Prof. Dr. Gerhard Berendt Mathematische Grundlagen

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Mathematische Grundlagen der Codierung / Endliche Strukturen
Arbeitsblatt 4 / S. 1 von 9
Polynome.
Während Polynome in der Analysis als einfache Funktionen (also als Abbildungen
einer Teilmenge von R nach R) auftreten, werden sie in der Algebra vornehmlich im
Hinblick auf ihre Struktur betrachtet. Im folgenden beschränken wir uns auf
Polynome in einer Unbestimmten.
Im Anschluß an die Untersuchung von Gruppen, Ringen und Körpern können wir
Polynome (in einer Unbestimmten) als endliche Folgen von Elementen ai  R eines
Rings R auffassen: (a0 . a1 , .... an ) . Wir schreiben dies in der Form
a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn .
Dabei steht das Symbol x für eine so genannte "Unbestimmte", die selbst kein
Element von R ist.
Dass die aus der Analysis bekannte suggestive Schreibweise für ein Polynom
verwendet werden kann, ist darauf zurückzuführen, dass Gleichheit, Addition und
Multiplikation von Polynomen in der Algebra genau so definiert wird wie in der
Analysis.
Mit diesen Definitionen (die hier als bekannt vorausgesetzt werden) bilden die
Polynome mit Koeffizienten aus einem Ring selbst wieder einen Ring, den so
genannten Polynomring über R , geschrieben als P(R). Wenn der Ring der
Koeffizienten von P(R) ein Körper K ist, dann ist P(K) ein euklidischer Ring; d.h.
dann kann – wie bei Z – eine Division mit Rest vorgenommen werden 1.
Da der Polynomgrad n nicht beschränkt ist, enthält P(R) auch dann unendlich viele
Elemente, wenn R selbst ein endlicher Ring ist. Um das zu vermeiden, muß man –
wie bei Zahlenmengen – Faktorringe modulo eines gegebenen Polynoms bilden.
Die Rolle der Primzahlen übernehmen im Polynomring P(K) die irreduziblen
Polynome:
Definition:
Ein Polynom positiven Grades aus P(K) heißt irreduzibel (über K), wenn es nur
durch Elemente von K und durch sich selbst ohne Rest teilbar ist; andernfalls heißt es
reduzibel.
Führt man die Überlegungen im Polynomring (immer über einem Körper K) analog
wie im Ring Z der ganzen Zahlen durch, dann gilt z.B. der
1
Dazu beweist man zunächst, dass zu jedem Polynom f(x) ein Polynom q(x) derart existiert, dass zu
jedem vom Nullpolynom verschiedenen g(x) für die Differenz r = f - q g entweder r(x) = 0 oder
grad r < grad g gilt. Danach geht man genau so vor, wie im Falle der ganzen Zahlen. Insbesondere
kann der Divisionsalgorithmus analog wie dort hergeleitet werden.
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Arbeitsblatt 4 / S. 2 von 9
Satz:
Der Faktorring P(K) modulo einem irreduziblen Polynom f(x)  P(K) ist ein Körper.
Diese Aussage wird später noch benutzt werden.
Endliche Körper.
Wie die vorangegangenen Ausführungen gezeigt haben, erweisen sich die
Restklassen modulo einer Primzahl p als (endliche) Körper. Ziel dieses Abschnitts ist
es, einen Überblick über alle möglichen endlichen Körper (d.h. Körper mit endlich
vielen Elementen) und deren Eigenschaften zu erhalten. Dazu notieren wir zunächst
die einfachsten Eigenschaften allgemeiner Körper, wie sie sich aus den
Körperaxiomen ergeben.
Die Definition eines Körpers K als Menge mit den beiden Operationen der Addition
und Multiplikation wird aus dem Grundkurs vorausgesetzt. Beispiele für Körper sind
die Mengen Q der rationalen, R der reellen, C der komplexen Zahlen und die
Restklassen Z / pZ modulo einer Primzahl p.
Ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal endlicher und unendlicher Körper ist die so
genannte Charakteristik eines Körpers:
Definition 4.1:
Ein Körper besitzt die Charakteristik Null, wenn die wiederholte Addition der
multiplikativen Einheit 1 niemals die additive Einheit 0 ergibt. Andernfalls existiert
eine Primzahl p so, daß die p-fache Addition der 1 gleich 0 ist; in diesem Fall besitzt
der Körper die Charakteristik p. Ein Körper der Charakteristik Null enthält stets eine
Kopie der Menge der rationalen Zahlen; ein solcher der Charakteristik p stets eine
Kopie des Körpers Z / pZ .
Bemerkung:
Da ein Körper keine Nullteiler besitzen kann (also das Produkt zweier
Körperelemente nur dann gleich Null sein kann, wenn mindestens einer der Faktoren
gleich Null ist), kann seine Charakteristik keine Nicht-Primzahl sein (Beweis als
Aufgabe!).
Definition 4.2:
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Ein Vektorraum und dessen Basis und Dimension kann über jedem Körper K analog
wie über R definiert werden. Ein Erweiterungskörper über K (also ein größerer
Körper, der K enthält) ist automatisch ein Vektorraum über K.2 Die Erweiterung heißt
endlich, falls dieser Vektorraum endliche Dimension besitzt. Die Dimension heißt der
Grad der Erweiterung. Eine Erweiterung kann durch Adjunktion eines Elements
geschehen: Ein Körper, der aus allen rationalen Ausdrücken besteht, die aus dem
Element  und Elementen aus K gebildet sind, wird als K() geschrieben.
Beispiel:
Der Körper Q kann durch Adjunktion einer Wurzel des Polynoms X 2 – 2 = 0 um das
Element 2 zu Q( 2 ) erweitert werden. Q( 2 ) enthält dann alle rationalen Zahlen
und alle Zahlen a + b 2 mit beliebigen rationalen Zahlen a und b.
Über einem beliebigen Körper können Polynome analog wie im Reellen definiert
werden; die Menge aller Polynome über dem Körper K mit der Unbestimmten X wird
als K[X] (oder auch P(K) – s.o.) geschrieben. K[X] bildet einen Ring, und mit
Ausnahme der Definition der Ableitung eines Polynoms (die im Reellen darauf
beruht, daß R ein metrischer Raum ist) können alle Definitionen über Polynome
(Grad, Nullstellen, Reduzibilität bzw. Irreduzibilität etc.) sinngemäß aus R
übernommen werden. Die Ableitung eines Polynoms aus K[X] wird für jeden
Summanden des Polynoms algebraisch über die nX n-1 – Regel definiert.
Ein Polynom f vom Grad d über K kann, muß jedoch nicht eine Nullstelle in K
besitzen (Beispiel: f = X 2 – 2 über Q) . Falls eine Nullstelle r existiert, kann f durch
den Linearfaktor (X – r) dividiert werden. Mehrfache Nullstellen werden wie im
Reellen definiert; wenn f eine mehrfache Nullstelle r besitzt, dann ist r der ggT von f
und dessen Ableitung f’, und f ist durch (X – r) m teilbar, wenn m die Multiplizität der
Nullstelle r ist.
Für jedes Polynom f (X)  K[X] vom Grad d existiert eine Erweiterung von K, die alle
d Wurzeln von f enthält:
Definition und Satz 4.3:
2
Die umgekehrte Fragestellung, ob, und falls ja, wie, ein Vektorraum über einem Körper zu einem
Erweiterungskörper gemacht werden kann, ist z.B. in der Codierungstheorie von Interesse, und wird
später noch separat erörtert.
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Für jedes Polynom f über einem Körper K existiert eine kleinste Erweiterung Kf von K
so, dass f in Kf in ein Produkt von linearen Faktoren aller Nullstellen von f zerfällt. Kf
heißt der Zerfällungskörper von f .
Beispiel:
Q ( 2 ) ist der Zerfällungskörper von f = X
2
– 2 . Q ( 2 ) enthält alle Zahlen a +
b 2 mit a, b  Q .
