Eigenschaften der ganzen Zahlen

Prof. Dr. Gerhard Berendt
Mathematische Grundlagen der Codierung / Endliche Strukturen
SS 2005
Übungsblatt 0
Abgabe bitte bis spätestens 27.04.05 entweder in der Vorlesung
oder per e-mail: [email protected]
Vorausgesetzt werden aus der Mathematik für Informatiker folgende Grundkenntnisse (bzw.
Definitionen)1:

Kenntnis der Mengen
−
der natürlichen Zahlen N ,
−
der ganzen Zahlen Z ,
−
der rationalen Zahlen Q ,
−
der reellen Zahlen R und
−
der komplexen Zahlen C

mit ihren jeweiligen elementaren algebraischen Strukturen
−
Gruppe,
−
Ring,
−
Integritätsbereich,
−
Körper,
−
Vektorraum, lineare Abbildung

Abbildungen und Relationen (Äquivalenzrelationen, Ordnungsrelationen).
Aufgabe 0.1: a) Konstruieren Sie einen Körper mit 4 Elementen. Zeigen Sie, daß der Körper mit 4 Elementen automatisch ein Vektorraum der Dimension 2 über dem
BOOLE’schen Körper K2 = {0,1} (mit den kanonischen Verknüpfungen) ist.
b) Die Menge K82 := { (a,b,c) | a,b,c  K2 } kann auf kanonische Art zu
einem Vektorraum über K2 gemacht werden. Bestimmen Sie, wie viele
injektive lineare Abbildungen K82  K82 existieren.
Aufgabe 0.2: a) Für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gilt
n
i 
i 1
n(n  1)
.
2
Bestimmen Sie den Aufwand für die Berechnung beider Seiten dieser Formel.
b) Eine ähnliche Formel wie unter a) ist
n
 i2 
i 1
n(n  1)(2n  1)
.
6
Bestimmen Sie, um welchen Faktor sich die Berechnung dieser Summe
größenordnungsmäßig für n = 1000 verringert, wenn sie nach der rechten statt
der linken Seite der Formel erfolgt.
1
Vgl. dazu z.B. Berendt, G.: Mathematik für Informatiker. BI-Wiss.-Verlag, Mannheim, Leipzig, Wien
Zürich, 1994