Lösungsskizze - (IGPM) | RWTH Aachen

Aufgabe 37 (Euler-MacLaurin-Reihe)
Gegeben sind die äquidistante Zerlegung a = x0 < x1 < · · · < xn = b des Intervalls [a, b] mit der Schrittweite
2m
h = b−a
[a, b]. Die Funktion B̄k ist auf [a, b] stückweise durch transformierte Bernoulli-Polynome
n und f ∈ C
definiert:
x − x i
B̄k (x) = Bk
für x ∈ [xi , xi+1 )
h
Beweisen Sie folgenden Zusammenhang zwischen dem Integral und der Trapezsumme T (h) von f :
Z
b
f (x) dx = T (h) +
a
m
X
τj h2j +
j=1
Dabei ist
τj = −
h2m
(2m)!
Z
b
B̄2m (x)f (2m) (x) dx
a
B2j (0) (2j−1)
f
(b) − f (2j−1) (a) .
(2j)!
Hinweis: Zerlegen Sie zunächst das Integral über [a, b] in Integrale über [xi , xi+1 ]. Integrieren Sie dort 2m-fach
partiell, und verwenden Sie die Eigenschaften der Bernoulli-Polynome aus Aufgabe 36. Die Zahlen βk = Bk (0)
heißen Bernoulli-Zahlen.
(4 Punkte)
Lösungsskizze
Gemäß Hinweis ist
Z
b
f=
a
n−1
X Z xi+1
f.
xi
i=0
Grundlage des Beweises ist die partielle Integration von B̄k f (k) , 0 ≤ k ≤ 2m, auf den Intervallen [c, d) =
[xi , xi+1 ), 0 ≤ i ≤ n − 1:
Z
d
B̄k (x)f (k) (x) dx
1
Z
= h
c
f (k) (c + hy) dy
Bk (y)
| {z }
0
(1)
0
1
Bk+1
(y)
= k+1
=
=
h
k+1
h
k+1
d
Bk+1 (y)f (k) (c + hy) c −
Bk+1 (1)f
(k)
1
Z
(d) − Bk+1 (0)f
Bk+1 (y)f (k+1) (c + hy)h dy
0
(k)
!
d
Z
(c) −
B̄k+1 (x)f
(k+1)
(x) dx
c
Die Behauptung
Z
b
f = Th (f ) +
a
p
X
j=1
τj h2j +
h2p
(2p)!
Z
b
B̄2p (x)f (2p) (x) dx,
1 ≤ p ≤ m,
a
wird durch Induktion über p bewiesen.
Induktionsanfang (p = 1): Man setzt in (1) k = 0 und wendet auf das entstehende Integral (1) mit k = 1
an. Die Gleichungen auf den Teilintervallen werden wie im Hinweis summiert.
Induktionsschritt (p → p + 1): Auf das Restglied der per Induktionsannahme geltenden Formel für p
wendet man (1) mit k = 2p an, auf das neue Restglied wieder (1) mit k = 2p + 1. Dann summiert man
über die Teilintervalle.