Aufgabenblatt 4

Übungen zur Elektrodynamik
Sommersemester 2012
Aufgabenblatt 4
Prof. Dr. Stefan Heinze
Ausgabe: 07.05.2012, Abgabe: 14.05.2012 (bis 12:00 Uhr)
Aufgabe 1: Elektrostatische Energie einer geladenen Kugel (5 Punkte)
Berechnen Sie die elektrostatische Energie einer geladenen Kugel mit Radius R und
Ladung Q, die (i) homogen über die Kugel verteilt ist und (ii) sich auf der Oberfläche
der Kugel befindet. Welche der beiden Ladungsverteilungen ist energetisch günstiger?
Verwenden Sie zwei unterschiedliche Methoden dazu:
(a) Berechnen Sie die elektrostatische Energie durch Integration über die
|
| .
Energiedichte des Feldes:
(b) Überprüfen Sie dieses Ergebnis, indem Sie alle Arbeitsbeiträge aufsummieren, die
notwendig sind, um die Gesamtladung sukzessive aus dem Unendlichen zu holen.
Aufgabe 2: Multipolmomente (9 Punkte)
Drei Punktladungen befinden sich auf der -Achse. Eine Ladung 2 sei im Ursprung
und zwei Ladungen – befinden sich am Ort
und
.
(a) Berechnen Sie das Monopol- und Dipolmoment dieser Ladungsverteilung.
(b) Berechnen Sie den Tensor des Quadrupolmoments. Zeigen Sie, dass die
Nichtdiagonalmomente verschwinden und begründen Sie dies durch die
Symmetrie der Ladungsverteilung.
(c) Berechnen Sie das elektrostatische Potential (man beschränke sich auf die
führende
Ordnung
der
Multipolentwicklung).
Skizzieren
Sie
die
Äquipotentiallinen in der
und in der
Ebene.
(d) Führen Sie ausgehend vom exakten Potential für die drei Punktladungen eine
Taylorentwicklung durch und zeigen Sie, dass der führende Term des Potentials
mit dem aus der Multipolentwicklung übereinstimmt.
(e) Im Abstand
auf der x-Achse befinde sich nochmals die gleiche Anordnung
aus den drei starr miteinander verbundenen Ladungen. Berechnen Sie die
elektrostatische Wechselwirkungsenergie beider Quadrupole in niedrigster nicht
verschwindender Ordnung der Multipolentwicklung. Berechnen Sie daraus die
Kraft auf den rechten Quadrupol.
Aufgabe 3: Kraft zwischen zwei elektrischen Dipolen (4 Punkte)
Berechnen Sie ausgehend von der potentiellen Energie eines Dipols
im elektrischen
Feld eines zweiten Dipols
(s. Vorlesung) die Kraft auf den ersten Dipol. Zeigen
Sie, dass die Kraft durch
3
1
5
gegeben ist. Geben Sie ausgehend von dieser Formel die Kräfte für die Fälle an (i)
und
sind parallel ausgerichtet und (ii) und
sind antiparallel.