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2.2.6. Linearkombination von Vektoren; Lineare Abhängigkeit
DEF: Der Vektor b heißt LINEARKOMBINATION der Vektoren a1 ;a2 ;...;an , wenn es reelle Zahlen r1;
r2; …; rn gibt, so dass b  r1  a1  r2  a2  ...rn  an ist.
Beispiel:
 3
 5
 
 
a1   4  ; a2   1 
 2 
7
 
 
 3
 5   22 
 
   
Dann ist b  4   4   2   1    14  eine Linearkombination aus a1 und a2 .
7
 2   24 
 
   
DEF: Die Vektoren a1 ;a2 ;...;an heißen LINEAR UNABHÄNGIG, wenn sich kein Vektor als
Linearkombination der anderen darstellen lässt.
Kann man wenigstens einen der Vektoren a1 ;a2 ;...;an als Linearkombination der anderen
schreiben, so heißen sie LINEAR ABHÄNGIG.
Test auf lineare Abhängigkeit:
 3
 5
 4 
 


 
Beispiel:
a1   4  ; a2   1  ; a3   1,5 
 2 
 2,5 
7
 


 
 3
 5
 4 
 
 


 4   r   1   s   1,5 
7
 2 
 2,5 
 
 


Das Gleichungssystem
3  5 r  4 s
4   r  1,5 s
7  2 r  2,5 s
liefert für alle drei Gleichungen die Lösung r = –1 und s = 2.
Diese Vektoren sind voneinander abhängig.
Parallele Vektoren sind immer linear abhängig.
Vektoren, deren Pfeile parallel verlaufen, bezeichnet man als kollinear.
Befinden sich drei Vektoren in einer Ebene, so bezeichnet man sie als komplanar. Komplanare
Vektoren sind immer linear abhängig.