Blatt 10 - LS1 - Logik in der Informatik

Übungen zur Vorlesung Grundbegriffe der Theoretischen Informatik
Thomas Schwentick
Gaetano Geck, Cornelia Tadros,
Nils Vortmeier
SoSe 2016
Übungsblatt 10
21.6.2016
Abgabe bis spätestens am Dienstag, 28.6.2016,
• (vor der Vorlesung) im HG II, HS 3, oder
• in den Briefkästen im Durchgangsflur, der die 1. Etage der OH 12 mit
dem Erdgeschoss der OH 14 verbindet.
Beachten Sie die Schließzeiten der Gebäude!
Ansonsten gelten die Hinweise von Blatt 1.
Aufgabe 10.1 [Entscheidbarkeit, Semi-Entscheidbarkeit, Unentscheidbarkeit] 7 Punkte
Klassifizieren Sie jedes der drei folgenden Probleme möglichst genau. Geben Sie für jedes Problem
an, ob es entscheidbar ist; ob es unentscheidbar, aber semi-entscheidbar ist; oder ob es nicht semientscheidbar ist. Beweisen Sie Ihre Behauptung.
Problem:
Gegeben:
Frage:
A
Turingmaschine M , natürliche Zahlen k, n
Erzeugt M bei der Eingabe 0k die Ausgabe 101 nach höchstens n Schritten?
Problem:
Gegeben:
Frage:
B
Turingmaschine M , natürliche Zahl k
Erzeugt M bei der Eingabe 0k die Ausgabe 101?
Problem:
Gegeben:
Frage:
C
Turingmaschine M
Erzeugt M bei keiner Eingabe die Ausgabe 101?
Aufgabe 10.2 [Unentscheidbare Probleme für Kellerautomaten]
Zeigen Sie, dass die folgenden Probleme unentscheidbar sind:
a)
Problem:
Gegeben:
Frage:
6 Punkte
KomplementKA
Zwei Kellerautomaten A1 und A2
Ist LpA2 q das Komplement von LpA1 )?
(2,5 Punkte)
b)
Problem:
Gegeben:
Frage:
SchnittDKA
Zwei deterministische Kellerautomaten A1 , A2
Ist LpA1 q X LpA2 q ‰ H?
Hinweis: Modifizieren Sie die in Satz 14.3 verwendete Reduktion.
Übungsblatt 10
Übungen zur GTI
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Überlegen Sie sich insbesondere, wie eine Folge von Teilwörtern ui1 , . . . , uin zu einer
Indexfolge i1 , . . . , in P t1, . . . , ku so als Gesamtwort kodiert werden kann, dass ein deterministischer Kellerautomat entscheiden kann, ob das Wort ui1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ uin wirklich der
Konkatenation der vorgegebenen Teilwörter u1 , . . . , uk entspricht.
(3,5 Punkte)
Aufgabe 10.3 [Rekursive Aufzählbarkeit]
Skizzieren Sie einen Algorithmus, der PCP rekursiv aufzählt.
2 Punkte
Zusatzaufgabe [Arithmetische Hierarchie]
2 Punkte
Ordnen Sie die folgenden Probleme möglichst genau in die arithmetische Hierarchie ein und begründen Sie Ihre Einordnung.
Problem:
Gegeben:
Frage:
Lakz
unend
Turingmaschine M
Akzeptiert M unendliche viele Wörter?
Problem:
Gegeben:
Frage:
Lakz
end
Turingmaschine M
Akzeptiert M nur endlich viele Wörter nicht?