Geometrie und Harmonie

Mathematik für Architekten
Winter 2004/05
Geometrie und Harmonie
Lösungen zur Uebung 3
Aufgabe 1
Die Anzahl der Kaninchenpaare im ersten Monat sei x, diejenige im dritten Monat y.
Nach Voraussetzung gilt dann x  4  y und 4  y  11 . Somit ist y  7 und x  3 .
Im ersten Monat waren es also 3 Paare. Für die Berechnung der Anzahl Paare nach
einem Jahr gehen wir schrittweise vor. Wir erhalten:
Monat
Anzahl P.
1
3
2
4
3
7
4
11
5
18
6
29
7
47
8
76
9
10
123 199
11
322
12
521
Also hat es nach 12 Monaten 521 Paare.
Aufgabe 2
a)
Man ergänze den Kreisbogen von B nach T zum vollen Kreis k mit Zentrum C und
Radius r  BC . Die Verlängerung der Hypotenuse ist ein Durchmesser von k; sie
schneidet den Kreis in T und einem weiteren Punkt D. Wir führen die Bezeichnungen
M  AS  AT und m  BS ein. Dann gilt r  BC  12 ( M  m) .
Nun berührt die Strecke AB den Kreis k in B. Nach dem Tangentensatz gilt somit
AT  AD  AB
2
oder – anders ausgedrückt:
M  ( M  2r)  M  (2 M  m)  ( M  m)2
Multiplizieren wir die letzte Gleichung aus, so ergibt sich
2 M 2  Mm  M 2  2 Mm  m2
Subtrahieren wir auf beiden Seiten M 2  Mm , so erhalten wir
M 2  Mm  m2  ( M  m)  m
oder –als Proportion geschrieben:
M : m  ( M  m) : M
Also teilt der Punkt S die Strecke AB tatsächlich im Goldenen Schnitt.
b) Wir bezeichnen die Quadratseite mit x und die Länge der Strecke BS mit y. Nach dem
Satz von Pythagoras (für das hervorgehobene rechtwinklige Dreieck) gilt für den Radius
r des Halbkreises:
Z:W, 7.6.2017 / Hma, Web
–1–
747100261
Mathematik für Architekten
Winter 2004/05
2
r 
 x
2
 2   x 
5
4
x2 
x
5.
2
Für y erhalten wir
y  r
x
x
x
x

5 
2
2
2
2
 5  1.
Somit ergibt sich
x

y
x
2
x
 5  1

2
5 1

5 1

2
Also teilt der Punkt B die Strecke AS tatsächlich im goldenen Schnitt.
Aufgabe 3
Bei einem spitzwinkligen goldenen Dreieck verhält sich die
Basis zum Schenkel wie Minor zu Major des goldenen
Schnittes; beim stumpfwinkligen ist es umgekehrt: Basis zu
Schenkel gleich Major zu Minor.
C
w
Nach dem Satz von der Winkelhalbierenden teilt w die
gegenüber liegende Seite im Verhältnis der dem Winkel 
T
anliegenden Seiten. Folglich teilt T die Seite BC im Verhältnis
des goldenen Schnittes, mit BT als Minor und CT als Major.

Nun ist das Dreieck BTA ähnlich zum Dreieck ABC, denn
nach Definition verhält sich der Minor zum Major gleich wie
B
A
der Major zur ganzen Strecke, und der Winkel des kleinen
Dreiecks bei B stimmt mit  überein. Somit ist auch das Dreieck BTA ein spitzwinkliges
goldenes Dreieck. Ferner erkennen wir, dass der Winkel eines solchen Dreiecks an der Spitze
gerade halb so gross ist wie der Basiswinkel. Die Winkelsumme beträgt somit

