Blatt 11

Numerik-Praktikum
Sommersemester 2014
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Prof. Dr. S. Bartels
Dipl.-Math. A. Schumacher
Übungsblatt 11
Abgabe. Bitte schicken Sie Ihre Lösung mit Programm bis zum 16.7. an Ihren Tutor.
Aufgabe 1 Auf Basis von Stichproben und statistischen Erwägungen lässt sich das Gewicht
eines Hühnereis in guter Näherung als normalverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert
µ = 57g und Standardabweichung σ = 6g beschreiben. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht
eines Eis im Intervall [m1 , m2 ] liegt, ist dann gegeben durch
Z m2
1
2
2
e−(x−µ) /(2σ ) dx.
P (m1 ≤ X ≤ m2 ) = √
2
2πσ m1
(i) Bestimmen Sie mit einer summierten Quadraturformel sowie der Identität
Z ∞
p
2
e−t /2 dt = π/2
0
die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei mehr als 65g wiegt.
(ii) Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit einem Zugang der Berechnung der Wahrscheinlichkeit ohne
numerische Integration mit der Identität
t4 t6
− + ...
2! 3!
und der exakten Integration einiger Monome. In welchen Situationen ist dieser Zugang vorteilhaft?
(iii) Spezifizieren Sie numerisch mit vier Nachkommastellen Genauigkeit die 68-95-99,7-Regel,
die die Wahrscheinlichkeiten für die Abweichung um das ein-, zwei- beziehungsweise dreifache
der Standardabweichung vom Erwartungswert angibt, das heißt die Größen P (|X − µ| ≤ jσ)
für j = 1, 2, 3.
2
e−t = 1 − t2 +
Aufgabe 2 Verwenden Sie die summierten Trapez- und Simpson-Regeln sowie eine summierte
Gaußsche 3-Punktquadratur, um die Integrale im Intervall [0, 1] der Funktionen
f (x) = sin(πx)ex ,
g(x) = x1/3
mit Schrittweiten h = 2−` , ` = 1, 2, ..., 10, zu approximieren. Berechnen Sie jeweils den Fehler
eh und bestimmen Sie eine experimentelle Konvergenzrate γ aus dem Ansatz eh ≈ c1 hγ und
der daraus folgenden Formel
log(eh /eH )
γ≈
log(h/H)
für zwei aufeinanderfolgende Schrittweiten h, H > 0. Vergleichen Sie die experimentellen Konvergenzraten mit den theoretischen Konvergenzraten der Verfahren und kommentieren Sie Ihre
Ergebnisse. Stellen Sie die Paare (h, eh ) für die verschiedenen Quadraturformeln vergleichend als
Polygonzüge grafisch in logarithmischer Achsenskalierung mit Hilfe des Matlab -Befehls loglog
dar.
Homepage zur Vorlesung: aam.uni-freiburg.de/bartels/numa2-prakt