technische universität münchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. M. Wolf
Dr. M. Prähofer
Funktionentheorie
MA2006/MA2008
Sommersemester 2014
Blatt 8
(27.5.2014)
http://www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA2006 2014S
Tutoraufgaben
T8.1. Anwendungen des Identitätssatzes
Sei (an )n∈N0 eine Folge komplexer Zahlen mit
∞
P
|an | < ∞ und
n=0
∞
P
n=0
an
kn
1
= e− k2 für k ∈ N.
Wie lautet a2014 ?
T8.2. Isolierte Singularitäten
Klassifizieren Sie die isolierten Singularitäten der folgenden Funktionen:
(a) f (z) =
z−1
,
(z 4 −1)2
(b) f (z) =
z
sin z ,
−3
(c) f (z) = e−z ,
(d) f (z) =
1
sin z1
.
Hausaufgaben
H8.1. Anwendungen des Identitätssatzes
Gibt es im Ursprung holomorphe Funktionen f , für die jeweils für alle n ∈ N gilt:
(a) f ( n1 ) = (−1)n n1 ,
(b) f ( n1 ) =
1
,
n2 −2
(c) f (n) (0) = (n!)2 ?
H8.2. Gebietstreue
Sei U ⊆ C ein Gebiet und seien a, b, c ∈ R reelle Konstanten mit a2 + b2 > 0. Bestimmen
Sie alle auf U holomorphen Funktionen mit der Eigenschaft a Re(f ) + b Im(f ) + c = 0.
H8.3. Verallgemeinertes Nullstellenkriterium
Sei f : U → C holomorph auf dem beschränkten Gebiet U ⊆ C und stetig fortsetzbar auf
U . Gibt es ein z0 ∈ U mit |f (z0 )| < min{|f (z)| | z ∈ ∂U }, so besitzt f eine Nullstelle in U .
Hausaufgabenabgabe: Dienstag, 3.6.2014, bis 16:00, Briefkasten, Keller FMI-Gebäude