Sei jetzt Kq ein Körper mit q Elementen. Da Kq nicht die Charakteristik Null haben
kann, sei die Charakteristik von Kq gleich einer Primzahl p. Kq enthält daher den
Restklassenkörper modulo p und ist mithin ein (notwendigerweise endlich-dimensionaler) Vektorraum über Z / pZ . Sei d seine Dimension; dann muß er pd Elemente
enthalten. Folglich ist q eine Potenz der Primzahl p. Zu zeigen ist im folgenden, dass
für jede Primzahlpotenz q = p f ein bis auf Isomorphie eindeutiger Körper mit q
Elementen existiert. Zuvor soll jedoch die multiplikative Gruppe Kq* eines endlichen
Körpers Kq genauer untersucht werden. Kq* ist abelsch und enthält alle q-1 Elemente
von Kq mit Ausnahme der Null. Wir notieren zunächst eine bereits früher bewiesene
elementare Eigenschaft beliebiger endlicher Gruppen.
Satz 4.4:
Sei G eine (multiplikativ geschriebene) endliche Gruppe der Ordnung n (geschrieben
ord(G) = n) 3 und H eine Untergruppe von G. Dann ist ord(H) ein Teiler von n (vgl.
dazu das Arbeitsblatt 1 a).
Beweis:
Sei g  G. Die Menge gH : = { g h | h  H } heißt eine linke Nebenklasse von G
modulo H. Analog wird eine rechte Nebenklasse definiert. Für abelsche Gruppen
fallen die Begriffe zusammen. Die Menge der Nebenklassen partitioniert die Gruppe
G (Beweis als Aufgabe). Da jede Nebenklasse r: = ord(H) Elemente enthält, muß für
ihre Anzahl s gelten r s = n. r muß mithin Teiler von n sein.
Sei nun a  Kq* , und d die kleinste Potenz von a, die 1 ergibt. d wird als Ordnung
von a bezeichnet: d = ord(a). Falls d = q – 1 ist, heißt a ein erzeugendes Element
oder ein primitives Element von Kq*.
3
Die Ordnung von G ist (vgl. Arbeitsblatt 1a) die Anzahl der Elemente von G.
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Der nächste Satz ist grundlegend für endliche Körper. Er sagt aus, dass die von Null
verschiedenen Elemente jedes endlichen Körpers eine zyklische Gruppe bilden, d.h.
sämtlich Potenzen eines einzelnen Elements sind. Gleichzeitig liefert er die Anzahl
und Ordnungen derjenigen Körperelemente, die keine primitiven Elemente sind, und
deren Ordnung sich als Teiler der maximalen Ordnung erweisen.
Satz 4.5:
Jeder endliche Körper besitzt ein erzeugendes Element. Ist g ein erzeugendes
Element von Kq*, dann ist auch g j genau dann ein erzeugendes Element, wenn der
ggT(j,q-1) = 1 ist. Insgesamt existieren (q-1) verschiedene Erzeugende von Kq*.
Beweis:
Sei a  Kq* und ord (a) = d. Für d gilt d |q –1, und die Elemente a, a 2, ... a d = 1 sind
verschieden voneinander.
Wir zeigen zunächst, daß die Elemente der Ordnung d genau die (d) Werte a j sind,
für die ggT(j,d) = 1 ist:
Da die d unterschiedlichen Potenzen von a sämtlich die Gleichung x d = 1 erfüllen,
sind dies alle Wurzeln der Gleichung. Jedes Element der Ordnung d muß sich unter
den Potenzen von a befinden, jedoch haben nicht alle Potenzen von a die Ordnung d :
Falls für ein j ggT(j,d) = d' > 1 ist, dann hat a j eine kleinere Ordnung als d ( da d /
d' und j / d' ganze Zahlen sind, gilt (a j) (d/d') = (a d) (j/d') = 1). Umgekehrt hat a j die
Ordnung d, wenn ggT(j,d) = 1 ist: Wenn j relativ prim zu d ist, und a j hätte eine
kleinere Ordnung d'', dann ergäbe a d'' entweder zur Potenz j oder zur Potenz d
erhoben, die 1, und damit wäre auch a d'' = 1. Dies ist jedoch ein Widerspruch dazu,
daß a die Ordnung d besitzt und somit a d''  1 sein muß.
