5+3 = 8 Punkte - Universität zu Köln

Prof. Dr. J. Krug
Dr. G. Wergen
Institut für Theoretische Physik
der Universität zu Köln - SS 2013
9. Übung zur Theoretischen Physik in zwei Semestern I
Abgabe: Dienstag 18. Juni bis 12 Uhr im Kasten vor dem Institut für Theoretische Physik
Diskussion: Freitag 21. Juni in den Übungen
Termine: Klausur am 1.8., 14:15 Uhr in HS I, Nachklausur am 4.10., 13:30 Uhr in HS I
Internetseite: http://www.thp.uni-koeln.de/∼gw/
41. Elektrische Feld II
(5+3 = 8 Punkte)
Wir betrachten N Ladungen in Form einer geradlinigen Kette der Länge L, die im Abstand
a = L/ (N − 1) angeordnet sind (siehe Skizze).
a) Bestimmen Sie die in der Mitte zu der Kette senkrecht liegende Komponente des elektrischen Feldes im Abstand z im Grenzfall N → ∞, a → 0 bei konstanter Länge L (so, dass
N a = L).
b) Gegeben sei weiterhin ein unendlich langer, gerader Draht mit Linienladungsdichte Q/λ in
x-Richtung. Geben Sie die Ladungsdichte des Drahtes an und bestimmen Sie wieder die
zum Draht senkrechte Komponente des elektrischen Feldes.
Ez
z
y
z
x
Q/N
a
L
Hinweis: Die Stammfunktion von
1
(1+x2 )3/2
ist
√ x
.
1+x2
42. Elektrisches Feld des Wasserstoffatoms
(8 Punkte)
Das Wasserstoffatom besteht aus einem Proton im Kern mit der Elementarladung e und einem
Elektron in der Hülle mit der Ladung −e. Nehmen Sie den Kern im Ursprung als punktförmig
an. Im Grundzustand hat das Elektron-Orbital die Ladungsdichte
2r
e
.
ρe (~r) = − 3 exp −
a0
πa0
Hier ist a0 ≈ 5, 3 · 10−11 m der Bohrsche Atomradius. Die gesamte Ladungsverteilung ist dann
durch ρ (~r) = ρe (~r) + eδ (~r) gegeben. Berechnen Sie über den von Satz Gauss das elektrische
~ (~r) und das Potential Φ (~r) des Wasserstoffatoms im Grundzustand.
Feld E
1
43. Scheibenwelt
(6 Punkte)
Nehmen wir an, die Erde sei eine Scheibe von zehn Kilometern Dicke und praktisch unendlicher
Ausdehnung. Welche Dichte müsste sie haben, damit ihre Gravitationskraft an der Oberfläche
mit der tatsächlichen Gravitationskraft übereinstimmt?
Hinweis: Nutzen Sie das Gaußsche Gesetz für das Gravitationsfeld.
44. Elektrischer Dipol
(2+2+2+2+2 = 10 Punkte)
Wir betrachten zwei Punktladungen ±q mit entgegengesetzten Vorzeichen, die im Abstand a
symmetrisch um den Ursprung auf der z-Achse liegen.
a) Fertigen Sie eine Skizze des Problems an.
b) Geben Sie einen Ausdruck für die Ladungsdichte ρ (~r) mit Hilfe der Definition aus der
Vorlesung für eine diskrete Ladungsverteilung an (Hinweis: Delta-Funktionen). Wie groß
ist die Gesamtladung?
c) Berechnen Sie das Dipolmoment d~ der Ladungsverteilung aus b). Dieses ist definiert als:
Z
~
d = d3 r ~rρ (~r)
d) Wir interessieren uns für das Verhalten des Dipolfeldes im Fernfeld |~r| ≫ a. Dazu betrachten wir die Ladungsverteilung aus b) im Grenzübergang a → 0, q → ∞ mit qa = const..
Zeigen Sie, dass dieser Grenzübergang auf den Ausdruck
ρ (~r) = −d~ · ∇δ (~r)
∂
gilt.
führt. Beachten Sie, dass für unsere Wahl von Koordinaten d~ · ∇ = d ∂z
e) Berechnen Sie nun, mit Hilfe des in der Vorlesung angegebenen allgemeinen Ausdrucks und
einer partiellen Integration, das Potential Φ (~r) für die Ladungsdichte aus d). Wie lautet
die Poissongleichung für dieses Problem?
45. Multipolentwicklung
( 8 Punkte )
Wir betrachten die folgenden beiden Ladungsverteilungen:
ρ1 (~r) = −qδ (~r − a~ez ) + 2qδ (~r) − qδ (~r + a~ez ) ,
ρ2 (~r) = −qδ (~r − a~ez ) + 3qδ (~r)
mit konstantem a > 0. Berechnen Sie jeweils die Gesamtladung, das Dipolmoment und den
Quadrupoltensor. Geben Sie jeweils die Multipolentwicklung bis zur Quadrupolordnung an.
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