T.5 Identitäten

T.5
Identitäten
Es gibt Gleichungen in allen Zweigen der Mathematik, denen nicht unmittelbar anzusehen
ist, daß sie gelten. Sie werden üblicherweise als Identitäten bezeichnet und lassen sich immer in der Form A = B schreiben. Bei vielen reicht ein (mitunter mühsames) Ausrechnen
zum Nachweis; andere erfordern spezielle Methoden. Ein herausragendes Buch zu diesem
Thema ist [Pet96], das nicht zufällig diesen Titel trägt: A = B.
Einleitend für die nachfolgende Übersicht geben wir die schönste“ mathematische Formel
”
aller Zeiten an, die die vier Zahlen 0, 1, e und π miteinander verknüpft:
eiπ + 1 = 0.
T.5.1
(T.40)
Algebraische Identitäten
a2 − b2 = (a − b)(a + b),
(T.41)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ),
(T.42)
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ),
(T.43)
a − b = (a − b)(a + b)(a + b ),
(T.44)
4
4
2
2
a4 + 4b4 = (a2 + 2ab + 2b2 )(a2 − 2ab + 2b2 ),
(T.45)
a5 − b5 = (a − b)(a4 + a3 b + a2 b2 + ab3 + b4 ),
(T.46)
a5 + b5 = (a + b)(a4 − a3 b + a2 b2 − ab3 + b4 ),
(T.47)
a6 − b6 = (a − b)(a + b)(a2 + ab + b2 )(a2 − ab + b2 ),
(T.48)
a6 + b6 = (a2 + b2 )(a4 − a2 b2 + b4 ),
(T.49)
a4 + a2 b2 + b4 = (a2 + ab + b2 )(a2 − ab + b2 ),
(T.50)
(a2 + xb2 )(c2 + xd2 ) = (ac ± xbd)2 + x(ad ∓ bc)2 ,
(T.52)
(a2 − xb2 )(c2 − xd2 ) = (ac + xbd)2 − x(ad + bc)2 ,
(T.51)
(a + b + c)7 − (a7 + b7 + c7 ) = 7(b + c)(c + a)(a + b) ×
[(a2 + b2 + c2 + bc + ca + ab)2 + abc(a + b + c)],
µ
¶2
µ
¶2
a+b
a−b
−
= ab,
2
2
√
√
µ
¶2
¶
µ
−b ± b2 − 4ac
−b ± b2 − 4ac
+b
+ c = 0,
a
2a
2a
à n !à n ! à n
!Ã n
!
X
X
X
X a i bi
ai
bi −
(ai + bi )
a + bi
i=1
i=1
i=1
i=1 i
(T.53)
(T.54)
(a 6= 0),
(ai bj − aj bi )2
=
.
(ai + bi )(aj + bj )
1≤i<j≤n
X
(T.55)
(T.56)
Fibonaccische Identität.
(a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac − bd)2 + (ad + bc)2 = (ad − bc)2 + (ac + bd)2 .
Cauchy-Lagrange-Identität. Für alle n ∈ N gilt:
(a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) − (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 =
X
=
(ai bj − aj bi )2
(T.57)
Eulers 4-Quadrat-Identität.
(a21 + a22 + a23 + a24 )(b21 + b22 + b23 + b24 ) =
= (a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 − a4 b4 )2 + (a1 b2 + a2 b1 + a3 b4 − a4 b3 )2 +
(a1 b3 − a2 b4 + a3 b1 − a4 b3 )2 + (a1 b4 + a2 b3 − a3 b2 + a4 b1 )2 =
= (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 )2 + (a1 b2 − a2 b1 − a3 b4 + a4 b3 )2 +
(a1 b3 + a2 b4 − a3 b1 − a4 b3 )2 + (a1 b4 − a2 b3 + a3 b2 − a4 b1 )2 .
(T.59)
Ferraris Identität.
(a2 + 2ac − 2bc − b2 )4 + (b2 − 2ab − 2ac − c2 )4 + (c2 + 2ab + 2bc − a2 )4 =
= 2(a2 + b2 + c2 − ab + ac + bc)4 .
(T.60)
Mit σk (k = 1, 2, . . . , n) als elementare symmetrische Funktionen der n Variablen x1 , . . . , xn
(s. Abschnitt U.4) sowie sk ≡ xk1 + · · · + xkn gilt:
σ12 = s2 + 2 σ2 .
(T.61)
Eulersche Identität. Für |z| < 1 gilt:
∞
Y
p
(1 + z ) =
p=1
∞
Y
q=1
(1 − z 2q−1 )−1 .
(T.62)
∞
X
2
∞
Y
xm
1
1+
=
.
2
m
5m+1
(1 − x)(1 − x ) · · · (1 − x ) m=0 (1 − x
)(1 − x5m+4 )
m=1
(T.63)
Jacobische Determinanten-Identit ät. Es sei
A=
·
B D
E C
¸
,
A
−1
=
·
W X
Y Z
¸
,
wobei B und W k×k-Matrizen seien. Dann gilt:
(det Z)(det A) = det B.
(T.64)