Übungen zur Mathematik für Physiker III

Übungen zur Mathematik für Physiker III
Wintersemester 2014/15
Priv.-Doz. Dr. M. Gnewuch
M. Hauptmann
Blatt 1
Aufgabe 1 (1 + 1 + 2 = 4 Punkte)
Berechnen Sie die folgenden zwei eigentlichen und das uneigentliche RiemannIntegral von Funktionen einer Veränderlichen:
Rπ
1. −π cos2 (x) dx,
2.
R1
3.
R∞
0
0
√ x
1+x2
x
eαx
dx,
dx für α > 0.
Aufgabe 2 (1 + 1 + 1 + 1 = 4 Punkte)
Verifizieren oder falsifizieren Sie die folgenden Aussagen:
1. Die Vereinigung beliebig vieler offener Teilmengen des
eine offene Menge.
Rn ist wieder
2. Die Vereinigung beliebig vieler abgeschlossener Teilmengen des
wieder eine abgeschlossene Menge.
Rn ist
Rn ist bereits kompakt.
4. Jede beschränkte Menge des Rn ist bereits kompakt.
3. Jede endliche Menge des
Aufgabe 3 (1 + 1 + 2 = 4 Punkte)
Seien Q := [0, 1]2 und f : Q → , (x, y) 7→ 4xy.
R
1. Berechnen Sie zu vorgegebener Zerlegung α von Q die Untersumme
S(f ; α) und die Obersumme S(f ; α).
2. Zeigen Sie, dass S(f ; α)−S(f ; α) gegen 0 konvergiert, wenn δ(α) gegen
0 strebt.
3. Zeigen Sie, dass sowohl das Ober- als auch das Unterintegral von f
gleich 1 ist.
Aufgabe 4 (2 + 2 = 4 Punkte)
Sei Q := [0, 1]. Sei f : Q → definiert durch f (x) = 1, wenn x rational und
f (x) = 0, wenn x irrational. Zeigen Sie:
R
(a) f ist in keinem Punkt x ∈ [0, 1] stetig, aber die Einschränkung f |[0,1]\Q
ist eine stetige Funktion.
(b) f ist nicht Riemann-integrierbar.
Hinweis: Nutzen Sie, dass sowohl die rationalen als auch die irrationalen
Zahlen dicht in [0, 1] liegen.
Aufgabe 5 (∗-Aufgabe; 2 + 2 = 4 Zusatzpunkte)
Sei Q := [0, 1]. Sei f : Q →
definiert durch f (x) = 1/q, wenn x =
6 0
rational und von der Form x = p/q, p, q ∈
teilerfremd ist, und f (x) = 0,
wenn x irrational ist oder x = 0 gilt.
R
N
(a) Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt x ∈ [0, 1] \
Q stetig ist.
(b) Zeigen Sie, dass f Riemann-integrierbar ist und dass das RiemannIntegral von f verschwindet.
Abgabe: Freitag, den 7.11.2014, vor Beginn der Vorlesung im kleinen PhysikHörsaal.