Theoretische Elektrodynamik ¨Ubungsblatt 10: Multipole und

Theoretische Elektrodynamik
Übungsblatt 10: Multipole und Dielektrika
Prof. J. Sirker
Fällig: Dienstag 2. Juli, 16:00 Uhr
1. Multipolentwicklung (10 Punkte)
Das Potential einer Ladungsverteilung ρ(~r) ist durch
1
Φ(~r) =
4π0
Z
d3 r 0
ρ(~r0 )
|~r − ~r0 |
gegeben. Wir nehmen nun an, daß die Ladungsdichte nur in einem Bereich
V von Null verschieden sei und wollen das Potential Φ in großer Entfernung
~r von diesem Bereich V betrachten. Es gilt also immer |~r| |~r0 | falls das
Integral einen Beitrag liefert.
a) Entwickeln Sie daher das Potential in r0 /r und zeigen Sie, daß
4π0 Φ(~r) =
xi xk
Q p~ · ~r 1 X
+ 3 +
Qik 5 + · · ·
r
r
2
r
ik
mit ~r = (x1 , x2 , x3 ) gilt, mit
Z
Q = d3 r ρ(~r)
Z
p~ = d3 r ~rρ(~r)
Z
Qik = d3 r (3xi xk − r2 δik )ρ(~r)
Gesamtladung,
Dipolmoment, und
Quadrupolmoment.
b) Wie lautet das Quadrupolmoment einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung?
2. Elektrischer Dipol (10 Punkte)
Betrachten Sie einen Dipol am Punkt ~r0 mit Dipolmoment p~ und zu vernachlässigender Ausdehnung. Zeigen Sie, daß dieser bei der Berechnung
R 3 0 ρeff (~r0 )
1
a) seines Potentials Φ = 4π
d r |~r−~r0 | , sowie
0
R 3
b) seiner Energie W = d rρeff (~r)Φ(~r)
1
durch eine effektive Ladungsdichte
ρeff (~r) = −~
p · ∇δ(~r − ~r0 )
beschrieben werden kann.
[Hinweis: partielle Integration, um die Ableitung von der Delta-Distribution
auf die Funktion zu verschieben.]
3. Dielektrischer Hohlzylinder (20 Punkte)
Ein unendlich langer kreisförmiger Hohlzylinder mit dem inneren Radius
R1 und dem äußeren Radius R2 befinde sich in einem homogenen elek~ mit der in der Skizze gegebenen Feldrichtung.
trischen Feld E
E
E
Der Bereich R1 ≤ r ≤ R2 sei mit einem Dielektrikum mit Dielektrizitätskonstante gefüllt, der Bereich r < R1 und r > R2 sei leer ( = 1) und
r werde von der Zylinderachse (Zylinderkoordinaten) aus gemessen. Für
das zu bestimmende Potential wählen wir den zweidimensionalen Ansatz
(der Zylinder ist unendlich lang)
Φ(r, ϕ) = α0 + β0 log r +
∞
X
(αm rm + βm r−m ) cos(mϕ).
m≥1
a) Bestimmen Sie unter Benutzung der Randbedingungen das Potential
und das elektrische Feld in den drei oben definierten Raumbereichen.
b) Skizzieren Sie die elektrischen Feldlinien für den Fall R2 = 2R1 .
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