Das bedeutet, daß, falls es irgend ein Element a der Ordnung d gibt, genau (d)
Elemente der Ordnung d existieren. Für jedes d, das q - 1 teilt, gibt es daher nur die
Alternative: Entweder hat kein Element die Ordnung d , oder aber es gibt (d)
Elemente der Ordnung d. Da nun die Anzahl der Elemente in der multiplikativen
Gruppe von Kq* gleich q - 1 ist, die Relation
 ( d )  q  1
d |q 1
gilt, und jedes Element eine Ordnung d besitzt, muß es für jedes erlaubte d genau
(d) Elemente dieser Ordnung geben. Speziell existieren also (q - 1) primitive
Wurzeln, d.h. Elemente der Ordnung q - 1.
Korollar 4.6:
Für jede Primzahl p existiert eine ganze Zahl g so, dass die Potenzen von g alle
Residuen modulo p durchlaufen.
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Korollar 4.7:
Die Ordnung d eines jeden Körperelements ist ein Teiler der maximalen Ordnung,
und es existieren (d) Elemente der Ordnung d.
Beispiel:
Sei p eine Primzahl und 1 < a < p eine zufällig gewählte Zahl; dann ist mithin die
Wahrscheinlichkeit dafür, daß a eine Erzeugende modulo p ist, gleich
(p-1) / (p-1) .
Für p = 23, 31, 97 und 127 ergeben sich z.B. die Werte 0.45, 0.27, 0.33 und 0.29 , für
die Primzahl p = 2354674589456801 folgt als Wert die Zahl 0.37. Diese Werte
hängen also stark von der Zerlegung der Zahl p - 1 ab. Ist speziell p - 1 das Doppelte
einer Primzahl q, dann ist (p-1) = (2)  (q) = q - 1 und damit die gesuchte
Wahrscheinlichkeit
P( p ) 
( p  3) 1
1
.
 
2( p  1) 2 p  1
Unter der (bislang unbewiesenen) Annahme, daß es unendlich viele Paare (p,q) von
Primzahlen mit p = 2  q + 1 gibt, geht mit wachsendem p die Wahrscheinlichkeit,
daß eine zufällig aus dem Intervall (1, p) gewählte Zahl eine Erzeugende der
Restklasse modulo p ist, gegen ½ .
Läßt man auch diejenigen Elemente zur Wahl zu, deren Ordnung halb so groß ist wie
p - 1, dann wächst die entsprechende kombinierte Wahrscheinlichkeit natürlich noch
- z.B. im letzten Fall um weitere 0.18 zu 0.55.
Diese Überlegungen spielen beispielsweise im Protokoll zum Schlüsselaustausch
nach DIFFIE und HELLMAN in der Kryptologie eine Rolle.
Die Untersuchung zyklischer Untergruppen ist nicht nur in der multiplikativen
Gruppe eines endlichen Körpers interessant; sie kann beispielsweise auch auf
Restklassen ausgedehnt werden, die nicht zu einer Primzahl gehören:
Seien etwa a und n teilerfremde ganze Zahlen. Dann heißt der kleinste nichtnegative Exponent r, für den gilt a r  1 mod n die Ordnung von a modulo n,
geschrieben als ordn(a) oder ord(a,n) .
Aus der Definition und dem Satz von EULER ergeben sich die folgenden
Eigenschaften für r = ord n (a):
(1)
Ist a m  1 mod n für ein natürliches m, dann gilt r | m .
(2)
r | (n) .
(3)
Für ganze Zahlen s und t gilt a s  a t mod n genau dann, wenn s  t mod r.
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(4)
Keine zwei der Zahlen a, a 2, a 3, . . . a r sind kongruent modulo r .
(5)
Ist m eine natürliche Zahl, dann ist ord n (a m ) = r / ggT(r,m) .
(6)
ord n (a m ) = r genau dann, wenn ggT(r,m) = 1 .
Die Ordnung eines Elements a modulo n kann also (n) oder ein Teiler davon sein.
Als Beispiel werden in der folgenden Tabelle die Ordnungen aller RestklassenElemente > 1 für n = 23 angegeben:
a
ord 23(a)
a
Ord 23(a)
a
ord 23(a)
2
11
9
11
16
11
3
11
10
22
17
22
4
11
11
22
18
11
5
22
12
11
19
22
6
11
13
11
20
22
7
22
14
22
21
22
8
11
15
22
22
2
Hieran schließt sich die
Definition 4.8:
Seien n eine natürliche und a eine ganze Zahl, und sei ggT(a,n) = 1. Ist dann ord n (a)
= (n) , dann heißt a eine primitive Wurzel modulo n.
