Klausur Nr. 2

Schulzentrum Rübekamp
Mathematik
17.12.2015
Stochastik II
Name:
Internetsucht
Viele Jugendliche zeigen ein problematisches Verhalten im Umgang mit dem Internet. Die
sogenannte PINTA-Studie für das Bundesministerium für Gesundheit untersuchte unter
anderem die Internetsucht junger Deutscher im Alter von 14 bis 24 Jahren, die im Folgenden
als „Jugendliche“ bezeichnet werden. Der Studie zu Folge gelten rund 14 % der Jugendlichen
als suchtgefährdet.
Runde Deine Ergebnisse immer auf drei Nachkommastellen genau!
1. Es werden 25 zufällig ausgewählte Jugendliche befragt.
a) Es soll die Frage „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau ein
suchtgefährdeter Jugendlicher dabei ist?“ untersucht werden.
Erläutere, was eine BERNOULLI-Kette ausmacht und warum dieser Versuch als eine
BERNOULLI-Kette angesehen werden kann.
6 Punkte
b) Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der suchtgefährdeten Jugendlichen an. Ergänze die
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X. (Mit anderen Worten: Berechne die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 25 Befragten genau 6 Suchtgefährdete dabei sind.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 25 Befragten genau 7
Suchtgefährdete dabei sind).
Schreibe Deinen Rechenweg gut nachvollziehbar auf!
k (Anzahl der
suchtgefährdeten
unter den 25
Befragten)
0
1
2
3
4
5
p(X=k)
0,023
0,094
0,183
0,229
0,205
0,140
6
7
8 Punkte
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens fünf suchtgefährdete
Jugendliche dabei sind.
4 Punkte
d) Bestimme p(1≤X≤4) und erläutere die Bedeutung des Werts im Zusammenhang der
Aufgabe.
4 Punkte
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2. Die Jugendlichen stellen
Gesamtbevölkerung.
Mathematik
einen
Anteil
17.12.2015
von
ca.
11 %
an
der
deutschen
a) Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte
deutsche Person jugendlich und zudem noch suchtgefährdet ist, 1,5 4% beträgt.
Erstelle dazu ein passendes Baumdiagramm.
8 Punkte
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 25 zufällig ausgewählten
Deutschen genau eine jugendliche und zudem suchtgefährdete Person ist.
Nimm dazu entsprechend der Aufgabe 2a) an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein
zufällig ausgewählter Deutscher ein Jugendlicher und zudem noch suchtgefährdet ist,
1,5 4% beträgt.
4 Punkte
3. Erwartungswert
a) Berechne zu der Wahrscheinlichkeitsverteilung den Erwartungswert.
k
p(X = k)
0
1
2
0,2
0,7
0,1
8 Punkte
b) Ein Spielautomat hat drei Felder. In jedem Feld zeigt er mit einer Wahrscheinlichkeit
von 30% eine Münze, ansonsten Bananen an. Die Abbildung zeigt ein mögliches
Ergebnis.
Sind zwei Münzen zu sehen, so wirft der Automat 1.-€ aus. Sind drei Münzen zu
sehen, so wirft der Automat 3.-€ aus. Ansonsten gibt es keinen Gewinn. Der Einsatz
beträgt 0,50€. Ist das Spiel fair?
8 Punkte
Bewertungseinheiten (BE):
KMK Punkte:
/50
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17.12.2015
Musterlösung
Aufgabe 1
a) Drei Dinge sind wesentlich für eine BERNOULLI-Kette:
i.
Bei jeder Stufe (Wiederholung) gibt es genau zwei Möglichkeiten, nämlich einen
Erfolg oder einen Misserfolg.
ii.
Bei jeder Stufe (Wiederholung) ist die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich.
iii.
Es gibt n Stufen (Wiederholungen)
In diesem Fall liegt eine BERNOULLI-Kette vor, denn
i.
Bei jeder Stufe (Wiederholung) gibt es genau zwei Möglichkeiten, nämlich einen
Erfolg (z.B. „suchtgefährdet“) oder einen Misserfolg („nicht suchtgefährdet“).
ii.
Bei jeder Stufe (Wiederholung) ist die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich, nämlich p
= 0,14.
iii.
Es gibt n Stufen (Wiederholungen), nämlich 25.
25
b) a) 𝑝(𝑋 = 6) = ( ) ∙ 0,146 ∙ 0,8619 ≈ 𝟎, 𝟎𝟕𝟔
6
25
b) 𝑝(𝑋 = 7) = ( ) ∙ 0,147 ∙ 0,8618 ≈ 𝟎, 𝟎𝟑𝟒
7
c) Im Folgenden steht p(k) für p(k Suchtgefährdete) (z.B. p(0) für p(0 Suchtgefährdete))
p(höchstens 5 Suchtgefährdete) = p(0) + p(1) + p(2) p(3) + p(4) + p(5)
│vgl. Tabelle
= 0,023 0,094 + 0,183 + 0,229 + 0,205 + 0,140
= 0,874
d) p(1≤X≤4) bedeutet „die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 und maximal 4
Suchtgefährdete dabei sind“.
p(1≤X≤4) = p(1) p(2) + p(3) + p(4) = … = 0,711
Aufgabe 2
a) Baumdiagramm:
J – jugendliche Person
E – erwachsene Person
sg – suchtgefährdet
nsg – nicht suchtgefährdet
0,11
J
E
0,14
sg
nsg
p(J, sg) = 0,11∙0,14 = 0,0154
Damit ist die Aussage bewiesen.
25
b) 𝑝(𝑔𝑒𝑛𝑎𝑢 1 𝑠𝑢𝑐ℎ𝑡𝑔𝑒𝑓äℎ𝑟𝑑𝑒𝑡𝑒 𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛) = ( ) ∙ 0,01541 ∙ 0,984624 ≈ 𝟎, 𝟐𝟔𝟓𝟑
1
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17.12.2015
Aufgabe 3
a) E[X] = 0∙0,2 + 1∙0,7 + 2∙0,2 = 0,9
b) Erstelle zunächst die Gewinn-Verteilung, dazu:
3
𝑝(𝑔𝑒𝑛𝑎𝑢 2 𝑀ü𝑛𝑧𝑒𝑛) = ( ) ∙ 0,32 ∙ 0,71 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟗
2
3
𝑝(𝑔𝑒𝑛𝑎𝑢 3 𝑀ü𝑛𝑧𝑒𝑛) = ( ) ∙ 0,33 ∙ 0,70 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟕
3
Münzen
Auszahlung
Gewinn
p
0
0.-€
1
0.-0,50€
2
1.0,50€
3
3.2,50€
0,784
0,189
0,027
Berechne nun den Erwartungswert:
E[X] = -0,50€∙0,784 + 0,50€∙0,189 + 2,50€∙0,027 = -0,23€
Da der Erwartungswert nicht Null ist, ist das Spiel nicht fair.