5
   
 180 ,
2
2
also ist   72 , und der Winkel an der Spitze misst 36°.
Da das goldene Dreieck BTA insbesondere gleichschenklig ist, gilt AT  AB , und da T die
Seite BC im goldenen Schnitt teilt, ist auch CT  AB . Folglich ist das Dreieck CAT
gleichschenklig. Es ist sogar ein stumpfwinkliges goldenes Dreieck, denn Basis und
Schenkellänge verhalten sich im goldenen Schnitt. Wir schliessen, dass der Basiswinkel eines
stumpfwinkligen goldenen Dreiecks 36° misst, und berechnen den zugehörigen Winkel an der
Spitze zu 180  72  108 .
Z:W, 7.6.2017 / Hma, Web
–2–
747100261
Mathematik für Architekten
Winter 2004/05
Aufgabe 4
a)
Die angegebenen Gleichungen können wie folgt geschrieben werden:
f2  f4  f32  (1)3 ,
f3  f5  f42  (1)4 ,
f4  f6  f52  (1)5 , usw.
Die allgemeine Formel von Simson lautet fn1  fn1  fn2  (1)n für alle n mit n  2 ,
oder, was auf dasselbe herauskommt: fn  fn2  fn12  (1)n1 für alle n mit n  1 .
b) Das Quadrat ist um ein Häuschen grösser als das Rechteck:
8 21  f6  f8  f7 2  (1)7  f7 2  1  132  1 .
A
C
B
B
A
D
D
C
Bei den Steigungen der schrägen Strecken im Rechteck lässt sich nachvollziehen, dass
sich die aus dem Quadrat gewonnen Flächenteile überschneiden müssen. Die Steigung
der Schrägen von A sollte 3 5 , diejenige von C 5 8 betragen. Nun ist aber 5 8 etwas
grösser als 3 5 ; somit überschneiden sich die beiden Flächen tatsächlich – allerdings um
so wenig, dass das bei der gegebenen Strichdicke nicht zu erkennen ist. Die Formel von
Simson besagt, dass dasselbe Paradox auch bei jedem Quadrat mit einer Seitenlänge f n1
auftritt, wobei die Quadratseite in zwei Abschnitte mit Längen f n1 und f n geteilt wird.
Die Zerlegung der Quadratfläche und Zusammenfügung zu einem Rechteck gemäss Figur
ist übrigens genau dann exakt, wenn die Quadratseite im goldenen Schnitt geteilt wird!
C
Aufgabe 5
a)
Für das reguläre Fünfeck betrachte man
zunächst sein Diagonalengebilde, das sog.
Pentagramm (s. Figur). In der Übungsstunde wurde gezeigt, dass sich im regulären
Fünfeck die Diagonale zur Seite wie der
Major zum Minor im goldenen Schnitt
verhalten. Also ist das Dreieck DEC ein
spitzwinkliges goldenes Dreieck und kann
somit – gemäss Aufgabe 2a) – mit Zirkel
und Lineal konstruiert werden.
Z:W, 7.6.2017 / Hma, Web
–3–
B
A
F
D
E
747100261
Mathematik für Architekten
Winter 2004/05
Jedes reguläre n-Eck setzt sich aus n gleichschenkligen Dreiecken zusammen, wobei der
Winkel  eines solchen Dreiecks an der Spitze 360 n misst. Bei b) und c) geht es also
darum, solche Dreiecke zu konstruieren für die Winkel   36 bzw. 24 . Für das reguläre
Zehneck benötigen wir somit nichts anderes als das spitzwinklige goldene Dreieck, das wir
wieder gemäss Aufgabe 2a) mit Zirkel und Lineal konstruieren können. Der beim regulären
Fünfzehneck auftretende Winkel   24 kann als Differenz von 60° und 36° aufgefasst und
somit ebenfalls konstruiert werden.
Aufgabe 6
Sämtliche Linearisierungen basieren auf der Gleichung  2   1 .
1
Daraus folgen z.B.    1 und  3   2      1    2  1 .

3
2
a)       1  2  1    1    1  2  1


b)
c)
 


      2  1   2    2   1   3  2
4
3
2


2
2 1 2 1
1

 1 2  1   1  1  2  2  1  1   1 2  1  3  
2
 1


Z:W, 7.6.2017 / Hma, Web
–4–
747100261