Höhere Mathematik 3 Blatt 11

I. Köster, T.Vassias
Höhere Mathematik 3
Blatt 11
WS 2013/14
W. Kimmerle
Gruppenübungen am 16.1.2014
Aufgabe S 11.1
(schriftlich abzugeben am 16. Januar in den Tutorien)
Die Funktionen f, g : R → R seien 2π–periodisch und sprungnormiert mit f (x) = cosh(x) = (ex + e−x )/2
und g(x) = sinh(x) = (ex − e−x )/2 für |x| < π.
a) Skizzieren Sie f und g auf dem Intervall [−3π, 3π].
b) Entwickeln Sie f und g in ihre (komplexen) Fourier–Reihen.
c) In welchen Punkten konvergieren diese Fourier–Reihen? Wogegen?
d) Werten Sie die Fourier–Reihen in geeigneten Punkten x ∈ [−π, π] aus und bestimmen Sie so möglichst
explizit den Grenzwert der Reihen
∞
X
(−1)k
1 + k2
und
k=1
∞
X
(−1)k
k=0
2k + 1
.
1 + (2k + 1)2
e) Welche Fourier–Entwicklung haben die Ableitungen f 0 und g 0 ?
Erhält man diese durch termweises Ableiten der Fourier–Reihen?
Aufgabe P 11.2
Gegeben ist die Funktion
f (x) = −x3 − x + 3,
|x| < 1,
die periodisch auf R fortgesetzt wird.
a) Bestimmen Sie die zweite Ableitung von f .
b) Ermitteln Sie die Fourier-Reihe von f 00 .
c) Bestimmen Sie mit Hilfe von b) die Fourier-Reihe von f .
Aufgabe P 11.3
a) Sei Ω = {1, 2, 3, 4}. Bestimmen Sie alle möglichen Teilmengen E von der Potenzmenge P (Ω), sodass
es einen W-Raum (Ω, E, p) gibt. Geben Sie an, welchen Rechenregeln p hierbei genügen muss.
b) Sei (Ω, E, p) der W-Raum, der den Wurf mit einem fairen Würfel modelliert. Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 geworfen wird unter der Voraussetzung, dass nur
ungerade Augen gewürfelt worden sind. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass 2 oder 4 geworfen
wird, unter der Voraussetzung, dass keine 6 gewürfelt wird.
Verifizieren Sie den Satz von Bayes für N1 = {1, 2}, N2 = {5, 6} und M = {2, 5}.
Aufgabe P 11.4
Die Zufallsvariable X sei exponentiell mit Parameter α > 0 verteilt, das heißt, es
gilt
F (x) =
1 − exp(−αx)
0
für
x≥0
sonst
Geben Sie die Dichte, den Erwartungswert und die Varianz an. Skizzieren Sie die Dichte und die Verteilungsfunktion für α = 1.
Ein Gerät enthalte 20000 Widerstände, jeder mit Ausfallwahrscheinlichkeit 10−4
und unabhängig von den anderen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen genau k Widerstände aus? Für
k = 0, 1, 2, 3, 4 und {k ≥ 5} berechne man diese Wahrscheinlichkeit auf 3 Nachkommastellen genau. Ist die
zugehörige Poisson-Verteilung hierzu eine ausreichend gute Näherung?
Aufgabe P 11.5