Primitive Wurzeln existieren nach Satz 4.5 in allen endlichen Körpern. Im Beispiel
oben gibt es mit n = 23 – 1 = 22, wie man sieht, (22) = 10 primitive Wurzeln,
nämlich die Elemente 5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20 und 21. Für die Ordnungen der
übrigen Elemente folgt hier aus Satz 4.5, dass neben der 1 ( = (1)) noch (2) = 1
Element der Ordnung 2 und (11) = 10 Elemente (2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16 und 18)
der Ordnung 11 existieren.
Wir zeigen nun die Existenz und Eindeutigkeit endlicher Körper mit PrimzahlpotenzAnzahl q = p f von Elementen, indem wir beweisen, dass ein solcher Körper der
Zerfällungskörper des Polynoms X q – X ist:
Satz 4.9:
Sei Kq ein Körper mit q = p f Elementen. Dann erfüllt jedes Element die Gleichung X
q
– X = 0, und Kq enthält genau alle Wurzeln dieser Gleichung. Umgekehrt ist für jede
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Primzahlpotenz q = p f der Zerfällungskörper zu X q – X über Kp ein Körper mit q
Elementen.
Beweis:
a)
Sei Kq ein endlicher Körper. Da die Ordnung eines jeden Elements von Kq ein Teiler
von q – 1 ist, erfüllt jedes von Null verschiedene Element des Körpers die Gleichung
X q-1 – 1 = 0, mithin auch X q – X = 0. Diese Gleichung erfüllt auch das Element 0. Da
die Gleichung nicht mehr als q Wurzeln haben kann, sind dies genau die Elemente
von Kq . Kq ist also der Zerfällungskörper zu X q – X von Kp .
b)
Sei umgekehrt q = p f eine Primzahlpotenz, und sei K der Zerfällungskörper von Kp zu
f(X) = X q – X . Die Ableitung von X q – X ist qX q-1 – 1 = − 1 (da q ein Vielfaches
von p und damit gleich Null in Kp ist). f hat mithin keine mehrfachen Nullstellen. K
besitzt also mindestens die q Nullstellen von f . Die Menge dieser q Nullstellen ist
jedoch bereits ein Körper, da die Summe und das Produkt zweier Nullstellen von f
wieder eine Nullstelle von f ist (Beweis als Aufgabe !). Es folgt, dass K ein Körper
mit q Elementen ist, mithin K = Kq .
Um einen Erweiterungskörper Kq mit q = pr explizit zu konstruieren, benutzen wir das
Konzept eines so genannten primitiven Polynoms (das irreduzibel und dessen
Wurzeln primitive Elemente von Kq sind) :
Definition 4.10:
Ein primitives Polynom vom Grad r über Kp ist ein irreduzibles Polynom vom Grad r,
das Teiler von X p
r
1
 1, nicht jedoch von X e  1 mit e < pr - 1 ist.
Die Konstruktion geschieht zweckmäßig durch Adjunktion eines primitiven Elements
 zum Grundkörper Kp. Dieses Element und seine Potenzen erzeugen nach Satz 4.5
den Erweiterungskörper. Man findet ein solches primitives Element  als Wurzel
eines primitiven Polynoms f vom Grad r über Kp (vgl. dazu auch das Tutorial 3). Die
Polynome in  im Körper Kq müssen dabei sämtlich modulo f reduziert werden. Zur
Automatisierung dieses Vorgangs können Schieberegister verwendet werden. Die
Konstruktion eines Erweiterungskörpers wird mithin im wesentlichen auf die
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Bestimmung eines geeigneten primitiven Polynoms zurückgeführt. Die Anzahl der
primitiven Polynome wächst schnell mit dem Grad r : Da jedes dieser Polynome r
(einfache) Nullstellen besitzt, und in Kq (pr – 1) primitive Elemente existieren, gibt
es also (pr – 1) / r primitive Polynome vom Grad r über Kp (für p = 2 und r = 16
beispielsweise bereits 2048 !).