂x2 im Inertialsystem Σ folgt, wobei die Wahrscheinlichkeitsdichte unverändert bleibt, d. h. i~ |ψ ′ (x′ , t′ )|2 = |ψ(x, t)|2 . Verwenden Sie dazu den Zusammenhang imv ′ v ′ ψ ′ (x′ , t′ ) = ψ(x′ + vt′ , t′ ) exp − x + t ~ 2 der Wellenfunktionen ψ und ψ ′ . Aufgabe 14: Darstellungsunabhängigkeit des Erwartungswerts (3 Punkte) (a) Gegeben sei der Erwartungswert der Ortskoordinate x als Integral über den Impulsraum, Z ~ ∂ ϕ(~ p, t). d~ p ϕ∗ (~ p, t) hxi = i ∂px R3 Verwenden Sie die Fourier-Transformierte von ϕ, um diesen Erwartungswert als Integral über den Ortsraum zu schreiben. (b) Schreiben Sie auch den Erwartungswert der x-Komponente des Impulses Z d~ p ϕ∗ (~ p, t)px ϕ(~ p, t) hpx i = R3 als Integral über den Ortsraum. Aufgabe 15: Runge-Lenz-Vektor (6 Punkte) (a) Gegeben sei ein klassisches Teilchen der Masse m im 1/r-Potenzial, beschrieben durch die Hamilton-Funktion γ ~p 2 − H(~ p, ~r) = 2m |~r | mit Kopplungskonstante γ. Zeigen Sie, dass der Runge-Lenz-Vektor 1 ~r ~ ~ε = p~ × ℓ − mγ m|γ| |~r | eine Erhaltungsgröße ist, wobei ~ℓ den Drehimpulsvektor bezeichne. (b) Betrachten Sie nun das zugehörige quantenmechanische Problem, d. h. substituieren Sie H, ~p, ~r und ~ℓ durch die entsprechenden Operatoren. Zeigen Sie, dass in diesem System der (symmetrisierte) Runge-Lenz-Vektor 1 ~r p~ × ~ℓ − ~ℓ × p~ − 2mγ ~εsym = 2m|γ| |~r | eine Erhaltungsgröße darstellt. (Operatoren sind hier ohne Dächer geschrieben!)
