Statistik 2
HTW des Saarlandes
- SoSe 2015 -
Melanie Kaspar
1. Übung zur Vorlesung Statistik 2
Aufgabe 1
Sei Bi das Ereignis Bi = “Bauelement Bi ist O.K”, i = 1, ..., n. G sei das in
folgender Skizze dargestellte Gerät:
B1
B2
B3
B4
B5
Das Gerät funktioniert, wenn mindestens eine Reihe funktioniert. Eine Reihe funktioniert, wenn alle Bauelemente der Reihe funktionieren.
Stellen Sie mit Hilfe der Ereignisse Bi und den Mengenoperationen ∩, ∪, \,
sowie Komplementbildung folgende Ereignisse dar:
a) A= “Das Gerät ist O.K.”
b) B= “Nur B1 , B2 und B5 sind O.K, die anderen Bauelemente nicht.”
c) C= “Genau 2 Reihen des Gerätes funktionieren nicht.”
d) D= “Mindestens ein Bauelement ist O.K.”
e) E= “Mindestens ein Bauelement ist defekt.”
f ) F= “Höchstens ein Bauelement ist defekt”
Aufgabe 2
Ein 10 – stelliger Zahlencode besteht aus den Ziffern 1,2,..,9. Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit dafür, den Code auf Anhieb zu erraten, wenn Sie folgende
Zusatzinformationen besitzen:
a) keine weiteren Zusatzinfos.
b) Alle Ziffern des Codes sind unterschiedlich!
c) Der Code enthält 4 mal die Ziffer 1 und 3 mal die Ziffer 4 und 3 mal die
9!
d) Der Code besteht nur aus den Ziffern 4 und 8 und alle beiden Ziffern
kommen jeweils mind. 2 mal vor!
Aufgabe 3
Sei V der zufällige Versuch “Würfeln mit 5 gleichmäßigen Würfeln”. Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) Alle 5 Augenzahlen sind verschieden voneinander!
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b) 5 gleiche Zahlen sind gewürfelt worden!
c) 2 Einsen und 3 Vieren werden gewürfelt!
d) Die Augenzahlen 1,2,3,4,5 sind gewürfelt worden!
e) Höchstens drei Fünfen sind gewürfelt worden.
f ) 4 gleiche Augenzahlen J ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} sind gewürfelt worden.
Aufgabe 4
In einer Obstkiste sind 4 Bananen, 5 Äpfel, 7 Birnen, 6 Mangos und 4 Pflaumen. Es werden vier Stück Obst herausgenommen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) Es sind 4 Bananen.
b) Es sind 2 Äpfel und 2 Birnen.
c) Es sind 2 Mangos, 1 Birne und 1 Pflaume.
d) Es sind keine Äpfel und keine Pflaumen.
Aufgabe 5
Sei X die zufällige Lebensdauer eines Bauteils und es gelte P (X > 200h) = 0, 45
sowie P (X ≤ 100h) = 0, 3. Wieviel % aller Bauteile, die länger als 100 h ,leben’, überleben auch 200 h?
Sind die beiden Ereignisse X>100 h und X> 200h stochastisch unabhängig voneinander?
Aufgabe 6
Ein Bauteil wird in 2 Tests T1 und T2 getestet. Die Wahrscheinlichkeit dafür
T1 zu bestehen sei 0,7. Die Wahrscheinlichkeit T2 zu bestehen hängt von T1 ab:
ist T1 bestanden worden, so besteht das Bauteil T2 mit der Wahrscheinlichkeit
0,9, sonst ist sie 0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beide Tests zu
bestehen?
Aufgabe 7
Für die Herstellung von synthetischem Benzin wird von zwei Firmen unabhängig voneinander an einer technisch realisierbaren Lösung geforscht. Die Wahrscheinlichkeit, dass Firma A die Lösung findet ist 0,8; dass Firma B eine Lösung findet ist 0,7.
1. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass das Problem wenigstens von
einer Firma gelöst wird.
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das Problem ungelöst bleiben?
Aufgabe 8
Acht einander fremde Personen besteigen im Erdgeschoss den Lift eines 12stöckigen Hauses (das Erdgeschoss ist bei den 12 Stockwerken nicht mitgezählt).
Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigt jeder der 8 Fahrgäste in einem anderen
Stockwerk aus, wenn alle Stockwerke die gleiche Ausstiegswahrscheinlichkeit haben?
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Aufgabe 9
Ein Prüfer beim TÜV hat festgestellt, dass 5 % aller vorgeführten Pkw wegen
schwerwiegender Mängel fahruntüchtig sind und damit keine TÜV-Plakette bekommen. 60 % aller fahruntüchtigen Pkws waren älter als zehn Jahre. Unter
den Pkws mit TÜV-Plakette (sind also fahrtüchtig), sind 10% der PKW älter
als zehn Jahre.
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt ein Pkw, der älter als sieben
Jahre ist, die TÜV-Plakette nicht?
Aufgabe 10
Für eine bestimmte Population gilt: 0,2% aller Menschen aus dieser Population
erkranken an Lungenkrebs. 90 % aller an Lungenkrebs erkrankten Personen
sind Raucher. Unter den Personen ohne Lungenkrebs sind 61% Nichtraucher. .
1. Wie groß ist der Anteil der Raucher in dieser Population?
2. Eine Person ist Raucher. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, nicht
an Lungenkrebs zu erkranken?
3. Eine Person ist Nichtraucher. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, an
Lungenkrebs zu erkranken?
4. Zeigen Sie, dass die Ereignisse “Person ist Raucher” und “Person erkrankt
an Lungenkrebs” nicht unabhängig voneinander sind.
Abgabe: Freitag, 19. Juni 2015 in der Vorlesung
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