LS Klausur1 Loesg

Dr. Ernst Kausen
Liebigschule
Gießen
Name:
1.
2.
4.
Vorname:
__
Verwandeln Sie 1,43287 in einen Bruch.
141855 / 99000
Welche der folgenden Zahlen sind rational, welche irrational? (jeweils begründen!)
_
__
__
a = -7, b = 3/5, c = √3, d = - 1,2345, x = 2π, y = 0,707007000700007......, z = √49
a
b
c
d
x
y
z
3.
Mathematik
2007/08
11 A
KLAUSUR 1
mit Lösungen
rational, da ganze Zahl
rational, da Bruch
irrational, da Quadratwurzel aus einer Zahl, die nicht Quadrat einer rat. Zahl ist
rational, da periodische Dezimalzahl
irrational, da π irrational ist (2π muss dann auch irrational sein)
irrational, da nicht-periodische und nicht-abbrechende Dezimalzahl
rational, da ganze Zahl: √49 = 7
Ein Rechteck hat die Seitenlängen 6 und 8 m. Wie groß ist die Fläche und der Umfang
des Kreises, der durch die vier Ecken des Rechtecks geht? (Tipp: Pythagoras!)
Für die Diagonale d des Rechtecks gilt nach Pythagoras d2 = 62+82 = 36+64 = 100,
also d = 10, der Radius des Umkreises ist r = d/2 = 5.
Kreisfläche = πr2 = 25 π [m2], Kreisumfang = 2πr = 10 π [m].
_____
f(x) = x3 - 2x2 + x + 3, g(x) = √ x3 + 9 . Berechnen Sie f(1)∙g(3) + g(0)∙f(-1) !
f(1)∙g(3) + g(0)∙f(-1) = 3∙6 + 3∙(-1) = 18 - 3 = 15
5.
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich folgender Funktionen:
x2
f(x) = ───
2x-1
x-1
; g(x) = ──────
x2 -2x + 3
_____
; h(x) = √ 2x - 1 ; k(x) = 2x
Df : x ≠1/2, da Division durch 0 nicht möglich.
Dg = R, da der Nenner nicht 0 wird: x1/2 = 1 ± √-2, also hat der Nenner keine Nullstelle.
Dh : x ≥ 1/2, da der Radikand der Wurzel 2x-1≥0 sein muss → 2x≥1, x≥1/2.
Dk = R, da Exponentialfunktionen für alle reellen Zahlen definiert sind.
6.
Wie lautet die Gleichung der Geraden mit der Steigung 1/2 durch den Punkt (-2|-5) ?
y = 1/2 x + b, also y(-2) = -1+b = -5 → b=-4; y = 1/2 x - 4
7.
Drei Geraden schneiden sich in den Punkten (-1|2) , (3|-4) und (1|3).
Wie lauten ihre Gleichungen?
Die drei (nicht-parallelen) Geraden gehen jeweils durch zwei der drei Punkte:
(-1|2) und (3|-4): y = -3/2 x + 1/2
(-1|2) und (1|3): y = 1/2 x + 5/2
(3|-4) und (1|3): y = -7/2 x + 13/2
8.
f(x) = -0,5x + 3 ; g(x) = (x+1)2 - 2
(a) Skizzieren Sie diese Funktionen.
(b) Wo schneiden die Funktionen die y-Achse ?
f(0) = 3, g(0) = -1 sind die Schnittpunkte auf der y-Achse.
(c) Wo schneiden sie die x-Achse?
0 = f(x) = -0,5x + 3 → x = 3/0,5 = 6 ist der Schnittpunkt von f(x) mit der x-Achse
0 = g(x) = (x+1)2 - 2 → (x+1)2 = 2, also x1/2 = -1±√2 sind die Schnittpunkte
von g(x) mit der x-Achse.
9.
f(x) = x2 + 4x -2. Bestimmen Sie (a) die Scheitelform, (b) die Nullstellen von f !
Scheitelform f(x) = (x+2)2 -6; Nullstellen: (x+2)2 = 6 → x1/2 = -2 ± √6
10. f(x) = x2 + 2x + a. Für welchen Wert von a hat f (x) genau eine Nullstelle?
___
0 = -1 ± √1-a ; Δ = 1-a wird für a=1 Null, dann hat f(x) genau eine Nullstelle.
11. In welchen Punkten schneiden sich f(x) = 2x2 - 4x + 3 und g(x) = 2x - 1 ?
2x2 - 4x + 3 = 2x - 1 → 2x2 - 6x + 4 = 0 → x2 - 3x + 2 = 0 →
x1/2 = 3/2 ± √(9/4 - 2) = 3/2 ± √ 1/4 = 3/2 ± 1/2 = 1 oder 2.
Die Schnittpunkte sind P = (1|1) und Q = (2|3).
2
12. Lösen Sie die Gleichungen (a) ── - x = 1
x-1
_____
(b) √x2 + 1 + x = 3
(a) 2 = (1+x) (x-1) = x2-1 → x2 = 3, also x1/2 = ±√3 .
____
(b) √x2 + 1 = 3-x → x2 + 1 = (3-x)2 = 9 -6x +x2 → -8 = -6x → x = 8/6 = 4/3 .
13. f(n) sei die Funktion, die jeder ganzen Zahl n die Anzahl ihrer Teiler zuordnet.
[Man beachte, dass 1 und n immer Teiler von n sind.]
(a) Welchen Wert nimmt f(n) an, wenn n eine Primzahl ist?
(b) Erstellen Sie eine Wertetabelle für n = 10, 11, 12, .... , 18.
f(n) = 2
n | 10 11 12 13 14 15 16 17 18
────────────────────────────
f(n) | 4 2 6
2 4 4 5 2 6
Aufgabe
Punkte
erreicht
1
2
2
3
3
3
4
2
5
3
Hinweis: Klausur ohne Taschenrechner!
6
1
7
3
8
4
9 10 11 12 13
2
2
3
4
3

35