02.12.2010 - bei heidingers.de

Protokoll in Informatik 2.12.2010
Thema: Turing-These & Abzählbarkeit
Protokollantin: Tina Urbanek
MSS 13
Turingthese
AlgorithmusTuringmaschine *Algorithmus 100% definiert durch Turingmaschine*
Ergebnis:
Der bisherige Algorithmusbegriff (allgemein, ausführbar, eindeutig, endlich) wird präzisiert
durch die Turingmaschine
*allgemein: verschiedene Eingaben sind möglich; endlich: endliche Anzahl von Befehlen*
Jeder Algorithmus ist auf einer Turingmaschine darstellbar. Wenn man keine Turingmaschine
findet, ist es kein Algorithmus.
*positiv: gibt Turingmaschine dazu; negativ: es gibt keine Turingmaschine dazu*
b) Abzählbarkeit
Die Menge aller Turingmaschinen ist abzählbar (endlich), weil jede einzelne endlich ist.
- es gibt endlich viele Befehle n
- jeder Befehl besteht aus 5 Zeichen 5 * n
*reelle Zahlen wichtigste nicht abzählbare Menge*
c) Überabzählbarkeit
*überabzählbar: keine Funktion zu finden, die die Menge aller Funktionen (f:
auf zuordnet*
Satz: Die Menge aller Funktionen
f:  ist überabzählbar
Df
Wf
d.h. sie lassen sich nummerieren
Beweis:
Behauptung: A=>B
Beweis: B=>A
Indirekt: Annahme: abzählbar
Folgerung: Gegenbeispiel (Widerspruch)
Annahme: f:  sind abzählbar
 f lassen sich durchnummerieren
 Nummerierungstabelle

) wieder
1
x f(1)
f1 25
f2 7
f3 5
.
.
.
.
.
.
2
f(2)
3 . . . .
f(3) . . . .
37
42 .
.
.
.
3
1 .
.
.
.
4
2 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
zu jeder der verwendeten Funktion wird zu jedem x 
der Funktionswert f(x) notiert
zufällige Beispielzahlen
Die Menge f:  ist abzählbar, wenn alle in diesem Schema vorkommen!
Konstruiere ein Gegenbeispiel, d.h. eine weitere Funktion, die nicht darin vorkommt
f*(n) ≠ f n(n)
d.h. f* unterscheidet sich mindestens im Funktionswert f n(n) von f n
(Diagonalelemente)
 f*:  gehört nicht zum Schema
 f:  ist nicht abzählbar
* f* unterscheidet sich von alles f die schon vorkamen*
mehr dazu: hier
d) Konsequenz
Es gibt Funktionen f:  , die nicht auf einer Turingmaschine darstellbar sind.
Solche Funktionen heißen nicht berechenbar, d.h. sind nicht mit einem Algorithmus
berechenbar.